数学北师大版（2019）必修第二册：1-1 周期变化 学案与作业

数学北师大版（2019）必修第二册：1-1 周期变化 学案与作业

一 周 期 变 化 (15 分钟 30 分) 1.下列现象是周期现象的是( ) ①日出日落;②潮汐;③海啸;④地震. A.①② B.①②③ C.①②④ D.③④ 【解析】选 A.日出日落是周期现象;潮汐是周期现象;海啸、地震不是 周期现象. 2.如图所示的是一个单摆,让摆球从 A 点开始摆,最后又回到 A 点,单摆 所经历的时间是一个周期 T,则摆球在 O →B→O→A→O 的运动过程中, 经历的时间是( ) A.2T B.T C. D. 【解析】选 B.整个运动恰好是一个周期,所以运动的时间是 T. 3.2019 年,小明 17 岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是( ) A.26 B.32 C.36 D.41 【解析】选 D.由十二生肖知,属相是 12 年循环一次. 4.定义域为 R 的偶函数 f(x)为周期函数,其周期为 8,当 x∈ 时 f(x)=x+1,则 f(25)=________. 【 解 题 指 南 】 利 用 函 数 y=f(x) 的 周 期 和 奇 偶 性 可 得 出 f(25)=f(1)=f(-1),进而得解. 【解析】由于函数 f(x)是 R 上周期为 8 的偶函数,且当 x∈ 时,f(x)=x+1, 因此,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0. 答案:0 5.水车上装有 16 个盛水槽,每个盛水槽最多盛水 10 升,假设水车 5 分 钟转一圈,计算 1 小时内最多盛水多少升? 【解析】因为 1 小时=60 分钟=12×5 分钟,且水车 5 分钟转一圈,所以 1 小时内水车转 12 圈.又因为水车上装有 16 个盛水槽,每个盛水槽最多 盛水 10 升,所以每转一圈,最多盛水 16×10=160(升),所以水车 1 小时 内最多盛水 160×12= 1920(升). (20 分钟 40 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 15 分) 1.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为 60 分钟,现在分针恰好指 在 2 点处,则 100 分钟后分针指在( ) A.8 点处 B.10 点处 C.11 点处 D.12 点处 【解析】选 B.由于 100=1×60+40,所以 100 分钟后分针所指位置与 40 分钟后分针所指位置相同,现在分针恰好指在 2 点处,经过 40 分钟后分 针应指在 10 点处. 2.探索图所呈现的规律,判断 2 018 至 2 020 箭头的方向是( ) 【解析】选 C.观察图可知每增加 4 个数字就重复相同的位置,则 2 018 至 2 020 箭头的方向与 2 至 4 箭头的方向是相同的. 3.对任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[3.6]=3,[-3.4]=-4, 关于函数 f(x)= ,有下列命题:①f(x)是周期函数;②f(x)是 偶函数;③函数 f(x)的值域为{0,1},其中正确的命题为( ) A.①③ B.② C.①②③ D.①② 【解析】选 A.因为 f(x+3)= = =f(x), 所以 f(x)是周期函数,3 是它的一个周期,故①正确. f(x)= = ,结合函数的周期性可得函数的值域 为{0,1},则函数不是偶函数,故②错误. 二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的 得 0 分) 4.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+2)=-f(x),且函数 y=f(x-1)为奇函数,则下列结论正确的是( ) A.函数 y=f(x)是周期函数 B.函数 y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称 C.函数 y=f(x)为 R 上的偶函数 D.函数 y=f(x)为 R 上的单调函数 【解题指南】利用 f(x+2)=-f(x)可以判断函数 y=f(x)的周期性,利用 y=f(x-1)为奇函数可以判断函数 y=f(x)的对称性和奇偶性,最后选出 正确答案. 【解析】选 ABC.因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 T=4, 故 A 正确; 因为函数 y=f(x-1)为奇函数,所以函数 y=f(x-1)图象关于原点对称,所 以 B 正确; 又函数 y=f(x-1)为奇函数,所以 f(-x-1)=-f(x-1),根据 f(x+2)=-f(x), 有 f(x+1)=-f(x-1),所以 f(x+1)=f(-x-1),有 f(-x)=f(x),即函数 f(x) 为 R 上的偶函数,C 正确; 因为函数 y=f(x-1)为奇函数,所以 f(-1)=0,又函数 f(x)为 R 上的偶函 数,f(1)=0,所以函数不单调,D 不正确. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R, 且 对 任 意 x1,x2∈R 都 有 f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),则下列结论一定正确的是________. (1)f(x)是偶函数;(2)f(x)是周期函数; (3)存在常数 k,对任意 x∈R,都有 f(x+1)=kf(x); (4)对任意 m∈R,存在 x0∈R,使得 f(x0)=m. 【 解 题 指 南 】 取 f(x)=10x-2, 说 明 (1),(2),(4) 不 正 确 ; 在 f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令 x1=x,x2=1,分析可得存在常数 k=100f(1) 满足题意,所以(3)正确. 【 解 析 】 取 f(x)=10x-2, 则 对 任 意 x1,x2 ∈ R 有 f(x1+x2)= ,100f(x1)f(x2)= 100× × =100× = , 所以 f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),所以 f(x)=10x-2 满足题意.对于(1),由于 f(x)=10x-2 不是偶函数,所以(1)不正确.对于(2),由于 f(x)=10x-2 不是周 期函数,所以(2)不正确. 对于(4),由于 f(x)=10x-2>0,所以当 m≤0 时,不存在 x0∈R,使得 f(x0)=m 成 立 , 所 以 (4) 不 正 确 . 对 于 (3), 在 f(x1+x2)=100f(x1)f(x2) 中 , 令 x1=x,x2=1,得 f(x+1)=100f(1)f(x),令 k=100f(1), 则 f(x+1)=kf(x), 所 以 存 在 常 数 k=100f(1), 对 任 意 x ∈ R, 都 有 f(x+1)=kf(x),所以(3)正确. 答案:(3) 6.如图所示的弹簧振子在 A,B 之间做简谐运动,振子向右运动时,先后 以相同的速度通过 M,N 两点,经历的时间为 t1=1 s,过 N 点后,再经过 t2=1 s 第一次反向通过 N 点,振子在这 2 s 内共通过了 8 cm 的路程,则 振子的振动周期 T=______s. 【解析】设振子的振动周期为 T,则振子由平衡位置 O 运动到 B 的时间 为 ,而振子以相同的速度通过 M,N 的时间为 t1=1 s,则 O 到 N 的时间为 ,又向右经 N—B—N 的时间为 t2=1,则 N 到 B 的时间为 ,所以 = + = + =1,所以 T=4. 答案:4 【误区警示】本题容易把 N—B 的时间当作半个周期. 四、解答题 7.(10 分)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要 12 分钟,其中心 O 距离地面 40.5 米,半径 40 米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地 面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请 解答下列问题: (1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗? (2)转四圈需要多少时间? (3)你第四次距地面最高需要多少时间? (4)转 60 分钟时,你距离地面是多少? 【解析】(1)是周期现象. (2)转四圈需要时间为 4×12=48(分钟). (3)第 1 次距离地面最高需 =6(分钟),而周期是 12 分钟,所以第四次 距地面最高需 12×3+6=42(分钟). (4)因为 60÷12=5,所以转 60 分钟时你距离地面与开始时刻距离地面 相同,即 40.5-40=0.5(米). 【补偿训练】 1. 设 f(x) 是 定 义 域 为 R 的 函 数 , 对 任 意 x∈R, 都 满 足 f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x2-2x. (1)请指出 f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、零点; (2)试证明 f(x)是周期函数,并求其在区间[2k-1,2k](k∈Z)上的解析 式. 【解题指南】根据 f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)可推出函数为偶函数, 由 f(x+1)=f(x-1)可推出周期为 2,根据周期及奇偶性可求出函数在 [2k-1,2k]上的解析式. 【解析】(1)因为 f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),所以 f(x-1)=f(1-x), 所以 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为定义域 R 上的偶函数, 故 f(x)在区间[-1,1]上是偶函数,[0,1]是递减区间,[-1,0]是递增区 间,零点是 0. (2)因为 f(x+1)=f(x-1),所以 f(x)=f(x-2), 故函数是周期为 2 的周期函数. 设 x ∈ [2k-1,2k], 则 x-2k ∈ [-1,0],-(x-2k) ∈ [0,1], 所 以 f[-(x-2k)]=(x-2k)2+2(x-2k), 又函数是偶函数,且周期为 2, 所以 f[-(x-2k)]=f(x-2k)=f(x), 故 f(x)=(x-2k)2+2(x-2k),x∈[2k-1,2k],k∈Z. 2. 已 知 函 数 f(x)(x∈D), 若 存 在 常 数 T(T>0), 对 任 意 x∈D 都 有 f(x+T)=T·f(x),则称函数 f(x)为 T 倍周期函数. (1)判断 h(x)=x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由; (2)证明 g(x)= 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的. 【解析】(1) 设 h(x+T)=T·h(x), 则 x+T=T·x 对任意 x 恒成立, 因为 T 无解,所以 h(x)=x 不是 T 倍周期函数. (2) 设 g(x+T)=T·g(x), 则 =T· 对任意 x 恒成立, 即 =T,可得 T= , 下证唯一性:若 T> ,T= < = ,矛盾;若 T< ,T= > = ,矛 盾, 所以 T= 是唯一的. 关闭 Word 文档返回原板块