【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版12-4二项分布与正态分布学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版12-4二项分布与正态分布学案

‎§12.4　二项分布与正态分布 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念．‎ ‎2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．‎ ‎3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．条件概率及其性质 ‎(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．‎ 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.‎ ‎(2)条件概率具有的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，‎ 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎2．事件的独立性 ‎(1)相互独立的定义：‎ 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)．这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．‎ ‎(2)概率公式：‎ 条件 公式 A，B相互独立 P(A∩B)＝P(A)×P(B)‎ A1，A2，…，An相互独立 P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)‎ ‎3.独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 ‎①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．‎ ‎②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列 X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P Cp0qn Cpqn－1‎ ‎…‎ Cpkqn－k ‎…‎ Cpnq0‎ 此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．‎ ‎4．两点分布与二项分布的期望、方差 ‎(1)若随机变量X服从二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．‎ ‎5．正态分布 ‎(1)正态曲线 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞)．‎ ‎(2)正态曲线的性质 ‎①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称．‎ ‎②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．‎ ‎③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．‎ ‎(3)正态变量在三个特定区间内取值的概率值 ‎①P(μ－σ2c－1)＝P(X2c－1)＝P(X4，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4.‎ 题型一　条件概率 例1 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．‎ 答案　 解析　方法一　(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，‎ 因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.‎ ‎(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．‎ 解　如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，‎ ‎∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝，‎ P(A|B)＝＝.‎ 思维升华 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是通用的求条件概率的方法．‎ ‎(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.‎ 跟踪训练1 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1‎ 次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”，‎ 则P(A)＝，P(AB)＝×＝，‎ 则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为＝.‎ 题型二　独立重复试验与二项分布 命题点1　独立事件的概率 例2 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．‎ ‎(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；‎ ‎(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．‎ 解　(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，‎ 且有 即 所以P(B)＝，P(C)＝.‎ ‎(2)有0个家庭回答正确的概率为 P0＝P( )＝P()·P()·P()‎ ‎＝××＝，‎ 有1个家庭回答正确的概率为 P1＝P(A ＋B＋ C)‎ ‎＝××＋××＋××＝，‎ 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P＝1－P0－P1＝1－－＝.‎ 命题点2　独立重复试验 例3 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ 解　(1)X可能的取值为10,20,100，－200.‎ 根据题意，有 P(X＝10)＝C×1×2＝，‎ P(X＝20)＝C×2×1＝，‎ P(X＝100)＝C×3×0＝，‎ P(X＝－200)＝C×0×3＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，‎ 则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.‎ 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 ‎1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.‎ 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.‎ 命题点3　二项分布 例4 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：‎ ‎(1)5次预报中恰有2次准确的概率；‎ ‎(2)5次预报中至少有2次准确的概率；‎ ‎(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．‎ 解　令X表示5次预报中预报准确的次数，‎ 则X～B.‎ ‎(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C×0.82×3＝10×0.64×0.008≈0.05.‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0.80×5－C×0.8×4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.‎ ‎(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C×0.8×3×0.8≈0.02.‎ 思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎①首先判断几个事件的发生是否相互独立．‎ ‎②求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(ⅰ)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎(ⅱ)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ ‎(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ‎①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．‎ ‎②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．‎ 跟踪训练2 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．‎ ‎(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；‎ ‎(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．‎ 解　(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A 所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝，‎ 故X～B.X的可能取值为0,1,2,3，‎ 则P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C··2＝，‎ P(X＝2)＝C2·＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 题型三　正态分布 例5 (2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．‎ ‎(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P(X≥1)及X的期望；‎ ‎(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04‎ ‎10．26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95‎ 经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.‎ 用样本平均数作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，‎ 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( －3 ， ＋3 )之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ900)＝＝0.023，‎ ‎∴P(X<900)＝1－0.023＝0.977，故选A.‎ ‎5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．‎ 答案　10‎ 解析　由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.‎ ‎6．在某次射击中，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．‎ 答案　 解析　设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P( )＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.‎ 故目标被击中的概率P＝1－P( )＝.‎ ‎7．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．‎ 答案　 解析　记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝＝，即所求事件的概率是.‎ ‎8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．‎ 答案　 解析　设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，‎ ‎∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，‎ ‎∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P＝×＝.‎ ‎9．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．‎ 答案　 解析　由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2＝C5＝.‎ ‎10．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(25)＝P(X<－1)，∴μ＝＝2.‎ ‎∴P(2P(η≥2)．‎ 故从正确完成题数的期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．‎