百师联盟全国2019届高三冲刺考（二）全国卷数学（文）试卷 Word版含解析

百师联盟全国2019届高三冲刺考（二）全国卷数学（文）试卷 Word版含解析

www.ks5u.com 百师联盟2019届全国高三冲刺考（二）‎ 全国卷 文科数学试卷 本试题卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎1.设全集，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全集，先求得，再求.‎ 详解】或，‎ 或，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎2.，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用倍角公式和平方关系求得，再利用求解.‎ ‎【详解】‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查倍角和半角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎3.已知，则下列各式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，由正负排除部分选项，再作出的图象确定结论.‎ ‎【详解】而，故排除A，D 作出的图象，如图所示：‎ - 22 -‎ 可得时，，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查指数，对数，幂比较大小，还考查了数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎4.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【详解】从五个球中任取两个，‎ 共有种取法，‎ 其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，‎ 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎5.设，，夹角为，则等于（　　）‎ A. 37 B. 13 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，由，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：∵，，夹角为，‎ ‎∴‎ - 22 -‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎6.设变量满足条件，则的最大值为（ ）‎ A. 13 B. 14 C. D. 119‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据变量满足条件，画可行域，将变形为，平移直线，使得直线在y轴上的截距最大时的整点，即为最优点再求解.‎ ‎【详解】由变量满足条件，画可行域如图所示A,B两点，‎ ‎ ‎ 将变形为，平移直线，‎ 在过整点时，直线在y轴上的截距最大，‎ 此时，目标函数取得最大值，最大值为.‎ - 22 -‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎7.在中，，，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过平面向量基本定理，将，用基底 表示，再求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴ ，故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎8.在长方体中，和与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 设，连接，，则，即为所求的角，再根据和与底面所成角分别为60°和45°，求得，再利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】如图，‎ 设，连接，，‎ 所以，所以即为所求的角，‎ 中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴中，，‎ ‎∴由余弦定理：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角和异面直线所成的角，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.数列的通项公式为，其前项和是，那么数列的前项和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ - 22 -‎ ‎.‎ ‎.故C正确.‎ 考点：等差数列的前项和公式.‎ ‎10.已知的内角所对的边分别为，若，则的可能取值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理结合，得到，即求解.‎ ‎【详解】根据余弦定理得：，‎ 已知不等式化为：，‎ 整理得：，即，‎ 因式分解得：，‎ 解得：或（舍去），‎ ‎∴，由为三角形的内角，‎ 则的取值范围是.‎ 则的可能取值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理和有关三角函数的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线，为右焦点，.若，则双曲线的离心率为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，表示直线和直线的斜率，再根据 ∴建立 的方程求解.‎ ‎【详解】直线的斜率，‎ 直线的斜率，‎ ‎∵ ∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴ ∴，‎ 解得，‎ 又∵，∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎12.设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是 A. B. ‎ - 22 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【思路点拨】本题考查频率分布直方图,关键是抓住纵轴表示的是.‎ ‎:解：最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9.‎ - 22 -‎ ‎14.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为 .‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 函数求导，，令，解得，‎ 当，，；‎ 当，.‎ 综上：P0坐标为（1,0）或（-1，-4）.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎15.一个边长为，宽的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】由几何概型的概率计算公式可知，，所以会标的面积约为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，属于中档题.‎ ‎16.给出下列四个命题：‎ ‎①函数的图像的一条对称轴是直线；‎ ‎②若命题：“存在”，则命题否定为：“对任意 - 22 -‎ ‎”；‎ ‎③若，则；‎ ‎④“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件．‎ 其中正确命题的序号为_________．‎ ‎【答案】①，②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的对称轴判断①；由否定的定义判断②；举反例判断③；由充分条件和必要条件的定义判断④.‎ ‎【详解】①正确，令，则，‎ 故函数的图像的一条对称轴是直线；‎ ‎②正确，由命题的否定的定义得，命题的否定为“对任意”‎ ‎③错误，当时，有；‎ ‎④错误，当时，直线与直线互相垂直 当时，直线与直线也互相垂直 故是两直线互相垂直的充分不必要条件．‎ 故答案①②‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了正弦型函数的对称轴，充分条件和必要条件的判断，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.设向量，，.‎ ‎（1）求；‎ - 22 -‎ ‎（2）求以为邻边的平行四边形的面积；‎ ‎（3）求的模的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，利用数量积的坐标运算求解、‎ ‎（2）将以为邻边的平行四边形的面积，转化为两个三角形面积利用正弦定理求解.‎ ‎（3）根据求解.‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎.‎ ‎（2）∵ ， ，‎ 又∵ 从而，‎ ‎∴以为邻边的平行四边形的面积.‎ ‎（3），，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴当时，.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ - 22 -‎ ‎18.如图，直三棱柱中，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结交于点，连结，利用线面平行的判定定理，结合中位线定理，即可平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可.‎ 详解】解：（1）连结交于点，连结．‎ 在中，因为分别为中点，所以；‎ 因为分别为的中点，故，则 又因为平面平面 所以平面．‎ ‎（2）取的中点为，直三棱柱，则底面 因为，所以平面 - 22 -‎ 平面，‎ 故以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 不妨设，，则 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及线线垂直，属于中档题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若对任意，恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，再利用对勾函数的性质得到函数 - 22 -‎ 的最小值；（2）等价于＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∵在区间上为增函数，‎ ‎∴由对勾函数的性质知函数在区间上的最小值为.‎ ‎（2）在区间上，恒成立恒成立．‎ 设，，‎ 因为在上递增，‎ ‎∴当时，，‎ 于是，当且仅当时，函数恒成立，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.设是数列的前项和，且满足，其中为常数，且．‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）若的公比，数列满足．求证：是等差数列，并求的通项公式．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用前项和与通项的关系，结合等比数列的定义证明即可；‎ ‎（2）利用（1）得出，化简得到 - 22 -‎ ‎，由等差数列的定义，即可证明是等差数列，以及得出的通项公式．‎ ‎【详解】解：（1）证明：时 ‎∴‎ 时，，得 两式相减得 即为常数 ‎∴是以1为首项，为公比的等比数列 ‎（2）解：由（1）知 ‎∴‎ ‎∴‎ 由知是以首项1，为公差的等差数列 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用定义证明等差，等比数列，属于中档题.‎ ‎21.椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．当直线与轴垂直时，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的最大值和最小值．‎ - 22 -‎ ‎【答案】（1） （2）最大值；最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线方程，得焦点，联立抛物线方程与直线的方程，得出，根据对称性以及，得出，从而得出，代入椭圆方程，根据椭圆的性质得出椭圆的方程；‎ ‎（2）讨论直线与轴是否垂直，当直线与轴不垂直时，设出直线方程，并与椭圆联立，利用韦达定理以及向量的数量积公式，化简得出，再求最值，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）由抛物线方程，得焦点．‎ 设椭圆的方程：．‎ 解方程组得．‎ 由于抛物线、椭圆都关于轴对称，‎ ‎∴，，∴．‎ ‎∴又，‎ 因此，，解得，并推得．‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎①若垂直于轴，则，‎ - 22 -‎ ‎∴‎ ‎②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为 由得 ‎∵，∴方程有两个不等的实数根．‎ 设．‎ ‎∴‎ ‎，则 综上，‎ 所以当直线垂于轴时，取得最大值 当直线与轴重合时，取得最小值 ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及已知直线与椭圆的位置关系求最值，属于较难题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ - 22 -‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程;（2）根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.‎ ‎【详解】（1）设,则由条件知.由于M点在上, 所以即 从而的参数方程为 . (2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为. 射线与的交点A的极径为, 射线与的交点B的极径为. 所以.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入即可求解；‎ ‎（2）解不等式，得，由题意，即求的值.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 不等式即为或，‎ 或.‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）由得，‎ 等价于不等式组或，‎ 即或，‎ ‎.‎ 不等式的解集为，‎ - 22 -‎ 又不等式的解集为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式，属于基础题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎