高考数学专题复习：二项式定理

高考数学专题复习：二项式定理

‎1.3.1二项式定理 一、选择题 ‎1、(1＋)6(1＋)10展开式的常数项为(　　)‎ A．1 B．‎‎46 C．4 245 D．4 246‎ ‎2、如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(　　)‎ A．3 B．‎5 ‎ C．6 D．10‎ ‎3、(－)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是(　　)‎ A．0 B．‎2 ‎ C．4 D．6‎ ‎4、在(x2－)5的二项展开式中，含x4的项的系数是(　　)‎ A．－10 B．‎10 ‎ C．－5 D．5‎ ‎5、1－‎2C＋‎4C－‎8C＋‎16C＋…＋(－2)n·C等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．(－1)n D．3n ‎6、(2x＋3y)8展开式的项数为(　　)‎ A．8 B．‎9 ‎ C．10 D．7‎ 二、填空题 ‎7、若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.‎ ‎8、(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为______．‎ ‎9、已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.‎ ‎10、(－)6的展开式中，x3的系数为________．‎ 三、解答题 ‎11、若(＋)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；‎ ‎(2)展开式中所有x的有理项．‎ ‎12、已知(－)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，‎ ‎(1)证明展开式中没有常数项；‎ ‎(2)求展开式中含x的项．‎ ‎13、求230－3除以7的余数．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[(1＋)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)；‎ ‎(1＋)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)；‎ ‎(1＋)6(1＋)10的展开式有77项，‎ 通项为CxCx－＝CCx，‎ 由4r－3s＝0得或或.‎ 故常数项为1＋CC＋CC＝4 246.]‎ ‎2、B　[因为Tk＋1＝C(3x2)n－k(－2x－3)k ‎＝(－2)k·3n－kCx2n－5k，则2n－5k＝0，即5k＝2n，‎ 所以或….故n的最小值为5.]‎ ‎3、B　[Tk＋1＝Cx·(－)k·x－k ‎＝C(－)k·x.‎ 若是正整数指数幂，则有为正整数，‎ ‎∴k可以取0,2，‎ ‎∴项数为2.]‎ ‎4、B　[∵(x2－)5的二项展开式的通项 Tk＋1＝C(x2)5－k(－)k＝C·(－1)kx10－3k 令10－3k＝4，∴k＝2.‎ ‎∴x4的系数是C(－1)2＝10.]‎ ‎5、C　[1－‎2C＋‎4C－‎8C＋‎16C＋…＋(－2)n·C＝(1－2)n＝(－1)n.]‎ ‎6、B 二、填空题 ‎7、1‎ 解析　由Tk＋1＝C·x9－k·(－)k＝(－a)kCx9－2k，令9－2k＝3，则k＝3，即(－a)‎3C＝－84，解得a＝1.‎ ‎8、－5‎ 解析　(1＋x＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2·(－)4＋Cx(－)5＋Cx0(－)6]＝(1＋x＋x2)·(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.‎ ‎9、1‎ 解析　x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.‎ ‎10、15‎ 解析　设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·()6－r·()r＝C·x6－r·y·(－y)r·x－＝C·x6－r－·y·(－y)r，‎ 令6－r－＝3，即r＝2，‎ ‎∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，‎ 系数为C＝＝15.‎ 三、解答题 ‎11、解　由已知条件得：C＋C·＝‎2C·，‎ 解得n＝8或n＝1(舍去)．‎ ‎(1)Tk＋1＝C()8－k()k＝C·2－k·x4－k，‎ 令4－k＝1，得k＝4，‎ ‎∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.‎ ‎(2)令4－k∈Z(k≤8)，则只有当k＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：‎ T1＝x4，T5＝x，T9＝.‎ ‎12、(1)证明　由题意知第5项的系数为C·(－2)4，‎ 第3项的系数为C·(－2)2，‎ 则＝，‎ 解得n＝8，或n＝－3(舍去)．‎ 通项公式Tk＋1＝C()8－k·(－)k ‎＝C(－2)k·x.‎ 若Tk＋1为常数项，当且仅当＝0，即5k＝8，且k∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．‎ ‎(2)解　由(1)知，展开式中含x的项需＝，‎ 则k＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.‎ ‎13、解　230－3＝(23)10－3＝810－3‎ ‎＝(7＋1)10－3‎ ‎＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3‎ ‎＝7(C79＋C78＋…＋C)－2‎ ‎＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5.‎ ‎∴余数为5.‎