2017-2018学年山东省潍坊市高二5月份统一检测数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 山东省潍坊市2017-2018学年高二5月份统一检测数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据充要条件的判定方法，即可得到结论．‎ 详解：由题意，当时，是成立的，当当时，如，而是不成立的，所以是的充分不必要条件，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了充分不必要条件的判定问题，其中明确充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎2．设复数（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据复数的运算，得，再根据共轭复数的概念，即可求解．‎ 详解：由题意，复数，所以，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算及共轭复数的定义，其中根据复数的运算法则，正确化简复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎3．若曲线在点处的切线与平行,则的值为（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由函数在点的切线为，所以，即可求得实数的值．‎ 详解：由函数，得，‎ 因为函数在点的切线为，‎ 所以，解得，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎4．若双曲线方程为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据双曲线的标准方程，求得的值，即可求解其渐近线的方程．‎ 详解：由双曲线的方程，可得，‎ 所以双曲线的渐近线的方程为，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎5．设满足约束条件,则的最大值为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，结合图象可知，当直线过点时，目标函数取得最大值，联立方程组，求得的坐标，代入即可得到最大值．‎ 详解：画出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 目标函数，化为，‎ 结合图象可知，当直线过点时，目标函数取得最大值，‎ 又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选D．‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如．‎ ‎6．用反证法证明命题：“若，则函数至少有一个零点”时，要做的假设是（ ）‎ A. 函数没有零点 B. 函数至多有一个零点 C. 函数至多有两个零点 D. 函数恰好有一个零点 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据反证法的概念和命题的否定，即可作出反设，得到结论．‎ 详解：根据反证法的定义，可知“若，则函数至少有一个零点”的反设应为“若，则函数没有零点”，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎7．已知正数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. 3 C. 5 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，根据，即可求解结论．‎ 详解：由题意，正数满足，‎ 则，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了均值不等式求最值，其中利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据给定的几何体的三视图，得到原几何体的形状，再根据正方体和正四棱锥的表面积与侧面积公式，即可求解．‎ 详解：由题意，根据给定的几何体的三视图可知，‎ 该几何体下半部分表示一个边长为的正方体，其对应的表面积为；‎ 上半部分表示一个底边边长为的正方形，高为的正四棱锥，所以其斜高为，‎ 其正四棱锥的侧面积为 ，‎ 所以几何体的表面积为 ，故选C．‎ 点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．‎ 求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．‎ ‎9．以下说法正正确的是（ ）‎ ‎①两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1‎ ‎②回归直线方程必过点 ‎③已知一个回归直线方程为,则变量每增加一个单位时,平均增加3个单位 A. ③ B. ①③ C. ①② D. ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据回归直线的方程的特征和变量相关性的相关系数的概念，即可得到结论．‎ 详解：由题意①中，根据变量相关性的相关系数可知，相关系数，且越接近，相关性越强，所以是正确的；‎ ‎②中，根据回归直线方程的特征，可知所有的回归直线方程都过点，所致是正确的；‎ ‎③中，由回归直线方程，可知回归系数，所以变量每增加一个单位时，平均减少个单位，所以是不正确的，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程的特征和变量相关性的概念，以及相关系数的判定问题，其中熟记回归分析的基本概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎10．的内角的对边分别为,已知 ，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据正弦定理，化简得，再由余弦定理求得，即可求解角的值．‎ 详解：在中，已知，‎ 由正弦定理可得，通分整理得，‎ 又由余弦定理得，所以，故选B．‎ 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎11．甲、乙、丙、丁四们同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级. 老师说:“你们四人中有2人等,1人等,1人等,我现在给甲看乙、丙的成绩等级,给乙看丙的成绩等级,给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说:“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息,则（ ）‎ A. 甲、乙的成绩等级相同 B. 丁可以知道四人的成绩等级 C. 乙、丙的成绩等级相同 D. 乙可以知道四人的成绩等级 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据四个人所知自己看到的，以及甲最后所说的话，利用合情推理即可得到答案．‎ 详解：由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，‎ 甲知道自己的等次，则甲已经知道四个人等级，其甲乙的成绩等级不一定是相同的，‎ 所以A是不对的，乙丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，‎ 丁没有看任何人的成绩等价，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，‎ 只有乙可能知道四个的成绩，所以D是正确的，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了合情推理的实际应用，着重考查了学生的归纳总结能力和推理论证能力，属于中档试题．‎ ‎12．设是奇函数的导函数, ,当时, 则使得成立的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，构造新函数，得到函数的单调性与奇偶性，结合和，即可求解不等式的解集．‎ 详解：由题意，当时，，且，‎ 设，则，‎ 所以函数在区间为单调递增函数，‎ 由因为是奇函数，所以为偶函数，所以函数在区间为单调递减函数，且函数的图象关于轴对称，‎ 又由，所以，‎ 所以不等式的解集为 ‎ 所以不等式的解集等价于的解集，‎ 所以不等式的解集为，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式求解，着重考查了着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，解答中根据题意，构成新函数，利用导数得到函数的单调性与奇偶性是解答的关键．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．若函数,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数，求得，即可求解的值．‎ 详解：由题意，则，所以．‎ 点睛：本题主要考查了导数的运算，属于基础题，着重考查了运算能力．‎ ‎14．设复数满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据复数的运算法则，得，再由复数模的公式，即可求解．‎ 详解：由，则，所以．‎ 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数模的求解，其中熟记复数的运算公式和模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎15．如图，在三棱锥中，平面，,,则三棱锥外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意该三棱锥是长方体的一部分，此时三棱锥的外接球和对应的长方体的外接球表示同一个球，求得球的半径，即可求解外接球的表面积．‎ 详解：由题意，在三棱锥中，平面，‎ 则该三棱锥是长方体的一部分，‎ 其中长方体的长、宽、高分别为，‎ 此时三棱锥的外接球和对应的长方体的外接球表示同一个球，‎ 又由长方体的对角线长为，即，所以，‎ 所以三棱锥的外接球的表面积为．‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的求解问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．‎ ‎16．若函数在在上单调递增,则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数在上单调递增，所以在上恒成立，进而得到在上恒成立，利用二次函数的性质，即可得到实数的取值范围．‎ 详解：由函数，则 函数在上单调递增，所以在上恒成立，‎ 即，即在上恒成立，‎ 又由，当时，，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 三、解答题 ‎17．已知公差不为0的等差数列的首项,且，，成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据题意，求得，利用等差数列的通项公式，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，利用裂项相消求和，即可求得数列的前项和．‎ 详解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ ‎ ，，成等比数列，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎18．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证: ‎ ‎(Ⅱ)若平面 平面,,求三棱锥的体积 ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）取的中点，连接，在等边，得，又由四边形为矩形，得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得证．‎ ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知，得到平面,即为三棱柱的高，再利用棱锥的体积公式，即可求得三棱锥的体积．‎ 详解：证明：（Ⅰ）取的中点，连接 为等边三角形 ‎ ‎ ‎ ，，‎ 四边形为矩形 ‎ ‎ ‎ , 平面 又 平面， ‎ ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知 又平面平面，平面平面，‎ 平面 ‎ 平面, 为三棱柱的高 为等边三角形，，得,‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎19．某公司共有职工1500人,其中男职工1050人,女职工450人.为调查该公司职工每周平均上网的时间,采用分层抽样的方法,收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据(单位:小时)‎ 男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 每周平均上网时间超过4个小时 ‎70‎ 总计 ‎300‎ ‎(Ⅰ)应收集多少名女职工样本数据?‎ ‎(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:，，，，，.试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率是多少?‎ ‎(Ⅲ)在样本数据中,有70名女职工的每周平均上网时间超过4个小时.请将每周平均上网时间与性别的列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”‎ ‎【答案】(1) 应收集90位女职工的样本数据;(2)0.75;(3) 没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，即可得到，应收集位女职工的样本数据.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得，即可得到结论；‎ ‎ (Ⅲ)由（Ⅱ）知，求得每周平均上网时间与性别的列联表，利用公式，求解 的值，即可作出判断结论．‎ 详解：（Ⅰ），应收集90位女职工的样本数据.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得 估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时．‎ 有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，‎ 有名男职工每周平均上网时间超过4小时，‎ 又样本数据中有90个是关于女职工的，有个关于男职工的，‎ 有名女职工，有名男职工的每周上网时间不超过4小时，‎ 每周平均上网时间与性别的列联表如下：‎ 男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 ‎55‎ ‎20‎ ‎75‎ 每周平均上网时间超过4个小时 ‎155‎ ‎70‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得： ‎ 所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”‎ 点睛：本题主要考查了分层抽样的应用，以及独立性检验的实际应用问题，其中正确理解题意，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎20．椭圆 ，其右焦点为,点在椭圆上,直线的方程为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若过椭圆左焦点的直线(不过点)交椭圆于两点,直线和直线相交于点,记，，的斜率分别为，，求证: ‎ ‎【答案】(1)椭圆方程为;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意知，把点代入椭圆方程，联立方程组，即可求解的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，联立方程组，求得，，进而得到 ，，，再由三点共线，即可化简作出证明．‎ 详解：(1)由题意知，， ①‎ 把点代入椭圆方程得，‎ ‎ ②‎ ‎①代入②得，‎ ‎ ，‎ 故椭圆方程为 ‎（2）设的斜率为，易知 则直线的方程为，设，‎ ‎ ‎ 由得，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，‎ 又 三点共线 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎21．已知函数 ‎(Ⅰ)当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设，若,使得成立,求的取值范围 ‎【答案】（1）的单调减区间为，的单调增区间为；（2）的取值范围.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意，得，求得，利用和，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）由，得，转化为，令，利用 ，求得函数的最小值，即可求解参数的取值范围．‎ 详解：（Ⅰ）由题意知定义域为 ‎ ， ‎ ‎ ‎ 令，得 当时，则，单调递减 当时，则，单调递增 综上可得：的单调减区间为 的单调增区间为 ‎（Ⅱ）由，得 令，则 当时，，单调递减 当时，，单调递增 ‎ ，即.‎ 故 令，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ 令，得，‎ ‎ 时，，单调递减 当时，，单调递增 ‎ ‎ 故的取值范围 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎22．已知直线经过点,倾斜角，圆的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出直线的参数方程的标准形式,并把圆的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与圆相交于两点,求线段中点到点的距离.‎ ‎【答案】(1) 圆的直角坐标方程为;(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据直线的参数方程的形式，即可得到直线的参数方程的标准形式，再根据极坐标与直角的互化公式，即可得到圆的直角坐标方程；‎ ‎ (Ⅱ)把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用根与系数的关系，求得，进而可求得结论．‎ 详解：（Ⅰ）直线的参数方程为即（为参数，）‎ 由.得 ‎ ， ‎ 圆的直角坐标方程为 ‎(Ⅱ)把代入得：‎ 整理得 ‎，‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，熟记极坐标与直角的互化公式和直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎23．已知函数.，‎ ‎(Ⅰ)当吋,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对任意实数恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 解集为;(2)的取值范围为.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)代入，分类讨论即可求解不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ) 由绝对值的三角不等式，得 ，根据题意得，进而求解实数的取值范围．‎ 详解：(Ⅰ)当吋,，即 当吋,不等式可化为 可解：‎ ‎ ‎ 当吋,不等式可化为 可解：‎ ‎ ‎ ‎ 的解集为 ‎ (Ⅱ) ‎ 由题意得 即 解得 故的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎