【数学】2020届一轮复习人教B版 合情推理与演绎推（理） 学案

【数学】2020届一轮复习人教B版 合情推理与演绎推（理） 学案

合情推理与演绎推理 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。‎ ‎2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、推理的概念及分类 1. 推理的概念：‎ 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论． ‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．‎ ‎ （2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．‎ 2. 推理的分类：‎ （1） 合情推理：‎ 根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。‎ 归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 合情推理的推理过程 ‎ ‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎ 由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．‎ （2） 演绎推理：‎ 从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎ ‎ ‎ 要点二、归纳推理 ‎1.定义：‎ 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。‎ ‎2．归纳推理的特点 ‎ （1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；‎ ‎ （2‎ ‎）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；‎ ‎（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；‎ ‎ （4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．‎ 要点诠释：‎ 归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.‎ ‎3．运用归纳推理时的一般步骤 ‎（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；‎ ‎（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；‎ ‎（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．‎ ‎ 4．完全归纳法和不完全归纳法 ‎（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．‎ ‎ （2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法．‎ ‎ ‎ 要点三、类比推理 ‎1．定义：‎ ‎ 类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．‎ ‎ 2．类比推理的几个特点 ‎ （1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；‎ ‎ （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；‎ ‎ （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．‎ ‎ 3．运用类比推理的一般步骤 ‎ （1）找出两类事物之间的相似性或一致性．‎ ‎（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．‎ ‎（3）检验猜想.‎ 要点诠释： ‎ ‎（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．‎ ‎（2‎ ‎）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．‎ ‎（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．‎ ‎ 要点四、演绎推理 ‎（1）定义：‎ 从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎（2）一般模式：‎ ‎“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：‎ ‎　①大前提——已知的一般原理；‎ ‎ ②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎ ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.‎ 要点诠释： ‎ ‎①如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理．‎ ‎ ②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．‎ ‎（3）用集合的观点理解“三段论”‎ 若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.‎ 要点诠释： ‎ 演绎推理的结论一定正确 演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。‎ 要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系 ‎（1）从推理模式看：‎ ‎①归纳推理是由特殊到一般的推理．‎ ‎②类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎（2）从推理的结论看：‎ ‎①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。‎ ‎②演绎推理所得的结论一定正确。‎ ‎（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎ 注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、归纳推理 例1．用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.‎ ‎【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即Sn=1+3+5+…+（2－1）.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.‎ ‎【解析】‎ 对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.‎ ‎【总结升华】‎ ‎①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.‎ ‎②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.‎ ‎③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.‎ ‎④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式.‎ ‎【答案】，，… …，猜想：.‎ ‎【变式2】已知正项数列{an}满足．求出a1，a2，a3，a4，并推测an．‎ ‎【答案】令n=1，则，即，∴。又a1＞0，‎ ‎∴a1=1。‎ 令n=2，则，即，∴，‎ ‎∴，即(a2+1)2=2。∵a2＞0，‎ ‎∴。‎ 令n=3，则，∴，即。‎ ‎∴，即，∵a3＞0，‎ ‎∴。‎ 当n=4，则，∴，即，‎ ‎∴，即。∵a4＞0，‎ ‎∴。‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ 归纳可得（n∈N*）。‎ 例2．（2018春 湖北期末）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形。‎ ‎ ‎ ‎ （1）求出f（5）；‎ ‎ （2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式。‎ ‎【思路点拨】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，从而得出f（5）；‎ ‎（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得。‎ ‎【解析】（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，‎ ‎∴f（2）―f（1）=4=4×1，‎ f（3）―f（2）=8=8×2，‎ f（4）－f（3）=12=4×3，‎ f（5）－f（4）=16=4×4‎ ‎∴f（5）=25+4×4=41。‎ ‎（2）由上式规律得出f（n+1）－f（n）=4n。‎ ‎∴f（2）－f（1）=4×1，‎ f（3）－f（2）=4×2，‎ f（4）－f（3）=4×3，‎ ‎…‎ f（n―1）―f（n―2）=4·（n―2），‎ f（n）―f（n―1）=4·（n―1）‎ ‎∴f（n）―f（1）=4[1+2+…+（n―2）+（n―1）]=2（n―1）·n，‎ ‎∴f（n）=2n2－2n+1。‎ ‎【总结升华】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题。‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：401470 例题1】‎ ‎【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于 ‎ ‎1×9+2=11‎ ‎12×9+3=111‎ ‎123×9+4=1111‎ ‎1234×9+5=11111‎ ‎……‎ ‎【答案】1111111。根据数塔中的位数规律可得。‎ ‎【变式2】平面内的１条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？‎ ‎【答案】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 因为n=1，a1=1+1， n=2，a2=a1+2， n=3，a3=a2+3， n=4，a4=a3+4， … n=n，an=an-1+n， 以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+=‎ ‎【高清课堂：401470 例题1】‎ ‎【变式3】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.( ) ‎ ‎ ‎ A. B. C.n+1 D. ‎ ‎【答案】D ‎ 第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有 个点; ‎ 第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有个点; ‎ 第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有个点; ‎ 第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有个点; ‎ ‎…… ‎ 由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个点,另外的点指向n个方向,每个方向n-1个点,共 有n(n-1)个点. ‎ 类型二：类比推理 例3. 已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.‎ ‎【思路点拨】从方法的类比入手。‎ ‎【解析】原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高的 ‎【总结升华】类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，本题的类比推理为：平面向空间类比，低维向高维类比。 ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似的四面体性质.‎ ‎【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体，且三个面与面所成的二面角分别是，，，类比直角三角形的性质猜想四面体的性质.‎ 如图所示，在中，.于是把结论类比到四面体中，若三个侧面、、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，，，则.‎ ‎ 例4． 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 的值为________。‎ ‎【思路点拨】）本题明确要求应按课文推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法来解题，所以可依此类比实验。‎ ‎【解析】 设，①‎ 则，②‎ 易证明。‎ ‎①+②得，‎ 得，即。‎ ‎ 【总结升华】 本类型题解题的关键在于，在解题方法（或公式）中，获得使用方法（或公式）的启示，或推导方法（或公式）的手段，从而指导解决新问题。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】通过计算可得下列等式：‎ ‎ 22－12=2×1+1，‎ ‎ 32－22=2×2+1‎ ‎ 42－32=2×3+1，‎ ‎ ……‎ ‎ (n+1)2－n2=2×n+1。‎ 将以上各等式两边分别相加得：(n+1)2－12=2(1+2+…+n)+n，‎ 即 。‎ ‎（1）类比上述求法，请你求出12+22+32+…+n2的值。‎ ‎（2）根据上述结论试求12+32+52+…+992的值。‎ ‎【答案】（1）∵23－13=3×12+3×1+1，‎ ‎ 33－23=3×22+3×2+1，‎ ‎ 43－33=3×32+3×3+1，‎ ‎ ……‎ ‎ (n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。‎ 将以上各式两边分别相加得 ‎(n+1)3－13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n，‎ ‎∴。‎ ‎（2）12+32+52+…+992‎ ‎ =12+22+32+…+1002―(22+42+62+…+1002)‎ ‎ =12+22+32+…+1002―4(12+22+32+…+502)‎ ‎ =×100×101×201－4××50×51×101=166650。‎ 类型三：演绎推理 ‎ 例5. 用三段论的形式写出下列演绎推理．‎ ‎ （1）菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直．‎ ‎ （2）若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若∠1和∠2不相等，则∠1和∠2不是对顶角．‎ ‎ （3）是有理数．‎ ‎【解析】‎ ‎ （1）菱形的对角线互相垂直 （大前提）‎ ‎ 正方形是菱形 （小前提）‎ ‎ 正方形的对角线互相垂直 （结论）‎ ‎ （2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）‎ ‎ ∠1和∠2不相等 （小前提）‎ ‎ ∠1和∠2不是对顶角 （结论）‎ ‎ （3）所有的循环小数都是有理数 （大前提）‎ ‎ 是循环小数 （小前提）‎ ‎ 是有理数 （结论）‎ ‎【总结升华】‎ 在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原理和特殊情况间的联系．我们早已能自发地使用三段论来进行推理，学习了三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2015春 泰安期末）将演绎推理“函数y=2x+1的图象是一条直线。”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是________。‎ ‎【答案】将演绎推理“函数y=2x+1的图象是一条直线。”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是一次函数的图象是一直直线，‎ 故答案为：一次函数的图象是一条直线 ‎【变式2】把下列演绎推理写成三段论的形式．‎ 在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．‎ ‎【答案】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃；‎ 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃；‎ 结论：水会沸腾．‎ 例6. 已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明：∥平面 ‎【解析】连结 ‎∵三角形两边中点的连线是三角形的中位线…………大前提 而、分别两边、的中点，……小前提 ‎∴是的中位线.………………………………结论 ‎∵三角形的中位线平行于第三边………………大前提 而是的中位线，………………小前提 ‎∴∥.………………………………结论 ‎∵平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 ‎ ………………大前提 在平面外，在平面内，且∥，……小前提 所以∥平面.………………………………………………结论 ‎【总结升华】‎ ‎①三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.‎ ‎②演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确. ‎ ‎③归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：‎ 证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提 所以菱形是正多边形.………………………………………………结论 ‎（1）上面的推理形式正确吗？‎ ‎（2）推理的结论正确吗？为什么？‎ ‎【答案】上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为所有边长都相等，内角也相等的凸多边形才是正多边形），所以所得的结论是错误的.‎ ‎【变式2】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.‎ 已知：中，求证：.‎ ‎【答案】延长到，得的外角，过点在内作∥‎ ‎∵若两直线平行，则同位角相等、内错角相等，…………　　大前提 而∥，…………………………………………小前提 ‎∴.………………………………结论 由平角是，…………………………………………大前提 而 ＝是一个平角，………………小前提 ‎∴……………………………结论 ‎【变式3】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . ‎ ‎【答案】∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数， ………………大前提 由0＜x+2＜2得-2＜x＜0 ………………小前提 ‎∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， …………………结论 又∵函数y=f(x+2)是偶函数， ………………小前提 ‎∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 …………………结论 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5). …………………结论