2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．某扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则它的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得所以它的面积是 故选A.‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数与对数函数的性质化简集合，根据交集的定义即可得到.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，‎ 集合，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎3．函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以应选答案C。‎ ‎4．设为所在平面内一点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由利用平面向量几何运算的三角形法则，可得，化简即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 可得，‎ 化为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.‎ ‎5．若角的终边过点，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于，，所以，‎ ‎，所以，故选D.‎ ‎【考点】诱导公式、特殊角的三角函数值及任意角三角函数的定义.‎ ‎6．向量，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，所以，解得，而，故选B.‎ ‎【考点】向量平行的坐标运算 ‎7．若，则的表达式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设，则，所以，所以，选D.‎ ‎【考点】求函数的解析式.‎ ‎8．下列函数中既是偶函数，最小正周期又是的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数 y=sin2x周期为π，不是偶函数，故排除A． 由于函数y=cosx周期为2π，是偶函数，故排除B． 由于函数y=tanx是周期函数，且周期为π，但它不是偶函数，故排除C． 由于函数 y=|tanx|是周期函数，且周期为π，且是偶函数，故满足条件， 故选：D．‎ ‎9．将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的图象变换规律得到 的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性可求所得图象的一条对称轴方程.‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，‎ 纵坐标不变，可得的图象；‎ 再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，‎ 令，求得，‎ 时得图象的一条对称轴方程为,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎10．已知，则的值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ ‎，所以，所以，故选A.‎ ‎【考点】两角和与差的三角函数与诱导公式.‎ ‎【方法点晴】本题是给条件求值，先通过三角恒等变换把条件用两角和的正弦公式展开，再合起来化为一角、一名、一次式的形式，本质上都是两角和和与差的正、余弦公式的应用，再通过“凑角”‎ 用变形得到的角把待求值角的角表示出来，通过诱导公式来解决问题，最后求值时要注意函数名和符号的变化，不然很容出现错误.‎ ‎11．已知函数，且是它的最大值，(其中m、n为常数且)给出下列命题：①是偶函数； ②函数的图象关于点对称；③是函数的最小值；④.‎ 其中真命题有( )‎ A．①②③④ B.②③ C. ①②④ D.②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，‎ 令，‎ 则。因为是它的最大值，‎ 则，不妨取。则。‎ ‎①，图像不关于轴对称，故不是偶函数；‎ ‎②因为，所以函数的图象关于点对称；‎ ‎③，‎ 故不是函数的最小值；④时，，所以。‎ 综上可得正确的有②④。故D正确。‎ ‎【考点】三角函数的性质。‎ ‎12．已知定义在R上的函数满足，当时，，则下列不 等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以函数的周期为2．设，则，所以，可知该函数在上为偶函数且在上单调递减．因为，所以，即选项A错误；因为，所以，即选项B错误；因为，，所以，故选项C正确；同例，选项D错误．‎ ‎【考点】利用函数性质比大小．‎ ‎【思路点睛】本题是利用函数性质比大小．先根据周期性求出时的解析式，并判断出函数在上为偶函数且在上单调递减，所以应利用奇偶性及周期性将变量统一到同一个单调区间内，然后利用函数单调性比大小即可．如选项C，，，所以即．‎ 二、填空题 ‎13．函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，.‎ ‎【考点】分段函数求值.‎ ‎14．已知幂函数的部分对应值如下表，则不等式的解集是__________.‎ ‎ x ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ f（x）‎ ‎ 1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先将点代入幂函数中，求出，原不等式转化为，解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由表格中数据可知在的图象上，‎ 所以，得，‎ 不等式，即，‎ 故，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用待定系数法求幂函数的解析式和解不等式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属基本题.‎ ‎15．已知，且，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值,再利用两角差的正切公式求得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角差的正切公式的应用，属于中档题. 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎16．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：作出函数的图象（如下图），可以发现，即，所以，；由正弦函数的图象知：在上的图象关于直线对称，所以，且，因此 ‎，对称轴为，故的取值范围是.‎ ‎【考点】对数函数、正弦函数的图象与性质，二次函数给定区间上的值域及数形结合的数学思想.‎ ‎【方法点晴】本题中涉及到四个变量，，，，先从函数图象入手寻找四个变量之间的关系寻求消元，把多元变量化为一元变量，体现了消元的数学思想，在上的图象是由的图象沿x轴翻折得到，上的图象恰好是一个周期上的图象，观察图象特征就发现了四个变量之间的依存关系，为消元创造了条件，最终把问题转化为一个一元二次函数在给定区间上的值域问题，这个过程中又考查到了数形结合和转化的数学思想、方法.‎ 三、解答题 ‎17．(1)已知，求的值.‎ ‎ (2)求的值.‎ ‎ (3)已知＝且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据分式的性质，将分子分母同时除以，得到关于的式子即可计算出的值；（2）直接利用对数的运算法则化简求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；（3）根据=，由，判断 的符号，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)法(一） . ‎ ‎ 法（二） 由，即，则. . ‎ ‎（2）原式 ‎ ‎（3） ，<0 =‎ ‎ =‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算法则以及同角三角函数的关系，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.‎ ‎18．设函数，函数，且，的图象过点及．‎ ‎（1）求和的解析式；‎ ‎（2）求函数的定义域和值域．‎ ‎【答案】（1），；（2）,.‎ ‎【解析】(1)根据得出关于方程，求解方程即可；（2）根据的图象过点及，列方程组求得的解析式，可得，解不等式可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得，利用对数函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ‎ ， ；‎ 因为的图象过点及，‎ 所以，‎ ‎ ；‎ ‎（2）‎ 由，得 函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎，即的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的解析式、定义域与值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.‎ ‎19．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数f（x）的值域．‎ ‎（2）列表并画出函数在上的简图；‎ ‎（3）若，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 ‎【解析】(1)由求得的取值范围，根据余弦函数的单调性求得的值域；‎ ‎(2)由“五点作图法”列表、描点、连线,可画出在上的简图；(3)令，求出 ，再根据的取值范围，令，可求得对应的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ 的值域为 ‎ ‎（2）由“五点作图法”列表如下：‎ x ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ π ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎–3‎ ‎0‎ 图象如下：‎ ‎（3）由=得，‎ 所以 ‎ 即或， ‎ 又因为，所以k取0，得或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查五点法作图、三角函数的值域以及简单的三角方程，属于中档题. 形如，的函数求值域，分两步：（1）由求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求的最大值及此时的的集合；‎ ‎（2）求的单调增区间；‎ ‎（3）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】(1) 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为 ,从而可得函数的最值，令求得函数取最大值时,的集合；（2）根据（1）中函数解析式, 利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（3）由可得，利用，利用二倍角的余弦公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎（1）当时，即时，，‎ 此时x取值范围的集合为 ‎（2） ‎ 解得，‎ 所以增区间为 ，‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的单调性、三角函数恒等变换及三角函数的最值，属于中档题.函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间.‎ ‎21．如图所示，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段.该曲线段是函数在时的图象，且图象最高点是.赛道的中间部分是长千米的直线跑道，且∥赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.‎ ‎（1）求曲线段的函数解析式和的大小；‎ ‎（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且.求矩形面积的最大值，以及矩形面积取最大值时的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）时，取最大值.‎ ‎【解析】(1) 利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，从而可得曲线段的解析式，再计算出结合，利用等腰直角三角形的性质可得的大小；(2) 由（1）知，可得矩形草坪的面积，利用二倍角公式以及辅助角公式化为，根据的取值范围求得的最大值以及对应的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知条件得：‎ 图象过（-1,2），‎ ‎ ，‎ 故曲线段的解析式为 ‎ 当时，，又 从而 ‎ ‎（2）由（1）知，易知，‎ 矩形草坪的面积 ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 时，即时，取最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查阅读能力、三角函数的图象与性质，二倍角公式与辅助角公式的应用，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎22．设函数 (且)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)求t的值；‎ ‎(2)若，求使不等式对一切R恒成立的实数k的取值范围；‎ ‎(3)若函数的图象过点，是否存在正数m,使函数在上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）t=2；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在正数m，使．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由于是定义在R上的奇函数，所以由f（0）=0可求得的值；（Ⅱ）由求出的范围，得到的单调性，把转化成关于的一元二次不等式在R上恒成立问题，利用三个二次之间的关系列参数 的不等式；（Ⅲ）先由的图象过点求得的值，代入化简，为方便处理，可以换元处理，设，则函数变为，把问题转化为含参数的一元二次函数在给定区间上的最值问题，讨论解决.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）f（x）是定义域为R的奇函数∴f（0）=0，∴t=2；‎ ‎（Ⅱ）由（1）得由得又，‎ 由得，‎ 为奇函数，‎ 为上的增函数，‎ 对一切恒成立，即对一切恒成立，‎ 故解得；‎ ‎（Ⅲ）假设存在正数符合题意，由得 ‎=‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎，记，‎ 函数在上的最大值为，‎ ‎（ⅰ）若，则函数在有最小值为1，‎ 对称轴，，不合题意；‎ ‎（ⅱ）若，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，‎ ‎①，‎ 又此时，，故无意义 所以；‎ ‎②无解，‎ 综上所述：故不存在正数，使函数在上的最大值为．‎ ‎【考点】函数的奇偶性、单调性的应用，一元二次不等式的恒成立问题，一元二次函数在给定区间上的最值及换元法、转化和分类讨论等数学思想.‎ ‎【方法点晴】本题是一道函数问题的综合性问题，既涉及到了函数的性质、函数的恒成立和一元二次函数，又考查了转化和分类讨论等数学思想和方法，是一道中等难度偏上的题目.第二问中，要利用已求得的解析式研究函数的单调性，来实现对关于函数值不等式的转化，切不可代入，否则将陷入繁琐的运算中，费时费力；第三问是一道探索参数的存在性问题，可以先假设参数存在，再设法求解.换元是常用的方法，要注意观察式子的结构特点，选择合理的换元项，同时应注意新元的取值范围即构造的新函数的定义域，最终把复杂的函数转化为基本初等函数问题来解决.‎