甘肃省静宁县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题

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文档介绍

甘肃省静宁县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题

静宁一中2018-2019学年度第二学期高二级期末试题(卷)‎ 数学(文科)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.‎ ‎【详解】(1+i)(2﹣i)=2﹣i+2i﹣i2=3+i.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.‎ ‎2.设集合,1,2,3,,,2,,,3,,则( )‎ A. , B. , C. ,1, D. ,2,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到,再计算,得到答案 ‎【详解】集合,1,2,3,,,2,,,3,,‎ 则,,‎ ‎,1,.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算与补集运算,属于简单题.‎ ‎3.已知平面向量,的夹角为,,,则( )‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,,,的夹角为,先得到的值,再计算,得到结果.‎ ‎【详解】向量,的夹角为,,,‎ ‎ ,‎ 则,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的基本运算,属于简单题.‎ ‎4.已知函数,则( )‎ A. 的最小正周期是,最大值是1‎ B. 的最小正周期是,最大值是 C. 的最小正周期是,最大值是 D. 的最小正周期是,最大值是1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简,得到解析式,再求出其最小正周期和最大值.‎ ‎【详解】函数,‎ 故函数的周期为,‎ 当,‎ 即:时,‎ 函数取最大值为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角正弦的逆用,三角函数求周期和最值,属于简单题.‎ ‎5.若,则下列不等式恒成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质,对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】对于选项A, 不一定成立,如a=1>b=-2,但是,所以该选项是错误的;‎ 对于选项B, 所以该选项是错误的;‎ 对于选项C,ab符号不确定,所以不一定成立,所以该选项是错误的;‎ 对于选项D, 因为a>b,所以,所以该选项是正确的.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质,考查对数、指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是( )‎ A. 55 B. ‎45 ‎C. 66 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程度框图的要求,按输入值进行循环,根据判断语句,计算循环停止时的值,得到答案.‎ ‎【详解】模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值 ‎ 由于.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查根据流程框图求输入值,属于简单题.‎ ‎7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线的焦点,双曲线的渐近线,再由点到直线的距离公式求出结果.‎ ‎【详解】依题意,抛物线的焦点为,双曲线的渐近线为,其中一条为,由点到直线的距离公式得.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标,考查双曲线的渐近线方程,考查点到直线的距离公式,属于基础题.‎ ‎8.函数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于函数为偶函数又过(0,0)所以直接选A.‎ ‎【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查,注意函数的特征即可,属于简单题.‎ ‎9.在中,,,,则的面积为( )‎ A. 15 B. C. 40 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求得,然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】由余弦定理得,解得,由三角形面积得,故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,属于基础题.‎ ‎10.函数在上的最小值为( )‎ A. -2 B. ‎0 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数,得到函数在区间上的单调性,即可求解函数的最小值,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,函数,则,‎ 当时,,函数单调递减;‎ 当时,,函数单调递增,‎ 所以函数在区间上的最小值为,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题,其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性,进而求解函数的最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎11.法国机械学家莱洛(1829-1905)发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形,它是分别以正三角形的顶点为圆心,以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线,在封闭曲线内随机取一点,则此点取自正三角形之内(如图阴影部分)的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出封闭曲线的面积,在算出正三角形的面积,由几何概型的计算公式得到答案.‎ ‎【详解】设正三角形的边长为,由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为 ‎,‎ 由几何概型中的面积型可得:‎ 此点取自正三角形之内(如图阴影部分)‎ 概率是,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型求概率,属于简单题.‎ ‎12.定义域为的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】构造函数,根据可知,得到在上单调递减;根据,可将所求不等式转化为,根据函数单调性可得到解集.‎ ‎【解答】令,则 在上单调递减 ‎ ‎ 则不等式可化为 等价于,即 ‎ 即所求不等式解集为:‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式,关键是能够构造函数,将所求不等式转变为函数值的比较,从而利用其单调性得到自变量的关系.‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知是第四象限角,,则_______;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎:由同角三角关系求解 详解】:,设,由同角三角关系可得。‎ ‎【点睛】:三角正余弦值的定义为,。‎ ‎14.在正方体中,,分别为,中点,则异面直线与所成角的余弦值为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,连接,,找到异面直线与所成角,再求出其余弦值 ‎【详解】取的中点,连接,,‎ 因为,‎ 所以(或其补角)为异面直线与所成角,‎ 易得:,‎ 即,‎ 所以,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查两条异面直线所成的角,属于简单题.‎ ‎15.若实数,满足约束条件,则的最大值是_____.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域,将基准直线向下平移到可行域边界位置,由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值,且最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法,属于基础题.‎ ‎16.已知函数,且,则___.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,分和进行讨论,得到的值,再求的值 ‎【详解】函数,且 当时,,解得,不成立,‎ 当时,,解得.‎ ‎.‎ 故答案为:16.‎ ‎【点睛】本题考查由函数的值求自变量的值,属于简单题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知等差数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设是等比数列的前项和,若,,求.‎ ‎【答案】(I);(Ⅱ),或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)由,可计算出首项和公差,进而求得通项公式。‎ ‎(Ⅱ)由,并结合(1)可计算出首项和公比,代入等比数列的求和公式可求得.‎ ‎【详解】(I)设等差数列的公差为,∵.∴,,‎ 解得,, ∴.‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为,,,联立解得,,‎ ‎∴,或.‎ ‎【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式 , ‎ 等比数列的前n项和公式 .‎ ‎18.为了解某品种一批树苗生长情况,在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本,测量树苗高度(单位:,经统计,其高度均在区间,内,将其按,,,,,,,,,,,分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为及以上的树苗为优质树苗.‎ ‎(1)求图中的值,并估计这批树苗的平均高度(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于,两个试验区,部分数据如下列联表:‎ 试验区 试验区 合计 优质树苗 ‎20‎ 非优质树苗 ‎60‎ 合计 将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为优质树苗与,两个试验区有关系,并说明理由.‎ 下面的临界值表仅供参考:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式:,其中.‎ ‎【答案】(1),;(2)列联表见解析,没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过直方图中频率之和为1,解出,再计算树苗的平均高度.‎ ‎(2)根据题意补充好列联表,然后把相应的数据代入求的公式,求出,再做出判断.‎ ‎【详解】(1)由频率分布直方图知,,解得,‎ 计算,‎ 估计这批树苗的平均高度为;‎ ‎(2)优质树苗有,根据题意填写列联表,‎ 试验区 试验区 合计 优质树苗 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 非优质树苗 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计 ‎70‎ ‎50‎ ‎120‎ 计算观测值,‎ 没有的把握认为优质树苗与,两个试验区有关系.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的相关性质,填写列联表,计算和利用进行相关判断.属于简单题.‎ ‎19.在三棱柱 中, 平面 ,其垂足 落在直线 上. ‎ ‎(1)求证: ; ‎ ‎(2)若 为 的中点,求三棱锥 的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析 ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)欲证BC⊥A1B,可寻找线面垂直,而A‎1A⊥BC,AD⊥BC.又AA1⊂平面A1AB,AD⊂平面A1AB,A‎1A∩AD=A,根据线面垂直判定定理可知BC⊥平面A1AB,问题得证;(Ⅱ)根据直三棱柱的性质可知A‎1A⊥面BPC,求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积,先求出三角形PBC的面积,再根据体积公式解之即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)∵三棱柱ABC﹣A1B‎1C1为直三棱柱,‎ ‎∴A‎1A⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,‎ ‎∴A‎1A⊥BC ‎ ‎∵AD⊥平面A1BC,且BC⊂平面A1BC,‎ ‎∴AD⊥BC.又AA1⊂平面A1AB,‎ AD⊂平面A1AB,A‎1A∩AD=A,‎ ‎∴BC⊥平面A1AB,‎ 又A1B⊂平面A1BC,‎ ‎∴BC⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中,A‎1A⊥AB.‎ ‎∵AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上,‎ ‎∴AD⊥A1B.‎ 在Rt∠△ABD中,,AB=BC=2,‎ ‎= ,∠ABD=60°,‎ 在Rt∠△ABA1中,AA=AB tan60=2 ‎ 由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,AB⊂平面A1AB,‎ 从而BC⊥AB,=AB BC= 22=2.‎ ‎∵P为AC的中点,=S =1‎ ‎= =.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用,以及棱柱、棱锥、棱台的体积,利用等体积转化思想,也考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对求导得到,代入切点横坐标得到斜率,再写出切线方程;‎ ‎(2)令,证明其导函数在上恒为正,即在上恒增,而要满足在上恒成立,从而得到的取值范围 ‎【详解】(1),,‎ ‎(1),又(1),即切线的斜率,切点为,‎ 曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)令,,则,‎ 令,则.‎ 当时,,函数在上为增函数,故(1);‎ 从而,当时,(1).‎ 即函数在上为增函数,故(1).‎ 因此,在上恒成立,必须满足.‎ 实数的取值范围为,.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线,利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,属于常规题.‎ ‎21.已知椭圆:的离心率为,且经过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)与轴不垂直的直线经过,且与椭圆交于,两点,若坐标原点在以为直径的圆内,求直线斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标,结合列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆方程.(II)设直线的方程为,代入椭圆方程,写出判别式和韦达定理,由坐标原点在以为直径的圆内得,利用向量的坐标运算代入化简,由此解得的取值范围.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)由题意可得,解得,,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,代入椭圆方程整理可得得,‎ ‎,解得或,‎ 设,,‎ 又,,‎ ‎∴,‎ ‎∵坐标原点在以为直径的圆内,‎ ‎∴,‎ ‎∴ ,‎ 解得或.‎ 故直线斜率的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与曲线相交于不同的两点,,若是的中点,求直线的斜率.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,再根据求出直线的斜率.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)由,,,得 即所求曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得 由是的中点知,‎ 即 所以直线的斜率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查极直互化,考查直线参数方程t的几何意义解题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数 ‎(Ⅰ)解不等式;‎ ‎(Ⅱ)对及,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析:(Ⅰ)由得.解含两个绝对值号的不等式,应讨论去掉绝对值号,。分三种情况解不等式即可。当时,由,解得;当时,不成立;当时,由,解得.三种情况取并集即得不等式的解集为. (Ⅱ),不等式恒成立,只需,不等式 。因为,所以根据基本不等式可得。对,。由函数解析式可得对,,进而可求,根据三角不等式可得,进而可得,解不等式可得所求范围。‎ 详解:(Ⅰ)‎ 当时,由,解得;‎ 当时,不成立;‎ 当时,由,解得.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以.‎ 由题意知对,,‎ 即,‎ 因为,‎ 所以,解得.‎ 点睛:⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是:去掉绝对值号,把它转化为一般的不等式求解,转化的方法一般有:①绝对值定义法;②平方法;③零点区域法。‎ ‎⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法。若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也是求最值。一般有:‎ ‎① 为参数)恒成立 ‎ ‎②为参数)恒成立 。‎
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