四川省成都市龙泉驿区2019——2020学年第二学期七年级数学下册期末试卷 （解析版）

四川省成都市龙泉驿区2019——2020学年第二学期七年级数学下册期末试卷 （解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区七年级第二学期期末数学试卷 ‎ 一、选择题 ‎1．下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列各式运算正确的是（　　）‎ A．a2+a2＝‎2a4 B．a2•a3＝a5 ‎ C．（﹣3x）3÷（﹣3x）＝﹣9x2 D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4‎ ‎3．下列事件中，属于必然事件的是（　　）‎ A．抛出的篮球会下落 ‎ B．打开电视，正在播《新闻联播》 ‎ C．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 ‎ D．校篮球队将夺得区冠军 ‎4．计算（x+3）（x﹣3）的结果为（　　）‎ A．x2+6x+9 B．x2﹣6x+‎9 ‎C．x2+9 D．x2﹣9‎ ‎5．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎6．下列各组数据，能构成三角形的是（　　）‎ A．‎1cm，‎2cm，‎3cm B．‎2cm，‎2cm，‎5cm ‎ C．‎3cm，‎4cm，‎5cm D．‎7cm，‎5cm，‎‎1cm ‎7．如图，D，E是△ABC中BC边上的点，且BD＝DE＝EC，那么（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S‎3 ‎C．S1＝S2＝S3 D．S2＜S1＜S3‎ ‎8．李老师用直尺和圆规作已知角的平分线．‎ 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E ‎②分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．‎ ‎③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．‎ 李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）‎ A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS ‎9．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（　　）‎ A．30° B．40° C．45° D．36°‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）.‎ ‎11．化简 （a+b）（a﹣b）＝　 　．‎ ‎12．如图，用一段长为‎20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为　 　．（不要求写出自变量x的取值范围）‎ ‎13．如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝‎4cm，BC＝‎8cm，把纸片的部分折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为　 　．‎ ‎14．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6个题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15．（16分）（1）（﹣1）2020+（﹣）2﹣（3.14﹣π）0；‎ ‎（2）（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣2）2；‎ ‎（3）（20x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）；‎ ‎（4）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）．‎ ‎16．先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2．‎ ‎17．如图所示，有两个村庄A，B在一公路CD的一侧，如果把A，B村庄的位置放在格点图中．‎ ‎（1）请作出A点关于CD的对称点A′；‎ ‎（2）若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P，使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位置．‎ ‎18．如图，E，F分别在AB，CD上，∠1＝∠D，∠2+∠C＝90°，EC⊥AF．‎ 求证：AB∥CD．（每一行都要写依据）‎ ‎19．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠E＝∠F，DE＝BF．求证：AE＝CF．（每一行都要写依据）‎ ‎20．已知：AB＝AC，AF＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．求证：AD＝AE．‎ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡.上）‎ ‎21．若x2+2mx+9是完全平方式，则m＝　 　．‎ ‎22．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠O＝120°，则∠A＝　 　．‎ ‎23．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠A＝30°，D为斜边AB的中点．若BC＝2，则CD＝　 　．‎ ‎24．若（x﹣3）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a+b的值为　 　．‎ ‎25．如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数　 　度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是　 　度．‎ 五、解答题（共3个小题，共30分）‎ ‎26．如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．‎ 求证：（1）AD＝BE ‎（2）△APC≌△BQC ‎（3）△PCQ是等边三角形．‎ ‎27．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．‎ ‎（1）求证：EF∥CD；‎ ‎（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明．‎ ‎28．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．‎ 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）；‎ ‎（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．‎ 参考答案 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）.‎ ‎1．下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．‎ 解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；‎ B、是轴对称图，故本选项符合题意；‎ C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；‎ D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．‎ 故选：B．‎ ‎2．下列各式运算正确的是（　　）‎ A．a2+a2＝‎2a4 B．a2•a3＝a5 ‎ C．（﹣3x）3÷（﹣3x）＝﹣9x2 D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4‎ ‎【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，单项式除以单项式的运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．‎ 解：A．a2+a2＝‎2a2，故本选项不合题意；‎ B．a2•a3＝a5，故本选项符合题意；‎ C．（﹣3x）3÷（﹣3x）＝9x2，故本选项不合题意；‎ D．（﹣ab2）2＝a2b4，故本选项不合题意．‎ 故选：B．‎ ‎3．下列事件中，属于必然事件的是（　　）‎ A．抛出的篮球会下落 ‎ B．打开电视，正在播《新闻联播》 ‎ C．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 ‎ D．校篮球队将夺得区冠军 ‎【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．‎ 解：A、抛出的篮球会下落，是必然事件；‎ B、打开电视，正在播《新闻联播》，是随机事件；‎ C、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；‎ D、校篮球队将夺得区冠军，是随机事件；‎ 故选：A．‎ ‎4．计算（x+3）（x﹣3）的结果为（　　）‎ A．x2+6x+9 B．x2﹣6x+‎9 ‎C．x2+9 D．x2﹣9‎ ‎【分析】根据平方差公式即可得出结果．‎ 解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣32＝x2﹣9．‎ 故选：D．‎ ‎5．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．‎ 解：如图，‎ 作EF∥AB，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴EF∥AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠AEF＝30°，∠1＝∠FEC，‎ ‎∵∠AEC＝90°，‎ ‎∴∠1＝90°﹣30°＝60°，‎ 故选：C．‎ ‎6．下列各组数据，能构成三角形的是（　　）‎ A．‎1cm，‎2cm，‎3cm B．‎2cm，‎2cm，‎5cm ‎ C．‎3cm，‎4cm，‎5cm D．‎7cm，‎5cm，‎‎1cm ‎【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．‎ 解：A、1+2＝3，不能构成三角形；‎ B、2+2＜5，不能构成三角形；‎ C、3+4＞5，能构成三角形；‎ D、1+5＜7，不能构成三角形．‎ 故选：C．‎ ‎7．如图，D，E是△ABC中BC边上的点，且BD＝DE＝EC，那么（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S‎3 ‎C．S1＝S2＝S3 D．S2＜S1＜S3‎ ‎【分析】根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得结论．‎ 解：∵BD＝DE＝EC，‎ ‎∴S△ABD＝S△ADE＝S△AEC，‎ 即S1＝S2＝S3，‎ 故选：C．‎ ‎8．李老师用直尺和圆规作已知角的平分线．‎ 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E ‎②分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．‎ ‎③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．‎ 李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）‎ A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS ‎【分析】根据作图的过程知道：OE＝OD，OC＝OC，CE＝CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．‎ 解：如图，连接EC、DC．‎ 根据作图的过程知，‎ 在△EOC与△DOC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△EOC≌△DOC（SSS）．‎ 故选：A．‎ ‎9．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据匀速直线运动的路程、时间图象是一条过原点的斜线，修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条直线，修车后为了赶时间，加大速度后再做匀速直线运动，其速度比原来变大，斜线的倾角变大，即可得出答案．‎ 解：‎ 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线，‎ 修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线，‎ 修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是一条斜线，只是斜线的倾角变大．‎ 因此选项A、B、D都不符合要求．‎ 故选：C．‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（　　）‎ A．30° B．40° C．45° D．36°‎ ‎【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．‎ 解：∵BD＝AD ‎∴∠A＝∠ABD ‎∵BD＝BC ‎∴∠BDC＝∠C 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ‎∴∠C＝∠BDC＝2∠A ‎∵AB＝AC ‎∴∠ABC＝∠C 又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°‎ ‎∴∠A+2∠C＝180°‎ 把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2•2∠A＝180°‎ 解得∠A＝36°‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）.‎ ‎11．化简 （a+b）（a﹣b）＝　a2﹣b2　．‎ ‎【分析】根据平方差公式直接将（a+b）（a﹣b）展开即可．‎ 解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．‎ 故答案为a2﹣b2．‎ ‎12．如图，用一段长为‎20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为　y＝﹣2x2+20x　．（不要求写出自变量x的取值范围）‎ ‎【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为（20﹣2x）米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．‎ 解：∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，‎ ‎∴BC＝20﹣2x，‎ ‎∵菜园的面积＝AB×BC＝x•（20﹣2x），‎ ‎∴y＝﹣2x2+20x．‎ 故填空答案：y＝﹣2x2+20x．‎ ‎13．如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝‎4cm，BC＝‎8cm，把纸片的部分折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为　‎12cm　．‎ ‎【分析】根据折叠的性质得到AD＝BD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．‎ 解：由折叠的性质可知，AD＝BD，‎ ‎∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm），‎ 故答案为：‎12cm．‎ ‎14．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为　　．‎ ‎【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得．‎ 解：由图形知，‎ S①＝S②，‎ ‎∴阴影部分的面积为正方形面积的一半，‎ ‎∴蚂蚁停在阴影部分的概率为，‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共6个题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15．（16分）（1）（﹣1）2020+（﹣）2﹣（3.14﹣π）0；‎ ‎（2）（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣2）2；‎ ‎（3）（20x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）；‎ ‎（4）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）．‎ ‎【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．‎ ‎（2）根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎（3）根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎（4）根据整式的运算法则即可求出答案．‎ 解：（1）原式＝1+﹣1＝．‎ ‎（2）原式＝a2﹣1﹣（a2﹣‎4a+4）‎ ‎＝a2﹣1﹣a2+‎4a﹣4‎ ‎＝‎4a﹣5．‎ ‎（3）原式＝﹣4x+2y．‎ ‎（4）原式＝4x6y2•（﹣2xy）+（﹣8x9y3）÷（2x2）‎ ‎＝﹣8x7y3+4x7y3‎ ‎＝﹣4x7y3．‎ ‎16．先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2．‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．‎ 解：原式＝x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2‎ ‎＝2xy，‎ 当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4．‎ ‎17．如图所示，有两个村庄A，B在一公路CD的一侧，如果把A，B村庄的位置放在格点图中．‎ ‎（1）请作出A点关于CD的对称点A′；‎ ‎（2）若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P，使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位置．‎ ‎【分析】（1）直接利用对称点的性质进而得出答案；‎ ‎（2）直接利用轴对称设计求最短路线的方法得出P点位置．‎ 解：（1）如图所示：A′点即为所求；‎ ‎（2）如图所示：点P即为所求．‎ ‎18．如图，E，F分别在AB，CD上，∠1＝∠D，∠2+∠C＝90°，EC⊥AF．‎ 求证：AB∥CD．（每一行都要写依据）‎ ‎【分析】直接利用互余的性质以及三角形内角和定理、平行线的判定方法进而分析得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵EC⊥AF（已知），‎ ‎∴∠CHF＝90°（垂直的定义），‎ ‎∴∠1+∠C＝90°（三角形内角和定理），‎ ‎∵∠2+∠C＝90°（已知），‎ ‎∴∠1＝∠2（同角的余角相等），‎ 又∵∠1＝∠D（已知），‎ ‎∴∠2＝∠D（等量代换），‎ ‎∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．‎ ‎19．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠E＝∠F，DE＝BF．求证：AE＝CF．（每一行都要写依据）‎ ‎【分析】由AD∥CB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ADB＝∠CBD，由等角的补角相等可得出∠ADE＝∠CBF，结合DE＝BF，∠E＝∠F可证出△ADE≌△CBF（ASA），再利用全等三角形的性质可证出AE＝CF．‎ ‎【解答】证明：∵AD∥CB（已知），‎ ‎∴∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等），‎ ‎∴∠ADE＝∠CBF（等角的补角相等）．‎ 在△ADE和△CBF中，，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（ASA），‎ ‎∴AE＝CF（全等三角形的对应边相等）．‎ ‎20．已知：AB＝AC，AF＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．求证：AD＝AE．‎ ‎【分析】根据SAS证明△AFC与△AGB全等，进而利用全等三角形的性质得出∠AFC＝∠AGC，进而利用AAS证明△ADF与△AEG全等解答即可．‎ ‎【解答】证明：在△AFC与△AGB中 ‎，‎ ‎∴△AFC≌△AGB（SAS），‎ ‎∴∠AFC＝∠AGC，‎ ‎∴∠AFD＝∠AGE，‎ ‎∵AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．‎ ‎∴∠ADF＝∠AEG＝90°，‎ 在△ADF与△AEG中 ‎，‎ ‎∴△ADF≌△AEG（AAS），‎ ‎∴AD＝AE．‎ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡.上）‎ ‎21．若x2+2mx+9是完全平方式，则m＝　±3　．‎ ‎【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍．‎ 解：∵x2+2mx+9是完全平方式，‎ ‎∴x2+2mx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9，‎ ‎∴‎2m＝±6，‎ m＝±3．‎ 故答案为：±3．‎ ‎22．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠O＝120°，则∠A＝　60°　．‎ ‎【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．‎ 解：∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，‎ ‎∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，‎ ‎∴∠OBC+∠OCB ‎＝（∠ABC+∠ACB）‎ ‎＝（180°﹣∠A）‎ ‎＝90°﹣A，‎ ‎∴在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+A＝120°，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ 故答案为：60°．‎ ‎23．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠A＝30°，D为斜边AB的中点．若BC＝2，则CD＝　2　．‎ ‎【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AB．‎ 解：∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵∠A＝30°，‎ ‎∴AB＝2BC＝2×2＝4，‎ ‎∵D为斜边AB的中点，‎ ‎∴CD＝AB＝×4＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎24．若（x﹣3）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a+b的值为　12　．‎ ‎【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据积中不含x的二次项和一次项，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．‎ 解：原式＝x3+ax2+bx﹣3x2﹣3ax﹣3b ‎＝x3+（a﹣3）x2+（b﹣‎3a）x﹣3b，‎ 由积中不含x的二次项和一次项，‎ 得到a﹣3＝0，b﹣‎3a＝0，‎ 解得：a＝3，b＝9，‎ 则a+b＝3+9＝12．‎ 故答案为：12．‎ ‎25．如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数　150　度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是　135　度．‎ ‎【分析】根据长方形纸条的对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2＝∠EFG，继而求出图b中∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得图c中∠CFE的度数．‎ 解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，‎ ‎∴EH∥GF，‎ ‎∴∠1＝∠EFG，‎ 根据翻折不变性得∠1＝∠2＝15°，‎ ‎∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°，‎ 又∵∠DEF＝15°，‎ ‎∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°．‎ 在梯形FCDG中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°，‎ 根据翻折不变性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°．‎ 故答案为：150；135．‎ 五、解答题（共3个小题，共30分）‎ ‎26．如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．‎ 求证：（1）AD＝BE ‎（2）△APC≌△BQC ‎（3）△PCQ是等边三角形．‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；‎ ‎（2）根据全等三角形的性质和判定证明即可；‎ ‎（3）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE是正三角形，‎ ‎∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，‎ ‎∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE，‎ ‎∴△ADC≌△BEC（SAS），‎ ‎∴AD＝BE；‎ ‎（2）∵ADC≌△BEC，‎ ‎∴∠ACP＝∠BCQ，AC＝BC，∠CAP＝∠CBQ，‎ ‎∴△APC≌△BQC（ASA）；‎ ‎（3）∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，‎ ‎∴△CDP≌△CEQ（ASA）．‎ ‎∴CP＝CQ，‎ ‎∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，‎ ‎∴△CPQ是等边三角形．‎ ‎27．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．‎ ‎（1）求证：EF∥CD；‎ ‎（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明．‎ ‎【分析】（1）连接FD，根据等腰三角形的性质和平角的定义得出∠EFB+∠CDB＝90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠BFD+∠BDF＝90°，进一步得出∠EFD+∠CDF＝180°，即可证得EF∥CD；‎ ‎（2）连接FD，延长CB到H，根据平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质证得∠EFD+∠CDF＝180°，即可证得EF∥CD．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，连接FD，‎ ‎∵EB＝EF，CB＝CD，‎ ‎∴∠EBF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，‎ ‎∵∠FBD＝90°，‎ ‎∴∠EBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，‎ ‎∴∠EFB+∠CDB＝90°，‎ ‎∴∠EFD+∠CDF＝180°，‎ ‎∴EF∥CD；‎ ‎（2）成立，‎ 证明：如图2，连接FD，延长CB到H，‎ ‎∵EG∥BC，‎ ‎∴∠EGF＝∠HBF，‎ ‎∵∠FBD＝90°，‎ ‎∴∠HBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，‎ ‎∴∠EGF+∠CBD＝90°，‎ ‎∵EG＝EF，CB＝CD，‎ ‎∴∠EGF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，‎ ‎∴∠EFB+∠CDB＝90°，‎ ‎∴∠EFD+∠CDF＝180°，‎ ‎∴EF∥CD．‎ ‎28．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．‎ 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　EF＝BE+DF　（直接写结论，不需证明）；‎ ‎（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF 的周长．‎ ‎【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；‎ ‎（2）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；‎ ‎（3）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．‎ ‎【解答】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，‎ 在△ABE和△ADG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ADG（SAS），‎ ‎∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，‎ ‎∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，‎ ‎∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，‎ ‎∴∠EAF＝∠FAG＝50°，‎ 在△EAF和△GAF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△EAF≌△GAF（SAS），‎ ‎∴EF＝FG＝DF+DG，‎ ‎∴EF＝BE+DF，‎ 故答案为：EF＝BE+DF；‎ ‎（2）结论仍然成立，‎ 理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．‎ ‎∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，‎ ‎∴∠ABG＝∠D，‎ ‎∵在△ABG与△ADF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABG≌△ADF（SAS），‎ ‎∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，‎ ‎∵2∠EAF＝∠BAD，‎ ‎∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，‎ ‎∴∠GAE＝∠EAF，‎ 又AE＝AE，‎ ‎∴△AEG≌△AEF（SAS），‎ ‎∴EG＝EF．‎ ‎∵EG＝BE+BG．‎ ‎∴EF＝BE+FD；‎ ‎（3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠BAH＝∠BCF＝90°，‎ 又∵AH＝CF，AB＝BC，‎ ‎∴△ABH≌△CBF（SAS），‎ ‎∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，‎ ‎∵∠EBF＝45°，‎ ‎∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，‎ ‎∴∠EBH＝∠EBF，‎ 又∵BH＝BF，BE＝BE，‎ ‎∴△EBH≌△EBF（SAS），‎ ‎∴EF＝EH，‎ ‎∴EF＝EH＝AE+CF，‎ ‎∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．‎