【数学】山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 则在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B ‎2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（ ）‎ A. 事件与互为对立事件 B. 件与为互斥事件 C. 事件与事件相等 D. 事件与相互独立 ‎【答案】D ‎【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，‎ 设事件 “第一枚硬币正面向上”，‎ 设事件 “第二枚硬币正面向上”，‎ 事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，‎ 事件与事件相互独立．故选：D．‎ ‎3. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，设直播所占的百分比为，‎ 根据统计图可得：，解得，‎ 因此采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎4. 的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，‎ 可得，可得，‎ 由于，可得．‎ 故选：D．‎ ‎5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ ‎6. 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中，选考物理或历史，选考物理，选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总败的比例为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可得：；；；‎ ‎；故选：A．‎ ‎7. 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A中，若，，则或，所以A项不正确；‎ 对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确；‎ 对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，‎ 又因为，可得，所以C项正确；‎ 对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确.‎ 故选：C.‎ ‎8. 人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用，表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】控制不同性状的基因遗传时互不干扰．有一对夫妻，‎ 两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，‎ 不考虑基因突变，基本事件总数，‎ 他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为：‎ ‎，，，‎ 他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为．‎ 故选：B．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．‎ ‎9. 下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）‎ A. 若复数，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数，满足，则 ‎【答案】AC ‎【解析】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；‎ B选项，设复数，则，‎ 因为，所，若，则；故B错；‎ C选项，设复数，则，‎ 因为，所以，即，所以；故C正确；‎ D选项，设复数，，‎ 则，‎ 因为，所以，若，能满足，但，故D错误.‎ 故选：AC.‎ ‎10. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）‎ A. 平均数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4.5‎ ‎【答案】AC ‎【解析】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为 ‎，所以A项正确；‎ 由方差的公式，可得，‎ 所以标准差为，所以B项不正确；‎ 根据众数的概念，可得数据的众数为和，所以C项正确；‎ 根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排序的第8和第9个数据的平均数值，即为，所以D项不正确.‎ 故选：AC.‎ ‎11. 如图，在正方体中，点为线段上一动点，则（ ）‎ A. 直线平面 B. 异面直线与所成角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 平面与底面的交线平行于 ‎【答案】ACD ‎【解析】，，，‎ 平面，则，同理，‎ ‎，直线平面，故正确；‎ ‎，，四边形为平行四边形，‎ 则，则为异面直线与所成角，为，故错误；‎ ‎，平面，平面，平面．‎ 可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故正确；‎ 平面，平面，设平面与底面的交线为，‎ 由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故正确．‎ 故选：．‎ ‎12. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于‎5”‎，事件“抽取的两个小球标号之积大于‎8”‎，则（ ）‎ A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件发生的概率为 D. 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 ‎【答案】BC ‎【解析】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；‎ ‎“抽取的两个小球标号之和大于‎5”‎包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；‎ ‎“抽取的两个小球标号之积大于‎8”‎包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；‎ 即事件是事件的子事件；因此事件发生的概率为，故A错；‎ 事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；‎ 事件包含基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；‎ 从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.‎ 故选：BC.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 若向量，，且，则实数的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】向量，，且，‎ ‎，则实数，‎ 故答案为：．‎ ‎14. 某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为车间有500人，样本中车间10人，所以抽样比为，‎ 因此车间抽取的人数为，‎ 所以样本中车间的人数为.‎ 故答案为：.‎ ‎15. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：在软件的控制平台，输入“sample（0：999，50，replace＝F）”，按回车键，得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数，指定0，1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________‎ ‎【答案】0.46‎ ‎【解析】按回车键，得到范围内的50个不重复的整数随机数，‎ 其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有23个，分别为：‎ ‎560，61，271，128，182，262，830，655，285，27，473，635，390，653，702，258，329，170，46，921，357，581，280，‎ 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．‎ 故答案为：0.46．‎ ‎16. 已知三棱锥内接于半径为5的球，，，，则三棱锥体积的最大值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，在三角形中，由，，，‎ 得，‎ 要使三棱锥的体积最大，则平面平面，‎ 且在底面上的射影为中点，‎ 连接并延长，交三棱锥的外接球于，则为球的直径，‎ 设，则，解得（舍或．‎ 三棱锥的体积的最大值为．‎ 故答案为：．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 已知点，，.‎ ‎（1）若最小，求实数的值：‎ ‎（2）若与夹角的余弦值为，求实数的值.‎ ‎【解】（1）由题意，，‎ 于是，‎ 所以，‎ 所以的最小值为5，此时；‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 化简得，解得或.‎ ‎18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求的值：‎ ‎（2）若，，求外接圆的面积.‎ ‎【解】（1）因为，由余弦定理得 ‎，‎ 即，所以；‎ ‎（2）因为，，所以 所以，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ 所以.‎ ‎19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.‎ ‎（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？‎ ‎（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.‎ ‎【解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，‎ ‎“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则 ‎“甲赢得比赛”，.‎ ‎“乙赢得比赛”，.‎ 因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.‎ ‎（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，‎ 则；‎ ‎.‎ 于是“两人中至少有一人赢得比赛”‎ ‎.‎ ‎20. 在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.‎ ‎（1）求证平面；‎ ‎（2）若面底而，，为等边三角形，求二面角的大小.‎ ‎【解】（1）证明：因为，分别为，的中点，‎ 所以为 的中位线，所以，‎ 而平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）因为面面，面面，‎ 面，，所以平面，‎ 而，所以平面，‎ 所以，，‎ 所以是二面角 的平面角．‎ 又 为等边三角形，所以，‎ 又，所以．‎ 所以，二面角的大小为．‎ ‎21. 为了解某市家庭用电辑情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：，，…，，绘制得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；‎ ‎（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余 的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）‎ ‎（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.‎ ‎【解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01.‎ 因此，样本落在的频率为 样本中用电量在的用户数为.‎ ‎（2）因为，，‎ 为了使的居民缴费在第一档，只需对应的用电量位于内，‎ 于是，‎ 又，‎ 所以对应的用电量为280.‎ 所以第二档的范围可确定为.‎ ‎（3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：‎ 共有15个样本点.‎ 设事件“走访对象来自不同分组”，‎ 则，‎ 所以，从而.‎ ‎22. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【解】（1）证明：因为是圆O的直径，点P是圆周上一点，‎ 所以，即，‎ 又在圆柱中，母线底面，底面，‎ 所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ ‎（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，‎ 在中，过作交于点.‎ 由（1）知平面，‎ 因为平面，所以，‎ 又，所以平面.‎ 若与不重合，即为直线与平面所成的角.‎ 若与重合，直线与平面所成的角为，‎ 设，由对称性，不妨设，‎ 则在中，，‎ 在中，，.‎ 于是 当且仅当，即，时，等号成立.‎ 此时，，直线与平面所成的角为，正弦值为1，‎ 点为两个半圆弧的中点.‎