高考数学总复习全套资料
高考数学总复习资料
高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练
复习目标:
1．掌握分类讨论必须遵循的原则
2．能够合理，正确地求解有关问题
命题分析:
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.
重点题型分析:
例1．解关于x的不等式:
解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)<0
（下面按两个根的大小关系分类）
（1）当a>a2Þa2-a<0即 0
0即a<0或a>1时，不等式的解为:xÎ(a, a2)
（3）当a=a2Þa2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x2<0或(x-1)2<0
不等式的解为 xÎÆ.
综上，当 01时，xÎ(a,a2)
当a=0或a=1时，xÎÆ.
评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.
例2．解关于x的不等式 ax2+2ax+1>0(aÎR)
解:此题应按a是否为0来分类.
（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R.
（2）a¹0时分为a>0 与a<0两类
①时，方程ax2+2ax+1=0有两根
.
则原不等式的解为.
②时，
方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-¥，+¥）.
③ 时，
方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-¥,-1)∪(-1,+¥).
④时，
方程ax2+2ax+1=0有两根，
此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:
.
⑤
综上:
当0≤a<1时，解集为（-¥，+¥）.
当a>1时，解集为.
当a=1时，解集为(-¥,-1)∪(-1,+¥).
当a<0时，解集为.
例3．解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)(西城2003’一模 理科）
解:原不等式可化为Û ax2+(a-2)x-2≥0,
(1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1].
(2)a¹0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
① a>0时， 不等式化为，
当，即a>0时，不等式解为.
当，此时a不存在.
② a<0时，不等式化为，
当，即-20时，x∈.
-22时，t=1，
解方程得:（舍）.
(2)当时，即-2≤a≤2时，,,
解方程为:或a=4（舍）.
(3)当 即a<-2时， t=-1时，ymax=-a2+a+5=2
即 a2-a-3=0 ∴ , ∵ a<-2, ∴ 全都舍去.
综上，当时，能使函数f(x)的最大值为2.
例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.
证明:（1）当q=1时，Sn=na1从而
（2）当q≠1时，， 从而
由（1）（2）得:.
∵ 函数为单调递减函数.∴ .
例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.
分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.
解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为， ∴ b=2.∴ .
（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为，此时.
综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于.
评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.
例7．解关于x的不等式 .
解:原不等式
由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞).
由(2)a<1时，，下面分为三种情况.
① 即a<1时，解为.
②时，解为Æ.
③ Þ 即01时，的符号不确定，也分为3种情况.
① Þ a不存在.
② 当a>1时，原不等式的解为:.
综上:
a=1时，x∈(2,+∞).
a<1时，x∈
a=0时，xÎÆ.
01时，x∈.
评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
10:明确讨论的对象，确定对象的全体；
20:确定分类标准，正确分类，不重不漏；
30:逐步进行讨论，获得结段性结记；
40:归纳总结，综合结记.
课后练习:
1．解不等式
2．解不等式
3．已知关于x的不等式的解集为M.
（1）当a=4时，求集合M:
（2）若3ÎM，求实数a的取值范围.
4．在x0y平面上给定曲线y2=2x, 设点A坐标为(a,0), aÎR，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
1.
2.
3. (1) M为
(2)
4. .
2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练
复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。
主要内容：
（一）基本问题
1.定义域 2.对应法则 3.值域
4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性）
7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小
10.分段函数 11. 函数方程及不等式
（二）基本问题中的易错点及基本方法
1．集合与映射
<1>认清集合中的代表元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。
2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。
<2>应用问题实际意义。
<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。
<4>方程，不等式问题先确定定义域。
3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同
<2>联系函数性质求解析式
4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及形式。注意识别及应用条件。
<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。
易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件
5．函数的奇偶性，单调性，周期性。
关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。
<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。
<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。
6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。
<2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合
<4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。
7．函数的图象
<1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩
易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：
取绝对值（对称）与平移
例：由图象，经过如何变换可得下列函数图象？
<1> <2>
分析：<1>
<2>
评述：要由得到只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。
平移与关于y=x对称变换
例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？
分析：①的反函数。
②
∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）
（三）本周例题：
例1．判断函数的奇偶性及周期性。
分析：<1>定义域：
∴ f(x)定义域关于原点对称，如图：
又
∴ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)周期p的奇函数。
评述：研究性质时关注定义域。
例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。
<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解：<1>∵
∴ ， ∴ f(x)周期T=6，
∴ f(113.5)=f(6´19-0.5)=f(-0.5).
当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).
∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.
∴ f(x+3)=-2(x+3).
∴ ,
∴ .
<2>（法1）（从解析式入手）
∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),
∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.
∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).
小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
（法2）（图象）
f(x)=f(x+2)
如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.
x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.
x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.
注：从图象入手也可解决，且较直观。
例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。
分析：<1>设 y1=(x-1)2, y2=logax
x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图：
∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2].
小结：①数形结合 ②变化的观点
③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。
<2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)
∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x2+4x+5.
∴ f(x)=(x+2)2+1, 动区间：[m,0],
∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1,
∴ m∈[-4,0].
小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。
例4．已知函数
(I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。
(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。
分析：(I)任取x10 且(x1+5)(x2-5)>0
,
∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增，
当00,∴f(x)单调递减。
(II)若f(x)=g(x)有实根，即：。
∴
∴ 即方程：有大于5的实根。
（法1） （∵ x>5）
∴ .
（法2）（实根分布）(1)有大于5的实根，
方程(1)化为：ax2+(2a-1)x-15a+5=0.
∵ a>0, ∴Δ=64a2-24a+1≥0.
①有一根大于5 .
②两根均大于.
小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。
小结：
函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。
练习：
已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有。
<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。
<2>若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。
参考答案：
(2)|t|≥2或t=0.
2006年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练
授课内容：复习排列与组合
考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。
考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。
试题安排：一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题（大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合）。
重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。
难点：不重不漏。
知识要点及典型例题分析：
1．加法原理和乘法原理
两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？
分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”
因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。
2．排列数与组合数的两个公式
排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
连乘积的形式 阶乘形式
Pnm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =
Cnm=
例3．求证：Pnm+mPnm-1=Pn+1m
证明：左边=
∴ 等式成立。
评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。
n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。
例4．解方程.
解：原方程可化为：
Û
Û
Û 解得x=3.
评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
3．排列与组合的应用题
历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
一般方法有：直接法和间接法
（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩=Æ的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
特殊方法：
（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。
（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
（4）其它方法。
例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
（1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；
（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排；
（6）甲，乙，丙两两不相邻。
解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。
（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有种，故共有·=3600种不同排法。
（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有·=1400种不同的排法。
（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。
（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有·=720种不同排法。
（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。
例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；
（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。
解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个
数的位置上，由乘法原理共有=388（个）。
（2）5的倍数：按0作不作个位来分类
第一类：0作个位，则有=120。
第二类：0不作个位即5作个位，则=96。
则共有这样的数为：+=216（个）。
（3）比20300大的数的五位数可分为三类：
第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；
第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4个；
第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3个，因此，比20300大的五位数共有：
3+4+3=474（个）。
（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。
例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=++1=31（条）。
所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：
N2=N1-2=31-12=19（条）。
2006年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练
内容：三角函数的定义与三角变换
重点：任意角的三角函数定义
难点：三角变换公式的应用
内容安排说明及分析：
本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。
由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。
知识要点及典型例题分析：
一、三角函数的定义
1．角的概念
（1）角的定义及正角，负角与零角
（2）象限角与轴上角的表达
（3）终边相同的角
（4）角度制
（5）弧度制
2．任意角的三角函数定义
任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：
（1）三角函数的定义域
（2）三角函数值在四个象限中的符号
（3）同角三角函数的关系
（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。
3．诱导公式
总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。
“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：±a，±a）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sina-icosa=cos(+a)+isin(+a)。
“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：2kp+a, p±a, 2p-a, -a）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。
二、典型例题分析：
例1．（1）已知-B B、A≥B C、Acosx成立的x取值范围为（ ）。
A、 B、
C、 D、
解：在内，sinx>cosx，在内sinx>cosx；在内，sinx>cosx；综上，∴ 应选C。
2．（2001年全国） 的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
解：
∴ 应选B。
3．（1998年全国）已知点P(sina-cosa,tga)在第一象限，则在[0，2p]内a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
解：由题设，有
在[0，2p）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在aÎ时，sina>cosa。
∴aÎ
应选B。
4．（1998年全国）sin600°的值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°
=sin(180°+60°)=-sin60°
=
∴应选D。
2006年考前必练数学创新试题 数列经典题选析
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.
一、等差数列与等比数列
例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B．
解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．
由an＋1－an＝a1·qn－a1·qn－1＝a1·qn－1(q－1)>0，得
当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1．
从而可知 A＝{q | 01}．
若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1·qn－a1·qn－1＝a1·qn－1(q－1)＜0，得
当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1．
亦可知 B＝{q | 01}．
故知A∩B＝{q | 01}．
说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！
例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，……，(1＋2＋22＋……＋2n－1)，……前n项的和．
分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋22＋……＋2n－1＝＝2n－1．从而该数列前n项的和
Sn＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2．
说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、
4、
5、
常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。
例3．已知等差数列{an}的公差d＝，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋……＋a99，S＇＝a3＋a6＋a9＋……＋a99，求S奇、S＇．
解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，
即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2 S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．
又由S100＝145，得 ＝145，故得a1＋a100＝2.9
S＇＝a3＋a6＋a9＋……＋a99
＝＝＝＝＝1.7·33＝56.1．
说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！
例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。
（1）求证：数列{an}不是等比数列；
（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋…＋anSn，|q|<1，求bn。
解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b
∵{Sn}成等比数列，且公比为q。
∴Sn＝bqn－1，∴Sn－1＝b·qn－2(n≥2)。
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bqn－1－bqn－2＝b·(q－1)·qn－2
故当q≠1时，＝＝q，
而＝＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。
当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。
综上所述，{an}不是等比数列。
（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，…，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，a3S3，…，anSn是公比为q2的等比数列。
∴bn＝b2＋a2S2·(1＋q2＋q4＋…＋q2n－4)
∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b
∴a2S2＝b2q(q－1)
∴bn＝b2＋b2q(q－1)·
∵|q|<1
∴q2n－2＝0
∴bn＝b2＋b2q(q－1)·＝
说明： 1＋q2＋q4＋…＋q2n－4的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。
二、数列应用题
例5． (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－)万元……，
第n年投入800×(1－)n－1万元
所以总投入an＝800＋800(1－)＋……＋800×(1－)n－1＝4000［1－()n］
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋)万元，……，
第n年收入400×(1＋)n－1万元
bn＝400＋400×(1＋)＋……＋400×(1＋)n－1＝1600×［()n－1］
(2)∴bn－an＞0，1600［()n－1］－4000×［1－()n］＞0
化简得，5×()n＋2×()n－7＞0
设x＝()n，5x2－7x＋2＞0 ∴x＜，x＞1(舍) 即()n＜，n≥5.
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝，经过n年绿化总面积为an＋1
求证an＋1＝＋an
(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？
(1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1= an(1－4%)＋(1－an)16%
即an＋1=80% an +16%=an +
(2)解：由an＋1=an+可得：
an＋1－=(an－)=()2(an－1－)=…=()n(a1－)
故有an＋1＝－()n＋，若an＋1≥，则有－()n＋≥即≥()n－1
两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)
故n≥＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
三、归纳、猜想与证明
例7．已知数列{ an}满足Sn＋an＝(n2＋3n－2)，数列{ bn}满足b1＝a1，
且bn＝an－an－1－1(n≥2).
(1)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论;
解：（1）∵Sn＋an＝(n2＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝(1＋3×1－2)＝1，
∴a1＝＝1－.当n＝2时，有＋2a2＝(22＋3×2－2)＝4， ∴a2＝＝2－
猜想，得数列{ an}的通项公式为an＝n－
(2)若cn＝b1＋b2＋…＋bn，求的值.
当n＝3时，有＋＋3a3＝8， ∴a3＝＝3－.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a1＝1－＝，等式成立.
②假设n＝k时，等式ak＝k－成立，那么
n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝[－ak＋1]－[－ak],
.∴2 ak＋1＝k＋2＋ak， 2 ak＋1＝k＋2＋(k－)，
∴ak＋1＝(k＋1)－，即当n＝k＋1时，等式也成立.
综上①、②知，对一切自然数n都有an＝n－成立.
(2)∵b1＝a1＝，bn＝an－an－1－1＝[n－]－[(n－1)－]－1＝.
∴cn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－()n， ∴＝[1－()n]＝1.
例8．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0.又知数列{bn}满足：bn＝2n－1＋1..
(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn；
(Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0.是关于an和an＋1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an＋1的更为明显的关系式，从而求出an ．
(Ⅰ)∵an＞0（n∈N），且(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0，
∴ (n＋1)()2＋()－n＝0．
∴＝－1或＝．
∵an＞0（n∈N），∴＝．
∴＝···……··＝···…··＝n．
又a1＝2,所以，an＝2n．
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋……＋an＝2(1＋2＋3……＋n)＝n2＋n．
(Ⅱ)∵bn＝2n－1＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋b3 ＋……＋bn＝20＋21＋22＋……＋2n－1＋n＝2n＋n－1
(Ⅲ) Tn－Sn＝2n－n2－1．
当n＝1时，T1－S1 ＝0，∴T1＝S1；
当n＝2时，T2－S2＝－1，∴T2＜S2；
当n＝3时，T3－S3＝－2，∴T3＜S3；
当n＝4时，T4－S4＝－1，∴T4＜S4；
当n＝5时，T5－S5＝6，∴T5＞S5；
当n＝6时，T6－S6＝27，，∴T6＞S6；
猜想：当n≥5时，Tn＞Sn.即2n＞n2＋1.下用数学归纳法证明：
1° 当n＝5时，前面已验证成立；
2° 假设n＝k（k≥5）时命题成立，即2k＞k2＋1.成立，
那么当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2(k2＋1)＝k2＋k2＋2≥k2＋5k＋2＞k2＋2k＋2＝(k＋1)2＋1．
即n＝k＋1(k≥5)时命题也成立．
由以上1°、2°可知，当n≥5时，有Tn＞Sn.；
综上可知：当n＝1时，T1＝S1；当2≤n＜5时，Tn＜Sn.，当n≥5时，有Tn＞Sn.．
说明：注意到2n的增长速度大于n2＋1的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n＝1到n＝4都有Tn≤Sn.就得出Tn≤Sn.的结论，而应该坚信：必存在，使得2n＞n2＋1，从而使得观察的过程继续下去．
例9． 已知函数f(x)＝，(x≤－3)
(1)求f(x)的反函数f－1(x);
(2)记a1＝1,an＝ －f－1(an－1)(n≥2),请写出a2,a3,a4的值并猜测想an的表达式.再用数学归纳法证明.
解：(1)设y＝f(x)＝ ，(x≤－)，由y2＝x2－3(x≤－)，x＝ －
即f－1(x)＝ － (x≥0).
(2)由a1＝1且an＝ －f－1(an－1)(n≥2的整数)，a2＝ －f－1(a1)＝ －( －＝，
a3＝，a4＝.
依不完全归纳可以猜想到：an＝ (n自然数)
下面用数学归纳法予以证明：
当n＝1时,a1＝＝1命题成立
假设n＝k(1≤k≤n)时,命题成立：即ak＝
那么当n＝k＋1时,ak＋1＝－f－1(ak)
＝＝＝
综上所述,可知对一切自然数n均有an＝成立.
例10． 已知数列{an}中，a7＝4，an＋1＝，．
（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？
（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有＜an？
解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件an＋1＝，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些ak的值来寻找规律．不难得到：
a8＝，a9＝12，a10＝－8，a11＝－，a12＝0，a13＝，
可以看出：a8，a9均大于2，从a10到a13均小于2，但能否由此断定当n＞13时，也有an＜2？这就引导我们去思考这样一个问题：若an＜2，能否得出an＋1＜2？
为此，我们考查an＋1－2与an－2的关系，易得
an＋1－2＝－2 ＝．
可以看出：当an＜2时，必有an＋1＜2．于是，我们可以确定：当n≥10时，必有an＜2．
为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当n＝1，2，……，9时，是否均有an＞2．
方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：an＝．由此，我们可以从a7出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．
另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若an＋1＞2，能否得出an＞2”？
由an－2＝－2＝不难得知：上述结论是正确的．
所以，存在m＝10，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2．
（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有an－1－an＋1－2 an＜0．
由（Ⅰ）可得：an－1－an＋1－2 an＝．
我们已经知道：当n≥10时，an＜2，于是(an＜2)3＜0，（7－an）＜0，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当n≥p时，总有an＞－3？
观察前面计算的结果，可以看出：a10＜－3 ，a11，a12，a13均大于－3，可以猜想：p＝11 即可满足条件．
这样的猜想是否正确？我们只需考查an＋1＋3与an＋3的关系：
由an＋1＋3＝＋3＝可知：上述结论正确．
另外，如果我们注意到从a11到a13，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑an＋1－an．
由an＋1－an－an ＝＞0，从而得出结论．
说明：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．
四、由递推公式探求数列问题
例11．设An为数列{an}的前n项的和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1;
（3）设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和，Dn为数列{dn}的前n项和，Tn＝Br－Dn，求。
解：（1）由An＝ (an－1)，可知An＋1＝ (an＋1－1)
∴An＋1－An＝ (an＋1－an)＝an＋1，即 ＝3
而a1＝A1＝ (a1－1)，得a1＝3
所以数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式为an＝3n。
（2）∵32n＋1＝3·32n＝3·(4－1)2n
＝3×（42n＋C12n·42n－1(－1)＋…＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n）
＝4m＋3
∴32n＋1∈{bn}
而数32n＝（4－1）2n
＝42n＋C2n1·42n－1·（－1）＋…＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n
＝(4k＋1)
∴32nÏ{bn}
而数列{an}＝{32n＋1}∪{32n}
∴ dn＝32n＋1
(3)由32n＋1＝4·r＋3，可知r＝
∵Br＝＝r(2r＋5)＝·
Dn＝·(1－9n)＝(9n－1)
∴Tn＝Br－Dn＝－(9n－1)
＝·34n－·32n＋
又∵（an）4＝34n
∴＝
例12． 已知函数f(x)＝x＋(a>0)
（1）求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域；
（2）数列{an}满足
设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论。
解：（1）给y－x＝两边平方，整理得 x＝
∵y－x＝y－＝＝≥0
∴y≥a或－a≤y<0
故f－1(x)＝ ，其定域为[－a,0)∪[a,＋∞)
（2）∵an＋1＝f－1(an)＝
∴bn＋1＝＝…＝（）2＝bn2 (可两边取对数求解)
又a1＝3a，b1＝＝＝
∴bn＝(bn－1)2＝(bn－2)＝(bn－3)
＝…＝(b1) ＝()
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋()2＋()＋[()＋()＋…＋()]＝＝1－()n
由此可知，当n＜3时，Sn＜，当n＝3时，Sn＝，当n＞3时，Sn＞．
又∵2n－1＝(1＋1)n－1＝1＋C＋C＋C＋……＋C
则当n≥4时，2n－1＞1＋C＋C
＝1＋(n－1)＋>n＋1
∴()<()n＋1
∴Sn＝＋()2＋()＋[()＋()＋…＋()]＝＝1－()n
由此可知，当n≥4时，Sn＞．
当n＝3时，Sn＝＋()2＋()＝＋＋＝＜．
故知当n≤3 时，Sn＜．
说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f－1(x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用三角代换x＝asecθ，θ∈[0,，求函数f(x)的值域，即f－1(x)的定义域。
例13．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝，是否存在这样的数列{bn}，bn＝，其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{an}的取值范围。
解：假设这样的{bn}存在，则应有
bn＋1＝＝＝
又 bn＝
存在q≠0，q≠1，q为常数，使bn＋1＝qbn，对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有
由（1）可解得A＝－1或－2，由（2）、（3）可解得B＝－C或C＝－2B。
1°若代入（2）知q＝1（B、C不能为0，否则bn＝0，不合题意要求）舍去。
2°若代入（2）得q＝
3°当时，q＝
4°当时，q＝1（舍去）
故现只取A＝－1，B＝1，C＝－2，q＝（不必考虑q＝时的情况，因为只证存在性）。
得bn＝
所以满足题设条件的数列存在。
对于{an}的取值范围，我们可以这样解.
∵an＋1－an＝－an
＝－，a1＝4>2，故a22，得an>2，所以{an}单调递减。且因为an>2，所以
an－2＝<(an－1－2)
<()2(an－2－2)<…<()n－1(a1－2)
∴an＝2，故an∈(2，4。
说明：存在性问题的解法常是假设存在经过推理、运算或是求出结论得出存在或是得出矛盾证明不存在。本题的{an}的范围还可用前半部分的结论来求。解法如下：
b1＝＝，故bn＝()n ∴＝()n
∴an＝＋1
由此易得an∈(2，4。
例14． （1）设数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p。（2）设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：{cn}不是等比数列。
证明：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，故有
(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)·(cn－pcn－1)
将cn＝2n＋3n代入上式，得：
[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]
整理得：(2－p)(3－p)·2n·3n＝0
解之得：p＝2或p＝3。
（2）设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn＝an＋bn。
为证{Cn}不是等比数列，只要证明c22≠c1·c3 事实上： c22＝(a1p＋b1q)2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)
＝a12p2＋＋b12q2＋a1b1(p2＋q2)
∵p≠q，∴p2＋q2>2pq，又a1，b1不为零，∴c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列。
说明： 本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论；
推论1：设数列{cn}，cn＝an＋bn且a≠b，则数列{cn＋1－pcn}为等比数列的充要条件是p＝a或p＝b。
推论2：设{an}、{bn}是两个等比数列，则数列{an＋bn}为等比数列的充要条件是，数列{an}，{bn}的公比相等。
推论3：公比为a、b的等比数列{an}，{bn}，且a≠b，s、t为不全为零的实数，cn＝san＋tbn为等比数列的充要条件是st＝0。
例15．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求sn;
（3）设bn＝ ( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由an＋2＝2an＋1－anÞ
an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝＝－2
－∴an＝10－2n
（2）由an＝10－2n≥0得n≤5
∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n
当n>5时，Sn＝n2－9n＋40
故Sn＝ （n∈N）
（3）bn＝＝＝()
∴Tn＝ b1＋b2＋…＋bn
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋……＋(－)]＝(1－)＝
＞＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1.
∴要使Tn>总成立，需0 B.<0 C.=0 D.>-3
4．设数列1,(1+2),(1+2+)…(1+2++…+)的前n项和为,则等于( )
A. B.-n C.-n D.-n-2
5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为( )
A.12P B. C. D.
6．在数列中,已知,,,则等于( )
A.5 B.4 C.-1 D.-4
7．(理)给出一系列碳氢化合物的分子式:,,…,则该系列化合物的分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近于( )
A.95% B.96% C.97% D.98%
(文)若数列的前n项和为,且,则数列( )
A.只能是递增的等比数列 B.只能是递减的等差数列
C.只能是递减的等比数列 D.可能是常数列
8．已知1是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值为( )
A.1或- B.1或- C.1或 D.1或
9．若方程与的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m：n的值为( )
A.4 B.2 C. D.
10．等比数列的首项为,其前11项的几何平均数为
,若在这前11项中抽取一项后的几何平均数为,则抽出的是( )
A.第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项
11．如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成的一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项的和为S(n),则S(16)等于( )
A.128 B.144 C.155 D.164
12．（理）在等比数列中,(为锐角),且前n项和满足,那么的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,) C.(0,) D.(0,)
（文）根据调查，预测某家电商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似的满足，按此预测，在本年度需求量超过1.5万件的月份是（ ）
A．5月和6月 B．6月和7月 C．7月和8月 D．8月和9月
二．填空题:
13．已知,则=_____________
14. 设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列；
（3）若，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是 .
15．已知等差数列有一性质:若是等差数列.则通项为的数列也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若是等比数列,则通项为=______
_______的数列也是等比数列
16．依次写出数，，，…法则如下：如果为自然数且未写出过，则写，否则就写，那么
三．解答题:
17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知an＝5S n－3 （n∈N＋），{bn}是{a n}的奇数项构成的数列，求数列{bn} 的通项公式．
18．数列满足条件
(1)求 (2)求
19．已知数列是等差数列，其前项和为。
（1）求数列的通项公式
（2）设p,q是正整数，且pq，证明
20．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
21．已知数列的首项，公比且的等比数列，设数列的通项，数列，的前n项之和分别为，如果存在常数k，使得对所有的适合条件的两个数列，均有对一切都成立，试求实数k的取值范围。
22.已知(x)在上有定义，，且满足时有
，对数列满足
（1）证明：(x)在（-1，1）上为奇函数；
（2）求的表达式；
（3）是否存在自然数m，使得对于任意，有 成立？若存在，求出m的最小值.
参考答案
一. 选择题:
1.A 2.C(C) 3.D 4.D 5.C 6.A. 7.B(A) 8.B 9.D 10.A 11.D 12.B（C）
二,填空题:
13. 2046 14.（1）、（2）、（3）
15. 16. 6
三.解答题:
17.由an＝5S n－3(n∈N＋)…(1)；知a1＝，且an＋1＝5S n＋1－3 (n∈N＋) …(2)；
(2)－(1)得：an＋1－an＝5an＋1，移项得－an＝4an＋1， an＋1＝ －an，
因为a1¹0，所以an¹0，得，所以{an}为等比数列， an＝；
a 1，a 3，…，a 2 n－1，…构成以为首项，为公比的等比数列；
∴{bn} 的通项公式为bn ＝·（）n－1．
18.（1）
（2），
19.(1)设等差数列的公差为d, 依题意得
解得
∴的通项公式为=
(2)证明∵∴
∵
=
∵ ∴
∴
20.解：购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完.
设每月付款顺次组成数列{an}，则
a1=50+1000×0.01=60(元).
a2=50+(1000－50)×0.01=(60－0.5)(元).
a3=50+(1000－50×2)×0.01=(60－0.5×2)(元).
依此类推得
a10=60－0.5×9=55.5(元),
an=60－0.5(n－1)(1≤n≤20).
∴付款数{an}组成等差数列，公差d=－0.5,全部货款付清后付款总数为
S20+150=(a1+a20)+150
=(2a1+19d)×10+150
=(2×60－19×0.5)×10+150
=1255(元).
答：第十个月该交付55.5元，全部货款付清后，买这件家电实际花了1255元
21. ∵
∴
当q=1时
当时, ∵且
∴
∴ 即 对于恒成立
∴ 即
当时,;当时
∴时
∴
22.(1)∵有
当时,可得
当时
∴∴在上为奇函数
(1) ∵
=
∴ 又
∴为等比数列,其通项公式为
(2) 假设存在自然数m,则
=对于恒成立
∴ 对于恒成立
∴且,即可
2006年数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如：，，求；
（2）集合与元素的关系用符号，表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2）；；
（3）对于任意集合，则：
①；；；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若为偶数，则 ；若为奇数，则 ；
②若被3除余0，则 ；若被3除余1，则 ；若被3除余2，则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
（2）中元素的个数的计算公式为： ；
（3）韦恩图的运用：
四、满足条件，满足条件，
若 ；则是的充分非必要条件；
若 ；则是的必要非充分条件；
若 ；则是的充要条件；
若 ；则是的既非充分又非必要条件；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若，则”在解题中的运用，
如：“”是“”的 条件。
六、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语
等于
大于
小于
是
都是
至多有一个
否定
正面词语
至少有一个
任意的
所有的
至多有n个
任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。
函数的图象与直线交点的个数为 个。
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
①，则 ； ②则 ；
③，则 ； ④如：，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数的定义域是，求的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：①（2种方法）；
②（2种方法）；③（2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）
平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。
（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。
对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
x
O
y
y=f(x)
(2,0)
(0,-1)
如：的图象如图，作出下列函数图象：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）。
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数：；；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；
顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：
根的情况
等价命题
在区间上有两根
在区间上有两根
在区间或上有一根
充要条件
注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y= (a>o,a≠1)
，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和00，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若，则（当且仅当时取等号）
基本变形：① ； ；
②若，则，
基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当（常数），当且仅当 时， ；
当（常数），当且仅当 时， ；
常用的方法为：拆、凑、平方；
如：①函数的最小值 。
②若正数满足，则的最小值 。
三、绝对值不等式：
注意：上述等号“＝”成立的条件；
四、常用的基本不等式：
（1）设，则（当且仅当 时取等号）
（2）（当且仅当 时取等号）；（当且仅当 时取等号）
（3）； ；
五、证明不等式常用方法：
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……
（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
六、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、：⑴若，则 ；⑵若，则 ；
Ⅱ、：⑴若，则 ；⑵若，则 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：
（5）绝对值不等式：若，则 ； ；
注意：(1).几何意义：： ；： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若则 ；③若则 ；
(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。
五、数列
本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；
③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整
体思想求解.
（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法：
2、 数列的项与项数：
3、 有穷数列与无穷数列：
4、 递增（减）、摆动、循环数列：
5、 数列{an}的通项公式an：
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{anbn}、、仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等差数列。
26. 在等差数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则， ，
27. 在等比数列中：
（1） 若项数为，则
（2）若数为则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
六、平面向量
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：
(1)．
(2)若a=（）,b=（）则ab=（）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－
且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律); +(+c)=(+ )+c （结合律）;
+0= ＋(－)=0.
3．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)︱︱=︱︱·︱︱;
(2) 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0．
(3)若=（），则·=（）．
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．
(2) 若=（）,b=（）则∥b．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+ e2．
4．P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，
叫做点P分有向线段所成的比。
当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；
分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则 （≠－1）， 中点坐标公式：．
5． 向量的数量积：
（1）．向量的夹角：
已知两个非零向量与b，作=, =b,则∠AOB= （）叫做向量与b的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则·b=︱︱·︱b︱cos．
其中︱b︱cos称为向量b在方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：
若=（）,b=（）则e·=·e=︱︱cos (e为单位向量);
⊥b·b=0（，b为非零向量）;︱︱=;
cos==．
(4) ．向量的数量积的运算律：
·b=b·;()·b=(·b)=·(b);(＋b)·c=·c+b·c．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
七、立体几何
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
4.平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；
②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。
5．棱柱
（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。
（2）掌握长方体的对角线的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
（4）S侧＝各侧面的面积和。思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？
（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？
6．棱锥
１． 棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）
２． 相关计算：S侧＝各侧面的面积和 ，V=Sh
7．球的相关概念：S球=4πR2 V球＝πR3 球面距离的概念
8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）
。
掌握欧拉公式：V+F-E=2 其中：V顶点数 E棱数 F面数
9．会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。
主要思想与方法：
1．计算问题：
（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算
异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.
直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.
二面角 方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
（2）空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.
(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.
(7)两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.
求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.
求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.
2．平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变
3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.
②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.
③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.
④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.
⑤平行转化
⑥垂直转化
八、平面解析几何
（一）直线与圆知识要点
α
。
π
O
K
１．直线的倾斜角与斜率k=tgα，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0,π]，但斜率不一定存在。牢记下列图像。
斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标
２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。
３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）
４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。
５．点到直线的距离公式。
６．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。
７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。
８．圆的标准方程：(x－a)2+(y－b)2=r2
圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。
圆的参数方程：
掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。
圆锥曲线方程
（二）、圆锥曲线
１． 椭圆及其标准方程
２．双曲线及其标准方程：
３．抛物线及其标准方程：
直线与圆锥曲线：
注意点：
（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
（2）要学会变形使用两点间距离公式，当已知直线的斜率 时，公式变形为或；当已知直线的倾斜角时，还可以得到或
（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算.
（4）会在任何条件下求出直线方程.
（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论：
１． 直线的倾斜角α的范围是[０，π)
２． 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k与α同增减。
３． 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
４． 两直线：L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2A1A2+B1B2=0
５． 两直线的到角公式：L1到L2的角为θ，tanθ=
夹角为θ，tanθ=|| 注意夹角和到角的区别
１． 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。
２． 有关对称的一些结论
① 点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是
（ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ）
② 如何求点（ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点
③ 直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程有时什么？
④ 如何处理与光的入射与反射问题？
８．曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：
（１）点(a.b)
（２）ｘ轴
（３）ｙ轴
（４）原点
（５）直线y=x
（６）直线y=－x
（７）直线x＝ａ
９．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x0,y0),圆的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2.
如果(x0－a)2+(y0－b)2>r2点P(x0,y0)在圆外；
如果 (x0－a)2+(y0－b)2r相离 d=r相切 dr+R两圆相离 d＝r+R两圆相外切
|R－r|0）
（1）若x1+x2≤1，证明：
（2）求的最小值，并说明何时取到最小值.
4．已知，数列满足．
（1）用表示；
（2）求证：是等比数列；
（3）若，求的最大项和最小项．
5．如图，MN是椭圆C1：的一条弦，A（－2,1）是MN的中点，以A为焦点，以椭圆C1的左准线l为相应准线的双曲线C2与直线MN交于点B（－4，－1）。设曲线C1、C2的离心率分别为e1、e2。
（1）试求e1的值，并用a表示双曲线C2的离心率e2；
（2）当e1e2=1时，求|MB|的值。
6．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[，上的图像．
x
y
A
P
B
C
D
0
7.已知双曲线右支上一点在轴上方，A、B分别是椭圆的左、右顶点，连结AP交椭圆于点C，连结PB并延长交椭圆于D，若△ACD与△PCD的面积恰好相等．
（1）求直线PD的斜率及直线CD的倾角；
（2）当双曲线的离心率为何值时，CD恰好过椭圆的右焦点？
8. 如图．已知斜三棱柱ABC-的各棱长均为2，侧棱与底面ABC所成角为，且侧面垂直于底面ABC．
（1）求证：点在平面ABC上的射影为AB的中点；
（2）求二面角C--B的大小；
（3）判断与是否垂直，并证明你的结论．
9. 如图所示，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求和点B的坐标．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，O为原点，且＝a，
＝b，＝c，＝d，E在BA上，且BE∶EA＝1∶3，F在BD上，且BF∶FD＝1∶4，用a，b，c，d分别表示、、、，并判断E、F、C三点是否共线．
11. △ABC中，，，a，b是方程的两根，且2cos（A＋B）＝1．求：
（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）
12. 已知二次函数的二次项系数为负，对任意实数x都有，问当与满足什么条件时才有-2＜x＜0？
题型示例答案
一、 选择题
1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.Ａ15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C
二、 填空题
1. 9002. 3. 1023 4. 1 5. 6. ①③④7. ①②③④⑤8. 4
三、解答题
1. （1）椭圆C的方程为，焦点F1(-1,0)、F2(1,0)；
（2） ；（3）定值为
2. （1）证明 函数定义域为
∴为奇函数.
设
上是增函数，又是奇函数.
∴在（－∞，0）上也是增函数.
（2）解 猜想：
3. 证：（1）
要证，
只要让
即证：
只要证： 成立，故原不等式也成立。
解（2）从（1）的证明过程可知当成立
，等号当时取到．
等号当取到。
4. 解：（1）因为
所以，又，所以
（2）因为
所以，是以为首项，公比为的等比数列．
（3）由（2）可知，， 所以，
从而．
因为减函数，所以bn中最大项为b1＝0． 又bn＝，
而此时n不为整数才能有，所以只须考虑接近于．
当n=3时，＝与相差；当n=4时，＝与相差，
而＞，所以bn中项．
5.解（1）［法一］由A（－2,1），B（－4，－1）得直线AB即直线MN方程为y=x+3，代入椭圆C1的方程并整理，得(a2+b2)x2+6a2x+9a2－a2b2＝0 (*)
设M（x1,y1），N(x2,y2)，则 x1＋x2＝－
∵A（－2,1）是弦MN的中点，∴x1+x2=-4，故由得a2=2b2,
又b2=a2－c2，∴a=，从而椭圆离心率e1=.
∵A为C2的焦点，且相应准线l方程为，即，过B作BB0⊥l于B0，则由双曲线定义知，e2=.
法二：设M（x1，y1）,N（x2,y2）,则x1+x2＝4，y1+y2＝2,且 ，
（i）－（ii）得 ，
∴，以下同法一。
（2）由，得，即，∴或。
当时，b2=9，椭圆方程为；
当时，b2=1，代入（*）知Δ＜0，不合题意，舍去；
（另法：此时A（－2,1）在椭圆外，不可能为弦MN中点，舍去）
∴椭圆C1方程只能为。
以下法一：将a2=18,b2=9，代入（*）得x2+4x=0，∴x1+x2＝－4，x1x2＝0，
∴|MN|＝，
又|AB|＝
∴|MB|＝|MA|＋|AB|＝|MN|+|AB|＝2.
以下法二：具体求出M、N点的坐标。
以下法三：先验证点B（－4，－1）在椭圆上，即B与N重合，从而|MB|＝|MN|，故转化为求弦长|MN|即可。
6. 解：（1）
所以函数的最小正周期为，最大值为．
（2）由（1）知
1
1
1
故函数在区间，上的图像是
7. 解：（1）设，，，又，，
，C为AP的中点，即，，
代入椭圆方程得： ①； 又 ②
①+②得，即舍去），代入（2），并注意，得．
，从而．
直线PD方程为，代入椭圆方程得：，，
，，即⊥轴，倾角为90°．
（2）当CD过椭圆右焦点时，有，，
在双曲线中，半焦距，半实轴，
双曲线离心率，
此时，CD恰好过椭圆右焦点．
8. （1）如图，在平面内，过作⊥AB于D， ∵ 侧面⊥平面ABC，
∴ ⊥平面ABC，是与平面ABC所成的角，∴ ＝60°．
∵ 四边形是菱形， ∴ △为正三角形，
∴ D是AB的中点，即在平面ABC上的射影为AB的中点．
（2）连结CD，∵ △ABC为正三角形，
又∵ 平面⊥平面ABC，平面平面ABC＝AB，
∴ CD⊥平面，在平面内，过D作DE⊥于E，连结CE，则CE⊥，
∴ ∠CED为二面角C--B的平面角．在Rt△CED中，，连结于O，则，，
∴ ． ∴ 所求二面角C--B的大小为arctan2．
（3）答：，连结， ∵ 是菱形 ∴
∴ CD⊥平面，， ∴ ⊥AB，
∴ ⊥平面， ∴ ⊥．
9. 设点B的坐标为（x，y），则，，， ∵
∴ ①
又∵ ∴ ②
解①②得 或
∴ 点B的坐标为（，）或（，），或，
10. 解：由，，可直接求得 ，．
∴
．
由平行四边形性质，知． 即
所以
∴ ，从而E、F、C三点共线．
11. 解：（1），120°
（2）∵ a，b是的两个根，
∴ ，
∴
∴
（3）
12. 解:由已知，． ∴ 在（-∞，上单增，在（2，＋∞）上单调．
又∵ ，．
∴ 需讨论与的大小．
由知
当，即时，．
故时，应有
