百师联盟全国2019届高三冲刺考(二)全国卷数学(文)试卷 Word版含解析

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百师联盟全国2019届高三冲刺考(二)全国卷数学(文)试卷 Word版含解析

www.ks5u.com 百师联盟2019届全国高三冲刺考(二)‎ 全国卷 文科数学试卷 本试题卷共4页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设全集,则等于( )‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全集,先求得,再求.‎ 详解】或,‎ 或,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.‎ ‎2.,则的值为( )‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,利用倍角公式和平方关系求得,再利用求解.‎ ‎【详解】‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查倍角和半角公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎3.已知,则下列各式正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,由正负排除部分选项,再作出的图象确定结论.‎ ‎【详解】而,故排除A,D 作出的图象,如图所示:‎ - 22 -‎ 可得时,,‎ 所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查指数,对数,幂比较大小,还考查了数形结合的思想,属于中档题.‎ ‎4.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【详解】从五个球中任取两个,‎ 共有种取法,‎ 其中1,2;1,5;2,4,三种取法数字之和为3或6,‎ 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时,首先求出样本空间中基本事件的总数,其次求出概率事件中含有多少个基本事件,然后根据公式求得概率.‎ ‎5.设,,夹角为,则等于(  )‎ A. 37 B. 13 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件,由,即可求出结果.‎ ‎【详解】解:∵,,夹角为,‎ ‎∴‎ - 22 -‎ ‎∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模,熟记向量的模的计算公式即可,属于常考题型.‎ ‎6.设变量满足条件,则的最大值为( )‎ A. 13 B. 14 C. D. 119‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据变量满足条件,画可行域,将变形为,平移直线,使得直线在y轴上的截距最大时的整点,即为最优点再求解.‎ ‎【详解】由变量满足条件,画可行域如图所示A,B两点,‎ ‎ ‎ 将变形为,平移直线,‎ 在过整点时,直线在y轴上的截距最大,‎ 此时,目标函数取得最大值,最大值为.‎ - 22 -‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划求最值,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎7.在中,,,,,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过平面向量基本定理,将,用基底 表示,再求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎∴ ,故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎8.在长方体中,和与底面所成角分别为60°和45°,则异面直线和所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 设,连接,,则,即为所求的角,再根据和与底面所成角分别为60°和45°,求得,再利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】如图,‎ 设,连接,,‎ 所以,所以即为所求的角,‎ 中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴中,,‎ ‎∴由余弦定理:.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角和异面直线所成的角,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎9.数列的通项公式为,其前项和是,那么数列的前项和是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:,‎ - 22 -‎ ‎.‎ ‎.故C正确.‎ 考点:等差数列的前项和公式.‎ ‎10.已知的内角所对的边分别为,若,则的可能取值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理结合,得到,即求解.‎ ‎【详解】根据余弦定理得:,‎ 已知不等式化为:,‎ 整理得:,即,‎ 因式分解得:,‎ 解得:或(舍去),‎ ‎∴,由为三角形的内角,‎ 则的取值范围是.‎ 则的可能取值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理和有关三角函数的不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线,为右焦点,.若,则双曲线的离心率为( )‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,表示直线和直线的斜率,再根据 ∴建立 的方程求解.‎ ‎【详解】直线的斜率,‎ 直线的斜率,‎ ‎∵ ∴,‎ ‎∴,∴,‎ 又∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴ ∴,‎ 解得,‎ 又∵,∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎12.设函数,.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. B. ‎ - 22 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案为B 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为,,,,,.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为____.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【思路点拨】本题考查频率分布直方图,关键是抓住纵轴表示的是.‎ ‎:解:最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9.‎ - 22 -‎ ‎14.曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为 .‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 函数求导,,令,解得,‎ 当,,;‎ 当,.‎ 综上:P0坐标为(1,0)或(-1,-4).‎ 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.‎ ‎15.一个边长为,宽的长方形内画有一个中学生运动会的会标,在长方形内随机撒入100粒豆子,恰有60粒落在会标区域内,则该会标的面积约为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】由几何概型的概率计算公式可知,,所以会标的面积约为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的应用,属于中档题.‎ ‎16.给出下列四个命题:‎ ‎①函数的图像的一条对称轴是直线;‎ ‎②若命题:“存在”,则命题否定为:“对任意 - 22 -‎ ‎”;‎ ‎③若,则;‎ ‎④“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.‎ 其中正确命题的序号为_________.‎ ‎【答案】①,②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的对称轴判断①;由否定的定义判断②;举反例判断③;由充分条件和必要条件的定义判断④.‎ ‎【详解】①正确,令,则,‎ 故函数的图像的一条对称轴是直线;‎ ‎②正确,由命题的否定的定义得,命题的否定为“对任意”‎ ‎③错误,当时,有;‎ ‎④错误,当时,直线与直线互相垂直 当时,直线与直线也互相垂直 故是两直线互相垂直的充分不必要条件.‎ 故答案①②‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断命题的真假,涉及了正弦型函数的对称轴,充分条件和必要条件的判断,属于中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考 生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.设向量,,.‎ ‎(1)求;‎ - 22 -‎ ‎(2)求以为邻边的平行四边形的面积;‎ ‎(3)求的模的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,利用数量积的坐标运算求解、‎ ‎(2)将以为邻边的平行四边形的面积,转化为两个三角形面积利用正弦定理求解.‎ ‎(3)根据求解.‎ ‎【详解】(1).‎ ‎.‎ ‎(2)∵ , ,‎ 又∵ 从而,‎ ‎∴以为邻边的平行四边形的面积.‎ ‎(3),,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴当时,.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及其应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ - 22 -‎ ‎18.如图,直三棱柱中,分别为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若,求证:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连结交于点,连结,利用线面平行的判定定理,结合中位线定理,即可平面;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,利用向量法证明即可.‎ 详解】解:(1)连结交于点,连结.‎ 在中,因为分别为中点,所以;‎ 因为分别为的中点,故,则 又因为平面平面 所以平面.‎ ‎(2)取的中点为,直三棱柱,则底面 因为,所以平面 - 22 -‎ 平面,‎ 故以点为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标系 不妨设,,则 ‎,,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及线线垂直,属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的最小值;‎ ‎(2)若对任意,恒成立,试求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题得,再利用对勾函数的性质得到函数 - 22 -‎ 的最小值;(2)等价于>0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ ‎∵在区间上为增函数,‎ ‎∴由对勾函数的性质知函数在区间上的最小值为.‎ ‎(2)在区间上,恒成立恒成立.‎ 设,,‎ 因为在上递增,‎ ‎∴当时,,‎ 于是,当且仅当时,函数恒成立,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查对勾函数的性质,考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.设是数列的前项和,且满足,其中为常数,且.‎ ‎(1)求证:是等比数列;‎ ‎(2)若的公比,数列满足.求证:是等差数列,并求的通项公式.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用前项和与通项的关系,结合等比数列的定义证明即可;‎ ‎(2)利用(1)得出,化简得到 - 22 -‎ ‎,由等差数列的定义,即可证明是等差数列,以及得出的通项公式.‎ ‎【详解】解:(1)证明:时 ‎∴‎ 时,,得 两式相减得 即为常数 ‎∴是以1为首项,为公比的等比数列 ‎(2)解:由(1)知 ‎∴‎ ‎∴‎ 由知是以首项1,为公差的等差数列 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用定义证明等差,等比数列,属于中档题.‎ ‎21.椭圆的中心在原点,其左焦点与抛物线的焦点重合,过的直线与椭圆交于、两点,与抛物线交于、两点.当直线与轴垂直时,.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求的最大值和最小值.‎ - 22 -‎ ‎【答案】(1) (2)最大值;最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由抛物线方程,得焦点,联立抛物线方程与直线的方程,得出,根据对称性以及,得出,从而得出,代入椭圆方程,根据椭圆的性质得出椭圆的方程;‎ ‎(2)讨论直线与轴是否垂直,当直线与轴不垂直时,设出直线方程,并与椭圆联立,利用韦达定理以及向量的数量积公式,化简得出,再求最值,即可得出结论.‎ ‎【详解】解:(1)由抛物线方程,得焦点.‎ 设椭圆的方程:.‎ 解方程组得.‎ 由于抛物线、椭圆都关于轴对称,‎ ‎∴,,∴.‎ ‎∴又,‎ 因此,,解得,并推得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎①若垂直于轴,则,‎ - 22 -‎ ‎∴‎ ‎②若与轴不垂直,设直线的斜率为,则直线的方程为 由得 ‎∵,∴方程有两个不等的实数根.‎ 设.‎ ‎∴‎ ‎,则 综上,‎ 所以当直线垂于轴时,取得最大值 当直线与轴重合时,取得最小值 ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及已知直线与椭圆的位置关系求最值,属于较难题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ - 22 -‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点,点满足.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与曲线交于不同于原点的点求.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程;(2)根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.‎ ‎【详解】(1)设,则由条件知.由于M点在上, 所以即 从而的参数方程为 . (2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为. 射线与的交点A的极径为, 射线与的交点B的极径为. 所以.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解,也可以直接求解,关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系,是基础题.‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.设函数,其中.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集为,求的值.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把代入即可求解;‎ ‎(2)解不等式,得,由题意,即求的值.‎ ‎【详解】(1)当时,.‎ 不等式即为或,‎ 或.‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎(2)由得,‎ 等价于不等式组或,‎ 即或,‎ ‎.‎ 不等式的解集为,‎ - 22 -‎ 又不等式的解集为,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式,属于基础题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎
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