【数学】2018届一轮复习人教A版合情推理与演绎推理教案

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【数学】2018届一轮复习人教A版合情推理与演绎推理教案

高三 一轮复习 6.5 合情推理与演绎推理 ‎ ‎【教学目标】‎ ‎1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. ‎ ‎2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点 了解合情推理和演绎推理,掌握演绎推理的“三段论”;‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.‎ ‎2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ 真题再现;‎ ‎1.(2014·北京,8)学生的语文、数学成绩均被评定 三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生 的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一 门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果 一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且 不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,‎ 那么这组学生最多有(  )‎ A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 解析 学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决,发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求,做到有的放矢 人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B.答案 B ‎2.(2012·江西,6)观察下列各式a+b=1,a2+b2=‎ ‎3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+‎ b10=(  )‎ A.28 B.76 C.123 D.199‎ 解析 利用归纳法a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.‎ 答案 C ‎3.(2013·湖北,14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研 究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,‎ 第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边 形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式三角形数 N(n,3)=n2+n,‎ 正方形数 N(n,4)=n2,‎ 五边形数 N(n,5)=n2-n,‎ 六边形数 N(n,6)=2n2-n,‎ ‎……    ……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________.‎ 解析 由题中数据可猜想含n2项的系数为首项是,公差是的等差数列,含n项的系数为首项是,公差是-的等差数列,因此N(n,k)=n2+n=n2+n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000. 答案 1 000‎ 知识梳理 知识点1 合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 知识点2 演绎推理 ‎(1)定义从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.‎ ‎(2)特点演绎推理是由一般到特殊的推理.‎ ‎(3)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的一般原理;‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况;‎ ‎③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.‎ ‎1.必会结论;(1)合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.‎ ‎(2)合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.‎ ‎2.必知联系;(1)一般情况下,我们用合情推理发现结论,然后用演绎推理证明其正确性.‎ ‎(2)在演绎推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的,所得的结论就是错误的.‎ 考点分项突破 考点一类比推理 ‎(1)对于命题如果O是线段AB上一点,则||+||=0;将它类比到平面的情形是若O是△ABC内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0;将它类比到空间的情形应该是若O是四面体ABCD内一点,则有________.‎ ‎(2)求的值时,采用了如下方法令=x,则有x=,解得x=(‎ 学生通过对高考真题的解决,感受高考题的考察视角。‎ 环节二 负值已舍去).可用类比的方法,求得1+的值为________.‎ ‎【解析】 (1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为VOBCD·+VOACD·+VOABD·+VOABC·=0.‎ ‎(2)令1+=x,则有1+=x,解得x=(负值已舍去).‎ ‎【答案】 (1)VOBCD·+VOACD·+VOABD·+VOABC·=0 (2) 跟踪训练 ‎ ‎1.已知等差数列{an}中,有=,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论________.‎ ‎【解析】 由等比数列的性质知b1b30=b2b29=…=b11b20,所以=.‎ ‎【答案】 = ‎2.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R=________.‎ ‎【解析】 三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的类比三维图形中的,得R=‎ ‎ 教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。‎ .【答案】  归纳类比推理的关键及类型 ‎1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.‎ ‎2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维与高维的类比;等差与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.‎ 考点二 归纳推理 ‎●命题角度1 数的归纳 ‎1.观察下列各式55=3 125,56=1 5625,57=78 125,…,则52 016的末四位数字为(  )‎ A.3 125   B.5 625  ‎ C.0 625   D.8 125‎ ‎【解析】 58=390 625,59=1 953 125,…,由此看出,末四位数字具有周期性,且周期为4,又2 016=4×504,由此知72 016的末四位数字应为0 625,故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2.观察下列特殊的不等式 ≥2×,‎ ≥×3,‎ ≥×5,‎ ≥2×75,‎ ‎……由以上特殊不等式,可以猜测当a>b>0,s,r∈Z时,有≥________.‎ ‎【解析】 ≥2×=×2-1,‎ ≥×3=×5-2,‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念,加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结,使学生形成解题模块,提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ≥×5=×8-3,‎ ≥2×75=×10-5,‎ 由以上特殊不等式,可以猜测当a>b>0,s,r∈Z时,有≥s-r.【答案】 s-r ‎●命题角度2 式的归纳 ‎3.设函数f(x)=(x>0),观察 f1(x)=f(x)=,‎ f2(x)=f(f1(x))=,‎ f3(x)=f(f2(x))=,‎ f4(x)=f(f3(x))=,‎ ‎……根据以上事实,由归纳推理可得 当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.‎ ‎【解析】 由f(x)=(x>0)得,f1(x)=f(x)=,‎ f2(x)=f(f1(x))==,‎ f3(x)=f(f2(x))==,‎ f4(x)=f(f3(x))==,‎ 所以归纳可得,当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=.【答案】  ‎●命题角度3 形的归纳 ‎4.仔细观察下面4个数字所表示的图形 ‎0     1      2        3   ‎ 请问数字100所代表的图形中小方格的个数为 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题,教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结,由利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强理解记忆,提高解题技能。‎ ‎________.‎ ‎【解析】 观察所给图形知,数字i+1所代表的图形比数字i所代表的图形多4(i+1)个小方格.因此数字100所代表的图形中小方格的个数为1+1×4+2×4+3×4+…+100×4=20 201.【答案】 20 201‎ 归纳归纳推理的三个类型 ‎1.数的归纳包括数字归纳和等式、不等式的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻找数字变化与项数的关系或数字变化的周期性.‎ ‎2.式的归纳可根据已知或所求的式子寻找每个式子都具有的规律.‎ ‎3.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.‎ 考点三 演绎推理 ‎1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(  )‎ A.大前提无限不循环小数是无理数;小前提π是无理数;结论π是无限不循环小数 B.大前提无限不循环小数是无理数;小前提π是无限不循环小数;结论π是无理数 C.大前提π是无限不循环小数;小前提无限不循环小数是无理数;结论π是无理数 D.大前提π是无限不循环小数小前提π是无理数;结论无限不循环小数是无理数 ‎【解析】 A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错;C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理,所以A、C、D都不正确,只有B正确,故选B.【答案】 B 跟踪训练1.已知函数y=f(x)满足对任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),‎ ‎(1)试证明f(x)为R上的单调增函数;‎ ‎(2)若x,y为正实数且+=4,比较f(x+y)与f(6)的大小.‎ ‎【解】 (1)设x1,x2∈R,且x1x1f(x2)+x2f(x1),∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,∵x10,∴f(x2)>f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.‎ ‎(2)因为x,y为正实数,且+=4,所以x+y=(x+y)=≥=,‎ 当且仅当即时取等号,‎ 因为f(x)在R上是增函数,且x+y≥>6,所以f(x+y)>f(6).‎ 归纳演绎推理的技巧 ‎1.在应用三段论推理来证明问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.‎ ‎2.演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.‎ 环节三 课堂小结 ‎1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. ‎ ‎2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ 学生回顾,总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思,为在今后的学习中,进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思,通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎
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