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文档介绍
新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题
乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年度下学期阶段性诊断测试 高二年级理科数学 一、选择题 1．已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ）． A． B． C． D． 4．已知椭圆C左､右焦点坐标分别是，离心率是，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是( ) A．若命题均为真命题，则命题为真命题 B．“若，则”的否命题是“若” C．在，“”是“”的充要条件 D．命题“”的否定为“” 7．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 8．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数在处取得极值10，则（ ） A．或 B．或 C． D． 10．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为 A． B． C． D． 二、填空题 11．双曲线的焦点到渐近线的距离为________． 12．已知i为虚数单位，复数，则的虚部是______． 13．化简的值是__________ 14．函数f（x）＝x3﹣3lnx的最小值为_____． 15．已知函数的图像在点处的切线方程是，则________. 16．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，若，则用“三斜求积”公式求得的面积为________. 三、 解答题 17．已知等差数列满足：的前n项的和为. （1）求及； （2）令（），求数列的前100项和. 18．如图，在正三棱柱中，E是的中点． （1）求证：截面侧面； （2）若，求到平面的距离 19．已知椭圆（）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，且，求 20．某工厂有两台不同机器和生产同一种产品各万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示： 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到的产品，质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率. （1）完成下列列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过的情况下，认为机器生产的产品比机器生产的产品好； 生产的产品 生产的产品 合计 良好以上（含良好） 合格 合计 （2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器和生产的产品中各随机抽取件，求件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量的概率； （3）已知优秀等级产品的利润为元/件，良好等级产品的利润为元/件，合格等级产品的利润为元/件，机器每生产万件的成本为万元，机器每生产万件的成本为万元；该工厂决定：按样本数据测算，若收益之差不超过万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？ 附：1.独立性检验计算公式：. 2.临界值表： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 21.已知函数. （Ⅰ）若，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围. 22.已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交 于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值． 乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年度下学期阶段性诊断测试 高二年级理科数学(答卷) 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、 填空题 11、 _________________________ 12、__________________________ 13、_________________________ 14、__________________________ 15、 _________________________ 16、__________________________ 三、 解答题 17题： 18题： 19题： 20题： 生产的产品 生产的产品 合计 良好以上（含良好） 合格 合计 （1） 21题： 22题： 高二理科数学答案 参考答案 1．A 【解析】 【分析】 由复数的除法运算计算可得结果. 【详解】 由得：. 故选：. 【点睛】 本题考查复数的除法运算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 解：. 故选：A. 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】 由已知条件知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可. 【详解】 解：由可知，点的运动轨迹是以， 为焦点的双曲线右支， ，， ，. 所以动点的轨迹方程是. 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】 由题意可设椭圆的标准方程为，则，解出即可. 【详解】 由题意可设椭圆的标准方程为， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故选：A. 【点睛】 该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，根据题意，利用的值求椭圆的标准方程，属于基础题目. 5．B 【解析】 【分析】 由指数函数、对数函数、幂函数的单调性，即可比较的大小. 【详解】 ，，所以， ，故. 故选;B. 【点睛】 本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】 利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可． 【详解】 对于A：若命题p，￢q均为真命题，则q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确； 对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确； 对于C：在△ABC中， “”⇔“A+B=”⇔“A=-B”⇒sinA=cosB， 反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立， ∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确； 对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正确． 故选D． 【点睛】 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查． 7．D 【解析】 【分析】 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为， ∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4， ∴（2，2）在椭圆C：上， ∴， ∵，∴，∴， ∴ ∴椭圆方程为：. 故选D. 考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质. 8．D 【解析】 【分析】 由导数基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则计算即可判定. 【详解】 A选项，，故错误； B选项，，故错误； C选项，，故错误； D选项，，故正确； 【点睛】 本题考查导数的运算，属于简单题. 9．C 【解析】 分析：由导函数定义，，即可求出结果. 详解：∵f′（x0）=2， 则 = = =2f′（x0）=4． 故选C ． 点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】 根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可. 【详解】 函数在处取得极值10， 所以， 且， 解得或， 当时，， 根据极值的定义知道，此时函数无极值； 当时，， 令得或，符合题意； 所以， 故选D. 【点睛】 该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 11．B 【解析】 【分析】 由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解. 【详解】 由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为， 设三角形的腰为， 由正弦定理可得，解得， 所以三角形的面积为： ， 所以每块八卦田的面积约为：. 故选：B 【点睛】 本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题. 12．C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值． 【详解】 ∵z1=2﹣i，z2=a+2i， ∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i， 又z1z2∈R， ∴4﹣a=0，即a=4． 故选C． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题． 13．2 【解析】 【分析】 计算焦点和渐近线，根据点到直线的距离解得答案. 【详解】 双曲线的一个焦点为，一条渐近线为，即. 焦点到渐近线的距离为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了双曲线的焦点和渐近线，意在考查学生的计算能力和对于双曲线基础知识的理解和掌握. 14． 【解析】 【分析】 根据切点在切线上，得出，根据解析式即可得出答案. 【详解】 因为点在该切线上，所以 则，解得. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查了根据切线方程求参数，属于基础题. 15． 【解析】 【分析】 求函数导数，利用导数的几何意义即可得到结论． 【详解】 函数的导数为， 则函数在点处的切线斜率， 则函数在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】 (1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是. 16． 【解析】 【分析】 先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值． 【详解】 ， 则，解得，所以， 则.令，得或； 令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以. 【点睛】 本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a． 17．2 【解析】 【分析】 利用正弦定理推出,从而求出,最后利用面积公式计算即可. 【详解】 , ,即, 因为, 所以, 从而的面积为, 故答案为:2. 【点睛】 本题考查正弦定理,考查学生的推理与计算能力,难度不大. 18．1 【解析】 【分析】 首先对f（x）求导，并且根据f（x）的导数判断单调性，即可求出函数的最值。 【详解】 函数f（x）＝x3﹣3lnx，x∈（0，+∞）； 可得f′（x）＝3x2， 所以f（x）在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数， 所以f（x）的最小值为：f（1）＝1． 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了根据函数的导数判断其单调性，属于基础题。 19．1 【解析】 【分析】 由已知可知切点M既在函数，也在切线方程上，代入切线方程即可求得，由导数的几何意义可得，相加既得答案. 【详解】 因为函数的图像在点处的切线方程是， 即，且 故 故答案为：1 【点睛】 本题考查导数的几何意义，属于基础题. 20． 【解析】 【分析】 先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果. 【详解】 ． 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 21．(1) (2) 【解析】 试题分析：（1）利用对数的运算公式进行运算；（2）利用根指转化进行运算． 试题解析： （1）； （2）． 22．（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由椭圆性质可知，，并结合可以得到与的关系，由“椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4”，可以列出关系式： ，由此可以求出、的值，从而得到椭圆的方程； （2）利用椭圆定义和余弦定理，列出等量关系式，求得，最后利用三角形的面积公式求得结果 【详解】 （1）由，得到， 再由，得， 由题意知，知， 解方程组，得， 所以椭圆的方程为； （2）由椭圆定义可知，即， 由余弦定理可得， 两式相减得，即， 所以. 【点睛】 该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，焦点三角形的面积，在解题的过程中，可以借机推导出焦点三角形面积公式，属于简单题目. 23．(1);(2). 【解析】 分析：（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可了； （2）联立直线和椭圆方程，利用设而不求的思想表示，进而利用均值不等式求最值即可. 详解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，∴． 又，∴． ∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆． 设曲线的方程为． ∵，∴． ∴曲线的方程为． （2）设． 联立消去，得． 此时有． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ，． ∴ ． ∵原点到直线的距离， ∴ ． 由，得．又，∴据基本不等式，得 ．当且仅当时，不等式取等号． ∴面积的最大值为． 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 24．(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2) 【解析】 【分析】 （1）的定义域为，， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围． 【详解】 （1）的定义域为，， 若，则恒成立，∴在上单调递增； 若，则由， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． 综上可知：若，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，， ，令， ①若，，在上单调递增， ， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ②若，当，， ∴在上单调递增， 从而， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ③若，在上恒成立， ∴在上单调递减，， ∴在上单调递减,， 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用． 25．（I）在单调递减，在上单调递增； （II） 【解析】 【分析】 （I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性； （II）由没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解． 【详解】 （Ⅰ）当时，，函数的定义域为， 所以， 令，得， 又因为函数单调递增， 所以在上，，单调递减； 在上，，单调递增. （II）方程没有实数解， 即方程没有实数解， 设函数， ， （i）当时，，函数没有零点； （ii）当时，函数单调递减，，且，函数 有零点； （iii）当时，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，， 令，得， 即函数没有零点， 综上所述，若函数没有零点， 即方程没有实数解， 故实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查了利用函数讨论含数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，属于较难的压轴题． 26．（1）列联表见解析；不能； （2）0.139825 （3）不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉机器，同时购买一台机器； 【解析】 【分析】 （1）根据已有的数据完成列联表，计算的值，根据参照数据下结论. （2）根据茎叶图，利用频率代替概率，得到任取一件产品是机器生产的优等品的概率，任取一件产品是机器生产的优等品的概率，记“件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量”为事件，分A取1件，B取0件，A取2件，B至多取1件优等品两类计算. （3）根据期望公式，算出机器每生产万件的利润和机器每生产 万件的利润，根据利润差与5比较下结论. 【详解】 （1）由已知可得，列联表为 生产的产品 生产的产品 合计 良好以上 6 12 18 合格 14 8 22 合计 20 20 40 ， 所以不能在误差不超过的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关. （2）由题意知，任取一件产品是机器生产的优等品的概率为， 任取一件产品是机器生产的优等品的概率为. 记“件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量”为事件， 则 （3）机器每生产万件的利润为万元， 机器每生产万件的利润为万元， 所以， 所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉机器，同时购买一台机器. 【点睛】 本题主要考查茎叶图，独立性检验，独立事件的概率以及离散型随机变量的期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 27．（1）m （2）（3）（单位：m/min） 【解析】 【分析】 【详解】 （1）在中，因为，， 所以，， 从而． 由正弦定理，得（）． （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处， 所以由余弦定理得， 由于，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理， 得（）． 乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 28．（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设等差数列的首项为，公差为，由，可得，解得即可得出结果； （2）由（1）知，，可得，运用裂项相消法求和，之后将代入求得结果. 【详解】 （1）设等差数列的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以，； （2）由（1）知， ， 所以， 所以. 【点睛】 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，利用裂项相消法求和，属于简单题目. 29．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】 （1）设O，分别为AC，的中点，与相交于F，，侧面,可得侧面，截面侧面； （2）求出、的面积及A到平面 ，由可得到平面的距离. 【详解】 解：（1）设O，分别为AC，的中点，与相交于F． ∵是正三棱柱，∴侧面底面ABC． ∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴． ∴侧面． ∵，，E，F是中点， ∴EBOF是平行四边形． ∴，∴侧面． 又平面，∴截面侧面． （2）∵，则， ，所以的面积为． 又因为A到平面的距离为， 的面积为． 设到平面的距离为d， ∵， ∴，∴． 即，B1到平面的距离为． 【点睛】 本题主要考查面面垂直及线面垂直的判定定理及三棱锥体积的计算，属于中档题，注意灵活运用三棱锥的性质及面面垂直的判定定理解题. 30．（1）1；（2）当a≤0时，f (x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增. 【解析】 【分析】 （1）由导数的几何意义表示该点处切线的斜率，由其与已知直线垂直即斜率乘积为-1构建方程解得答案； （2）由解析式可知定义域为(0,+∞)，由(1)可知，当a≤0时，显然f'(x)>0，即可表示单调性；当a>0时，令f'(x)=0解得两根（舍）或，由二次函数的图象与性质可得f'(x)<0与 f'(x)>0 的解集，即可表示单调性. 【详解】 （1）因为函数，即 所以f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=2-a. 又因为f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y=2-x垂直,且直线y=2-x的额斜率为-1, 所以，故a=1. （2）f (x)的定义域为(0,+∞)，且由(1)可知 因为有，当a≤0时，显然f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0得，其判别式△=1+4a>0 该方程有两个不等实根为（舍）或 令f'(x)<0解得0查看更多