2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二第一学期期末联考数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二第一学期期末联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二第一学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则使成立的的值是（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．-1或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合A，B，以及B⊆A即可得出，从而求出a＝﹣1．‎ ‎【详解】‎ 解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B⊆A；‎ ‎∴‎ ‎∴a＝﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义．‎ ‎2．已知复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】把z＝﹣2+i代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由z＝﹣2+i，‎ 得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎3．若为实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由得0＜a＜1，‎ 则“a＜1”是“”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．‎ ‎4．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x，y时，z取得最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（，），B（，﹣1），C（2，﹣1）‎ 设z＝F（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，‎ 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值＝F（，）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎5．设函数，将的图像向平移个单位后，所得的函数为偶函数，则的值可以是（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求得ω的值．‎ ‎【详解】‎ 解：将函数f（x）＝2sin（ωx）的图象向右平移个单位后，‎ 可得y＝2sin（ωx）的图象．‎ ‎∵所得的函数为偶函数，∴kπ，k∈Z．‎ 令k＝﹣1，可得ω，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．‎ ‎6．函数的图像可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ 解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，‎ 排除B，D，‎ 函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，‎ 由f（x）＝0得 sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，‎ 则f（）0，排除C，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．‎ ‎7．设等差数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法错误的是（ ）‎ A．若有最大值，则也有最大值 B．若有最大值，则也有最大值 C．若数列不单调，则数列也不单调 D．若数列不单调，则数列也不单调 ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的性质知数列{a2n﹣1}的首项是a1，公差为2d，结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：数列{a2n﹣1}的首项是a1，公差为2d，‎ A．若Sn有最大值，则满足a1＞0，d＜0，则2d＜0，即Tn也有最大值，故A正确，‎ B．若Tn有最大值，则满足a1＞0，2d＜0，则d＜0，即Sn也有最大值，故B正确，‎ C．Sn＝na1•dn2+（a1）n，对称轴为n，‎ Tn＝na1•2d＝dn2+（a1﹣d）n，对称轴为n•，‎ 不妨假设d＞0，‎ 若数列{Sn}不单调，此时对称轴n，即1，‎ 此时Tn的对称轴n•1，则对称轴•有可能成立，此时数列{Tn}有可能单调递增，‎ 故C错误，‎ D．不妨假设d＞0，若数列{Tn}不单调，此时对称轴n•，即2，‎ 此时{Sn}的对称轴n2，即此时{Sn}不单调，故D正确 则错误是C，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关系，涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断，综合性较强，难度较大．‎ ‎8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，点是，的交点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设∠F1PF2＝θ，则，得出，利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出，结合c＝2，可得出，然后将椭圆和双曲线的方程联立，求出交点P的横坐标，利用该点的横坐标位于区间（﹣c，c），得出，可得出，从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：设∠F1PF2＝θ，则，所以，，则，‎ 由焦点三角形的面积公式可得，所以，，‎ 双曲线的焦距为4，椭圆的半焦距为c＝2，则b2＝a2﹣c2＝a2﹣4＞3，‎ 得，所以，椭圆C1的离心率．‎ 联立椭圆C1和双曲线C2的方程，‎ 得，得，‎ 由于△PF1F2为锐角三角形，则点P的横坐标，则，所以，．‎ 因此，椭圆C1离心率e的取值范围是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆和双曲线的性质，解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用，起到了化简的作用，同时也考查了计算能力，属于中等题．‎ ‎9．如图，在棱长为1正方体中，点，分别为边，的中点，将沿所在的直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A．无论旋转到什么位置，、两点都不可能重合 B．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为 C．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为 D．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】利用圆锥的几何特征逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：过A点作AM⊥BF于M，过C作CN⊥DE于N点 在翻折过程中，AF是以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的母线，同理，AB，EC，DC也可以看成圆锥的母线；‎ 在A中，A点轨迹为圆周，C点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A正确；‎ 在B中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为60°，又AF，EC分别可看成是圆锥的母线，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B正确；‎ 在C中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为90°，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C正确；‎ 在D中，能否使得直线与直线所成的角为，只需看以B为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D不成立；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ 二、填空题 ‎10．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，‎ 又由点P在AM上且满足 ‎∴P是三角形ABC的重心 ‎∴‎ ‎ ‎ 又∵AM＝1‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．‎ ‎11．双曲线的渐近线方程是____；焦点坐标____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直接根据双曲线的简单性质即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：在双曲线1中，a2＝2，b2＝1，‎ 则c2＝a2+b2＝3，‎ 则a，b＝1，c，‎ 故双曲线1的渐近线方程是y＝±x，焦点坐标（，0），‎ 故答案为：y＝±x，（，0）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．‎ ‎12．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则___；的面积是___‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】由余弦定理可求c，利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后由△ABC的面积公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：在△ABC中，a＝b，cosC，‎ 由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC4，则c＝2；‎ 在△ABC中，∵cosC，‎ ‎∴sinC，‎ ‎∴S△ABCab•sinC．‎ 故答案为：2；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查三角形的面积公式，是基础题．‎ ‎13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____；表面积为____.‎ ‎【答案】3 9+ ‎ ‎【解析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，结合图中数据求出它的体积和表面积．‎ ‎【详解】‎ 解：根据三视图知该几何体是直三棱柱，如图所示；‎ 则该几何体的体积为V＝S△ABC•AA13×1×2＝3；‎ 表面积为S＝2S△ABC ‎＝23×1+3×2+22‎ ‎＝9+22．‎ 故答案为：3，9+22．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题，是基础题．‎ ‎14．若实数，满足，则的最小值为____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由已知可知，2（a﹣1）+b﹣2＝2，从而有（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，利用基本不等式可求最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，‎ ‎∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，‎ 则（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，‎ ‎（4），‎ 当且仅当 且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．‎ ‎15．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为过定点的直线与半圆C的图象有两个交点，结合图象知：kPE≤k≤kPO，求出直线PO和PE的斜率即可；当PC⊥AB时，|AB|最小．‎ ‎【详解】‎ 解：直线l：kx﹣yk＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）‎ 如图：‎ 由图可知：kOP，kPE，∴；‎ 要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，‎ 故答案为：[，]；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了垂径定理，考查了数形结合思想，属于中档题.‎ ‎16．点是边长为2的正方形的内部一点，，若，则的取值范围为___.‎ ‎【答案】(]‎ ‎【解析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对λμ两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λμ的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；‎ 根据条件，‎ ‎12＝λ22+2λμ•μ22‎ ‎＝4λ2+4μ2．令λ，μ＝sinθ,．‎ ‎∴λμ＝cosθsinθ＝sin（θ）；‎ θ, sin（θ）(]‎ ‎∴的取值范围为(]‎ 故答案为（]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎17．函数，若此函数图像上存在关于原点对称的点，则实数 的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数图象上存在关于原点对称的点，转化为f（﹣x）＝﹣f（x）有解，利用参数分离法进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若函数图象上存在关于原点对称的点，‎ 即f（﹣x）＝﹣f（x）有解，‎ 即a﹣2x﹣ma﹣x＝﹣（a2x﹣max）＝﹣a2x+max，‎ 即a2x+a﹣2x＝m（ax+a﹣x），‎ 即m（ax+a﹣x），‎ 设t＝ax+a﹣x，则t≥22，‎ 则（ax+a﹣x）t在[2，+∞）为增函数，‎ ‎∴h（t）＝th（2）＝2﹣1＝1，‎ 则要使m＝h（t）＝t有解，‎ 则m≥1，‎ 即实数m的取值范围是[1，+∞），‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为f（﹣x）＝﹣f（x）有解，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成线面角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥PC，AC⊥CD，由此能证明AC⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）过D作直线DH⊥PC，AC⊥DH，DH⊥平面PAC，从而∠DCH为直线CD与平面PAC所成线面角，由此能求出直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）,,‎ ‎, ,‎ ‎,,,‎ ‎,有公共点，‎ ‎,‎ ‎（Ⅱ）方法1:‎ 过作直线垂直于，为垂足，‎ ‎，，‎ ‎，为所求线面角，‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 方法2:如图建立空间直角坐标系 ‎,‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,‎ 直线与所成线面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ 三、解答题 ‎19．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若为锐角，且，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，当时，求的单调递减区间.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解；‎ ‎（Ⅱ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g（x）＝2sin（2x），根据正弦函数的单调性即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） 为锐角，,,‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎,,‎ ‎,所以单调递减区间是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．‎ ‎20．已知数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，设数列的前项和为，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（Ⅱ）求得bn＝log2（an+1）＝2n﹣1，（‎ ‎），由裂项相消求和，可得Sn，再由参数分离和基本不等式可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得 且 ‎ 是以4为公比的等比数列 ‎，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 且,‎ 当且仅当n=2时取等号，,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义、通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知椭圆过点，且离心率为.过抛物线上一点作的切线交椭圆于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）椭圆（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）根据已知条件列有关a、b、c的方程组，求出a和b的值，即可得出椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+t，先利用导数写出直线l的方程，于是得到k＝2x0，，将直线l的方程与椭圆C1的方程联立，列出韦达定理，由并代入韦达定理，通过计算得出t的值，可得出x0的值，从而可得出直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题知，得,‎ 所以椭圆,‎ ‎（Ⅱ）设的方程：,‎ 由（1）知，的方程：,‎ 故 . 由，得.‎ 所以,‎ 即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,‎ 化简有5t2-2t-3=0，所以t=1或t=,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明 ‎【解析】（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系求解；‎ ‎（Ⅱ）af（x）＞lnx⇔．令F（x），F′（x）（x＞0）．‎ ‎①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；‎ ‎②当＞1时，令G（x），利用导数求得最小值大于0即可．‎ ‎【详解】‎ 解．（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），‎ ‎∵，‎ ‎∴x∈（﹣∞，0），（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为：（1，+∞），减区间为（﹣∞，0），（0，1）．‎ ‎（2）af（x）＞lnx⇔．‎ 令F（x），‎ F′（x）．（x＞0）．‎ ‎①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；‎ ‎②当＞1时，令G（x），G．‎ ‎∴G（x）在（1，+∞）单调递增，‎ ‎∵x→1时，G（x）→﹣∞，G（2）＝e20，‎ ‎∴G（x）存在唯一零点0∈（1，2），‎ F（x）min＝F（x0）‎ ‎∵G（x0）＝0，．‎ 综上所述，当时，af（x）＞lnx成立．‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎