高考文科数学复习：夯基提能作业本 (30)

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第八节　函数与方程 A组　基础题组 ‎1.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)‎ A.(0,0.5), f(0.125) B.(0.5,1), f(0.875)‎ C.(0.5,1), f(0.75) D.(0,0.5), f(0.25)‎ ‎2.(2016浙江温州十校联考(一))设函数f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎3.设f(x)是区间[-1,1]上的增函数,且f‎-‎‎1‎‎2‎·f‎1‎‎2‎<0,则方程f(x)=0在区间[-1,1]内(　　)‎ A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 ‎4.若函数f(x)=ax+6的零点为1,则函数g(x)=x2+5x+a的零点是(　　)‎ A.-6 B.6 C.6,-6 D.1,-6‎ ‎5.(2016云南昆明模拟)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是(　　)‎ A.a>‎1‎‎5‎ B.a>‎1‎‎5‎或a<-1‎ C.-11,‎‎9x(1-x‎)‎‎2‎,x≤1.‎若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,则k的取值范围是(　　)‎ A.‎4‎‎3‎‎,2‎ B.(-∞,0)∪‎‎4‎‎3‎‎,+∞‎ C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪‎‎4‎‎3‎‎,2‎ ‎13.(2016湖北七校3月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎8‎ C.-‎ ‎‎7‎‎8‎ D.-‎‎ ‎‎3‎‎8‎ ‎14.已知函数f(x)=‎2-|x|,x≤2,‎‎(x-2‎)‎‎2‎,x>2,‎函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎15.(2016湖北优质高中联考)函数f(x)=‎1‎‎2‎‎|x-1|‎+2cos πx(-4≤x≤6)的所有零点之和为　　　　. ‎ ‎16.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=‎[x]‎x-a(x≠0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎17.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=‎x+‎1‎‎4x,x>0,‎x+1,x≤0.‎ ‎(1)求g[f(1)]的值;‎ ‎(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　∵f(x)=x5+8x3-1, f(0)<0, f(0.5)>0,‎ ‎∴f(0)·f(0.5)<0,∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应为f(0.25),故选D.‎ ‎2.B　解法一:∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0, f(2)=ln 2>0,∴f(1)·f(2)<0,∵函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的,‎ ‎∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).‎ 解法二:函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的区间,作出两函数的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).‎ ‎3.C　由f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f‎-‎‎1‎‎2‎·f‎1‎‎2‎<0,知f(x)在区间‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎上有唯一的零点,∴方程f(x)=0在区间[-1,1]内有唯一的实数根.‎ ‎4.D　∵函数f(x)=ax+6的零点为1,∴a+6=0,a=-6,‎ 即g(x)=x2+5x-6=(x-1)(x+6),令g(x)=0,得x=1或x=-6,故函数g(x)=x2+5x+a的零点是1和-6.‎ ‎5.B　当a=0时, f(x)=1,其图象与x轴无交点,不合题意,所以a≠0,因为函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内是单调函数, f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内存在一个零点,所以f(-1)·f(1)<0,即(-3a+1-2a)(3a+1-2a)<0,(5a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>‎1‎‎5‎,选B.‎ ‎6.答案　1+‎2‎,1‎ 解析　求函数g(x)=f(x)-x的零点,‎ 即求方程f(x)=x的根,‎ ‎∴g(x)的零点x满足x≥2或x≤-1,‎x‎2‎‎-x-1=x 或‎-10,所以f(x)零点所在区间是(2,3),又n∈N,所以n=2.‎ ‎9.解析　由条件知,二次函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,‎ 则f(0)=2m+1<0,‎f(-1)=2>0,‎f(1)=4m+2<0,‎f(2)=6m+5>0‎⇒m<-‎1‎‎2‎,‎m∈R,‎m<-‎1‎‎2‎,‎m>-‎5‎‎6‎.‎即-‎5‎‎6‎f(0)=0,g‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎f‎1‎‎3‎=‎1‎‎3‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴由图象关系可得‎1‎‎3‎0,∴01,故选A.‎ ‎12.D　函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点等价于方程f(x)=k只有一个解,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图象,结合函数图象可知,k∈(-∞,0)∪‎4‎‎3‎‎,2‎,故选D.‎ ‎13.C　令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-‎7‎‎8‎.故选C.‎ ‎14.A　分别画出函数f(x),g(x)的草图,观察发现有2个交点.故选A.‎ ‎15.答案　10‎ 解析　问题可转化为y=‎1‎‎2‎‎|x-1|‎与y=-2cos πx在-4≤x≤6的交点的横坐标的和,因为两个函数图象均关于x=1对称,所以x=1两侧的交点对称,那么两对应交点的横坐标的和为2,分别画出两个函数的图象(图略),易知x=1两侧分别有5个交点,所以所求和为5×2=10.‎ ‎16.答案　‎3‎‎4‎‎,‎‎4‎‎5‎∪‎‎4‎‎3‎‎,‎‎3‎‎2‎ 解析　f(x)=‎[x]‎x-a(x≠0)有且仅有3个零点等价于y=‎[x]‎x(x≠0)的图象与直线y=a有且仅有3个交点,画出y=‎[x]‎x(x≠0)的图象,如图所示,通过数形结合可知a∈‎3‎‎4‎‎,‎‎4‎‎5‎∪‎4‎‎3‎‎,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎17.解析　(1)∵f(1)=-12-2×1=-3,‎ ‎∴g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.‎ ‎(2)若f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<‎5‎‎4‎时,函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,即所求a的取值范围是‎1,‎‎5‎‎4‎.‎