【数学】青海省海东市2020届高三第四次模拟考试试题(文)(解析版)

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【数学】青海省海东市2020届高三第四次模拟考试试题(文)(解析版)

青海省海东市2020届高三第四次模拟考试数学试题(文)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解,即,解得,所以,‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎2.已知复数,,则在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由可得,故,解得,故.故在复平面内对应的点位于第二象限.‎ 故选:B.‎ ‎3.已知等差数列的前项和为,,,则( )‎ A. 20 B. ‎22 ‎C. 24 D. 26‎ ‎【答案】A ‎【解析】,解得.‎ 又,‎ 则.‎ 故选:A.‎ ‎4.已知,则( )‎ A. a>b>c B. c>b>a C. a>c>b D. b>a>c ‎【答案】C ‎【解析】∵,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,且,∴,‎ ‎∴,‎ 故选:C.‎ ‎5.若x,y满足约束条件,则的最大值为( )‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由x,y满足约束条件,作出可行域如图,‎ 由,得yx,‎ 由图可知,当直线yx过可行域内点时 直线在y轴上的截距最小,最大.‎ 联立,解得 ‎∴目标函数z=x﹣2y的最大值为.‎ ‎ 故选:D.‎ ‎6.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位:万元)进行统计并得到如图折线图.‎ 下面关于两个门店营业额的分析中,错误的是( )‎ A. 甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,故而营业额的平均值约为32万元 B. 根据甲门店的营业额折线图可知,该门店营业额的平均值在[20,25]内 C. 根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势 D. 乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元 ‎【答案】A ‎【解析】对于A,甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,营业额平均值远低于32万元,A错误.‎ 对于B,甲门店的营业额的平均值为21.6,‎ 即该门店营业额的平均值在区间[20,25]内,B正确.‎ 对于C,根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势,C正确.‎ 对于D,乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元,最小值为5万元,‎ 则极差为25万元,D正确.‎ 故选:A.‎ ‎7.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的LOGO为,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察图象可知,函数的图象关于y轴对称,‎ 对于A选项,,为偶函数,‎ 对于B选项,,为奇函数,‎ 对于C选项,,为偶函数,‎ 对于D选项,,为奇函数,‎ 而选项B,D为奇函数,其图象关于原点对称,不合题意;‎ 对选项A而言,当时,如取,,则有,f(x)<0,不合题意;‎ 故选:C ‎8.某几何体的三视图如图所示,则其体积是( )‎ A. B. 36π C. 63π D. 216+9π ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知,该几何体是圆柱与圆锥的组合体,如图所示;‎ 则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π32 6π323=63π.‎ 故选:C.‎ ‎9.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于,若,则正数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴是的一条对称轴,‎ ‎∴, ,‎ ‎∴.‎ ‎∵‎ 故令,得为最小值.‎ 故选:B.‎ ‎10.已知函数在上是减函数,则的取值范围是( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,得到,‎ 因为在上是减函数,所以在上恒成立,‎ 所以,,,,‎ 所以,‎ 则的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎11.某旅游景点安装有索道厢式缆车,在里面既安全又能欣赏美景.从早上八点开始,该景点缆车每五分钟发一个轿厢,小张和小李都在上午九点到九点半之间随机搭乘缆车上山,则小张和小李乘同一个轿厢上山的概率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设小张到起点站的时间为9时分,小李到起点站的时间为9时分;‎ 所以:,‎ 记事件:小张和小李乘同一个轿厢上山;‎ 所以:,,,,,,;‎ 作出可性域以及目标区域(阴影部分)如图所示,‎ 可知.‎ 故选:B.‎ ‎12.已知(不在轴上)是双曲线上一点,,分别是的左、右焦点,记,,若,则的离心率的取值范围是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知,‎ 则,‎ 点在双曲线右支上,‎ ‎,,‎ 又,,即,‎ 得,又,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ 二、填空题.‎ ‎13.已知向量,,,则,的夹角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,设,的夹角为,‎ 向量,则,则有,‎ 又由,则;‎ 故答案为:.‎ ‎14.九连环是中国传统的智力玩具,用九个圆环相连成串,以解开为胜.解九连环需要相当长的时间,非常考验人的耐心,其规律可用来表达,其中表示解下第个圆环所需移动的最少次数,已知,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,数列满足:,即,‎ 所以,‎ 又由,上式累加可得,所以.‎ 故答案为:.‎ ‎15.如图,在正方体中,,,分别为棱,的中点,过点的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图所示,分别取的中点,连接,可得截面,‎ 再连接,分别交交于点,连接,则 又因为,进而得到平面平面,即截面为等腰梯形,‎ 又由,可得,‎ 在等腰梯形中,可得,即梯形的高为,‎ 所以截面的面积为.‎ 故答案为:.‎ ‎16.已知点在抛物线上,点在圆,点,令,则的最小值为______,此时点的横坐标为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】设抛物线的焦点,点,,则,‎ ‎,‎ 又抛物线的焦点与圆心重合,故要使取得最小值,则应取最大值,‎ 由抛物线的定义可知,‎ ‎,,‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ 故答案为:;.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:‎ ‎17.‎2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控,这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下,武汉市有序复工复产复市,但是仍然不能麻痹大意,仍然要保持警惕,严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作,结合复工复产复市的实际需要,某小区物业提供了,两种小区管理方案,为了了解哪一种方案最为合理有效,物业随机调查了50名男业主和50名女业主,每位业主对,两种小区管理方案进行了投票(只能投给一种方案),得到下面的列联表:‎ 方案 方案 男业主 ‎35‎ ‎15‎ 女业主 ‎25‎ ‎25‎ ‎(1)分别估计,方案获得业主投票的概率;‎ ‎(2)判断能否有95%的把握认为投票选取管理方案与性别有关.‎ 附:‎ 解:(1)由调查数据可知,方案获得业主投票的比率为,因此方案获得业主投票的概率估计为0.6;‎ 方案获得业主投票的比率为,因此方案获得业主投票的概率估计为0.4;‎ ‎(2)‎ 方案 方案 合计 男业主 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 女业主 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎.‎ 故有95%的把握认为投票选取管理方案与性别有关.‎ ‎18.在中,内角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎(1)求角.‎ ‎(2)若,求的面积的最大值.‎ 解:(1),由正弦定理可得,‎ 化简可得,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2),且,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当,即时,的面积最大,可得的面积的最大值.‎ ‎19.如图,已知直三棱柱,,分别是棱,的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,,求三棱锥的体积.‎ ‎(1)证明:取的中点,连结,,‎ ‎,分别是,的中点,,,‎ 四边形是平行四边形,,‎ 平面,平面,‎ 平面.‎ ‎(2)解:,是的中点,‎ ‎△的面积为,‎ ‎,是的中点,‎ 三棱锥的高为,‎ 三棱锥的体积为.‎ ‎20.已知0<m<2,动点M到两定点F1(﹣m,0),F2(m,0)的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点.‎ ‎(1)求m的值以及曲线C的方程;‎ ‎(2)过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明:以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.‎ ‎(1)解:设M(x,y),因为|MF1|+|MF2|=4>‎2m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2.‎ 设椭圆C的方程为1(b>0),代入点得b2=1,‎ 由c2=a2﹣b2,得c2=3,‎ 所以,故曲线C的方程为;‎ ‎(2)证明:设直线l:x=ty,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 椭圆的右顶点为P(2,0),联立方程组 消去x得0.‎ ‎△>0,y1+y2,y1y2,‎ 所以 ,∴,‎ 故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)若在处取得极值,求的的单调区间;‎ ‎(2)若在上没有零点,求的取值范围.‎ 解:(1)的定义域,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,递增区间为,‎ ‎,递减区间为,‎ 所以递增区间为,递减区间为.‎ ‎(2),‎ ‎, ‎ 因为,所以只需证明在满足.‎ 当时,在恒成立,‎ 在上递减,‎ ‎,得,与矛盾;‎ ‎②当时, ,递减,‎ ‎,递增,‎ 所以 ‎③,在恒成立,‎ 在上递增,‎ ‎,满足题意,‎ 综上有,.‎ ‎(二)选考题:‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.曲线的极坐标方程为,曲线与曲线的交线为直线.‎ ‎(1)求直线和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线与轴交于点,与曲线相交于,两点,求的值.‎ 解:(1)已知曲线的参数方程为为参数),‎ 转换为直角坐标方程为①,‎ 曲线的极坐标方程为,整理得,‎ 根据转换为直角坐标方程为②,‎ ‎∴①②两个方程相减得公共弦所在直线的方程为,‎ 曲线的极坐标方程为,‎ 根据转换为直角坐标方程为;‎ ‎(2)直线与轴交于,‎ ‎∴直线的参数方程为为参数),‎ 代入到,得,‎ ‎∴,,‎ 故.‎ ‎ [选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若方程有两个不等实数根,求a的取值范围.‎ 解:(1),‎ ‎∵,∴或,∴或,即,‎ ‎∴不等式的解集为;‎ ‎(2)方程,即,‎ 显然不是方程的根,故,‎ 令,‎ 当x<0时,,当且仅当时取等号,‎ 作出的图象,如图所示:‎ ‎∵方程有两个不等实数根,‎ ‎∴由图象可知.‎
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