【数学】2020届一轮复习（理）通用版11-3二项分布与正态分布作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版11-3二项分布与正态分布作业

‎11.3　二项分布与正态分布 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.条件概率、相互独立事件及二项分布 ‎①了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.‎ ‎②利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 ‎2018课标Ⅰ,20,12分 二项分布的均值以及 利用期望进行决策 导数 ‎★★★‎ ‎2018课标Ⅲ,8,5分 ‎ 二项分布 ‎ 相互独立事件 ‎2015课标Ⅰ,4,5分 相互独立事件的概率 ‎2016课标Ⅱ,18,12 分 条件概率的计算 离散型随机变量的均值 ‎2014课标Ⅱ,5,5分 条件概率的计算 ‎2.正态分布 ‎2017课标Ⅰ,19,12 分 正态分布、二项分布 的概念和性质 概率的计算 以及数学期望 ‎2014课标Ⅰ,18,12分 利用正态分布求概率 频率分布直方图 分析解读　　本节主要命题点有:(1)相互独立事件的概率,条件概率;(2)二项分布的概念、特征和相关计算;(3)正态分布的应用,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,中等以下,分值约为5分或12分 .主要考查考生的数据分析能力.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布 ‎1.(2017河北“五个一名校联盟”二模,4)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为‎1‎‎2‎,两次闭合后都出现红灯的概率为‎1‎‎5‎,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎10‎　　　　B.‎1‎‎5‎　　　　C.‎2‎‎5‎　　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,‎ 则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)‎ A.‎2‎‎5‎　　　　B.‎3‎‎5‎　　　　C.‎18‎‎125‎　　　　D.‎‎54‎‎125‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018广东德庆香山中学第一次模拟,9)某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎3‎‎8‎ 答案　D　‎ 考点二　正态分布 ‎1.(2018广西柳州高级中学、南宁第二中学第二次联考,3)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ‎1‎‎2‎),N(μ2,σ‎2‎‎2‎),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是　(　　)‎ A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是(　　)‎ ‎(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σa+2),则a的值为(　　)‎ A.‎7‎‎3‎　　　　B.‎5‎‎3‎　　　　C.5　　　　D.3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:‎ ‎(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),‎ 利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;‎ ‎②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ=‎142.75‎≈11.95;‎ 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4.‎ 解析　(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.‎ ‎(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,‎ ‎∴P(14.550;‎ 当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.‎ 所以f(p)的最大值点为p0=0.1.‎ ‎(2)由(1)知,p=0.1,‎ ‎(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.‎ ‎(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.‎ 考点二　正态分布 ‎1.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).‎ ‎(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;‎ ‎(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ ‎(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ ‎9.95‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.12‎ ‎10.01‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得x=‎1‎‎16‎‎∑‎i=1‎‎16‎xi=9.97,s=‎1‎‎16‎‎∑‎i=1‎‎16‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎1‎‎16‎‎(‎∑‎i=1‎‎16‎xi‎2‎-16x‎2‎)‎≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.‎ 用样本平均数x作为μ的估计值μ‎^‎,用样本标准差s作为σ的估计值σ‎^‎,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ‎^‎-3σ‎^‎,μ‎^‎+3σ‎^‎)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).‎ 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),‎ 则P(μ-3σDξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.‎ 考点二　正态分布 ‎1.(2015湖北,4,5分)设X~N(μ1,σ‎1‎‎2‎),Y~N(μ2,σ‎2‎‎2‎),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(　　)‎ A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)‎ B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)‎ C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)‎ D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)‎ ‎(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.4.56%　　　　B.13.59%‎ C.27.18%　　　　D.31.74%‎ 答案　B　‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎4‎.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ 解析　本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ P(X=1)=‎1‎‎2‎×1-‎1‎‎3‎×1-‎1‎‎4‎+1-‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×1-‎1‎‎4‎+‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎=‎11‎‎24‎,‎ P(X=2)=‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ P(X=3)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎24‎.‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎4‎ ‎11‎‎24‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎24‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎1‎‎4‎+1×‎11‎‎24‎+2×‎1‎‎4‎+3×‎1‎‎24‎=‎13‎‎12‎.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)‎ ‎=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)‎ ‎=‎1‎‎4‎×‎11‎‎24‎+‎11‎‎24‎×‎1‎‎4‎=‎11‎‎48‎.‎ 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为‎11‎‎48‎.‎ 技巧点拨　‎ 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保　费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概　率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 解析　(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)‎ ‎(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.‎ 又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)‎P(A)‎=P(B)‎P(A)‎=‎0.15‎‎0.55‎=‎3‎‎11‎.‎ 因此所求概率为‎3‎‎11‎.(7分)‎ ‎(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.‎ 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)‎ 思路分析　(1)将本年度保费高于基本保费a对应的所有事件的概率相加即可;‎ ‎(2)利用条件概率公式求解;‎ ‎(3)求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可.‎ ‎3.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是‎3‎‎4‎,乙每轮猜对的概率是‎2‎‎3‎;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.‎ 解析　(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)·P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D)‎ ‎=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎+2×‎‎1‎‎4‎‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎‎2‎‎3‎ ‎=‎2‎‎3‎.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎=‎1‎‎144‎,‎ P(X=1)=2×‎3‎‎4‎‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎‎1‎‎3‎=‎10‎‎144‎=‎5‎‎72‎,‎ P(X=2)=‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎25‎‎144‎,‎ P(X=3)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎12‎‎144‎=‎1‎‎12‎,‎ P(X=4)=2×‎3‎‎4‎‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎‎2‎‎3‎=‎60‎‎144‎=‎5‎‎12‎,‎ P(X=6)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎36‎‎144‎=‎1‎‎4‎.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎1‎‎144‎ ‎5‎‎72‎ ‎25‎‎144‎ ‎1‎‎12‎ ‎5‎‎12‎ ‎1‎‎4‎ 所以数学期望EX=0×‎1‎‎144‎+1×‎5‎‎72‎+2×‎25‎‎144‎+3×‎1‎‎12‎+4×‎5‎‎12‎+6×‎1‎‎4‎=‎23‎‎6‎.‎ 评析　本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值是解题的关键.属于中档题.‎ ‎4.(2015湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.‎ ‎(1)求Z的分布列和均值;‎ ‎(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.‎ 解析　(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有‎2x+1.5y≤W,‎x+1.5y≤12,‎‎2x-y≥0,‎x≥0,y≥0.‎　　　①‎ 目标函数为z=1 000x+1 200y.‎ 当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).‎ 将z=1 000x+1 200y变形为y=-‎5‎‎6‎x+z‎1 200‎,‎ 当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-‎5‎‎6‎x+z‎1 200‎在y轴上的截距最大,‎ 最大获利Z=zmax=2.4×1 000+4.8×1 200=8 160.‎ 当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).‎ 将z=1 000x+1 200y变形为y=-‎5‎‎6‎x+z‎1 200‎,‎ 当x=3,y=6时,直线l:y=-‎5‎‎6‎x+z‎1 200‎在y轴上的截距最大,‎ 最大获利Z=zmax=3×1 000+6×1 200=10 200.‎ 当W=18时,①表示的平面区域如图3,‎ 四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).‎ 将z=1 000x+1 200y变形为y=-‎5‎‎6‎x+z‎1 200‎,‎ 当x=6,y=4时,直线l:y=-‎5‎‎6‎x+z‎1 200‎在y轴上的截距最大,‎ 最大获利Z=zmax=6×1 000+4×1 200=10 800.‎ 故最大获利Z的分布列为 Z ‎8 160‎ ‎10 200‎ ‎10 800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 因此,E(Z)=8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708.‎ ‎(2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率 P(Z>10 000)=0.5+0.2=0.7,‎ 由二项分布知,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973.‎ ‎5.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概　率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ ‎　作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概　率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.‎ 解析　(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,‎ ‎∵利润=产量×市场价格-成本,‎ ‎∴X所有可能的取值为 ‎500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,‎ ‎300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.‎ P(X=4 000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,‎ P(X=2 000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,‎ P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,‎ 所以X的分布列为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),‎ 由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,‎ P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),‎ ‎3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;‎ ‎3季中有2季利润不少于2 000元的概率为 P(C‎1‎C2C3)+P(C1C‎2‎C3)+P(C1C2C‎3‎)=3×0.82×0.2=0.384,‎ 所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为 ‎0.512+0.384=0.896.‎ ‎6.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.‎ 解析　记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,‎ B表示事件:甲需使用设备,‎ C表示事件:丁需使用设备,‎ D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.‎ ‎(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·B·C,‎ P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C‎2‎i×0.52,i=0,1,2,(3分)‎ 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)‎ ‎=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)‎ ‎=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)‎ ‎=0.31.(6分)‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=P(B·A0·C)‎ ‎=P(B)P(A0)P(C)‎ ‎=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)‎ ‎=0.06,‎ P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)‎ ‎=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)‎ ‎=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,‎ P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,‎ P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,‎ P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)‎ ‎=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)‎ 数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2019届四川成都双流棠湖中学开学考试,2)某校共有500名高二学生,在一次考试中全校高二学生的语文成绩X服从正态分布N(110,σ2)(σ>0),若P(100≤X≤110)=0.3,则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.70　　　　B.80　　　　C.90　　　　D.100‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届浙江温州九校高三第一次联考,7)抽奖箱中有15个形状一样,颜色不一样的乒乓球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,黄球为二等奖,白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖,则这90人中中奖人数的期望和方差分别是(　　)‎ A.6,0.4　　　　B.18,14.4　　　　C.30,10　　　　D.30,20‎ 答案　D　‎ ‎3.(2017江西九江十校联考二模,5)设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7),若P(ξ<2)=P(ξ>4),则μ 与Dξ的值分别为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.μ=‎3‎,Dξ=‎7‎　　　　B.μ=‎3‎,Dξ=7‎ C.μ=3,Dξ=7　　　　D.μ=3,Dξ=‎‎7‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018山东济南外国语学校12月月考,4)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎27‎　　　　B.‎2‎‎27‎　　　　C.‎2‎‎81‎　　　　D.‎‎8‎‎81‎ 答案　B　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎5.(2018安徽合肥名校联考,13)已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=0.8,则P(X≥2)=　　　　. ‎ 答案　0.2‎ ‎6.(2018辽宁沈阳东北育才学校第一次模拟,14)抛掷两枚骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数ξ的期望是　　　　. ‎ 答案　‎‎40‎‎9‎ ‎7.(2018江西南昌模拟,14)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎5‎ 三、解答题(共35分)‎ ‎8.(2019届广东佛山禅城统一调研考试(二),21)某农科所培育一种新型水稻品种,首批培育幼苗2 000株,株长均介于185 mm~235 mm,从中随机抽取100株对株长进行统计分析,得到如下频率分布直方图:‎ ‎(1)求样本平均株长x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替);‎ ‎(2)假设幼苗的株长X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数;‎ ‎(3)在第(2)问的条件下,选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种试验阶段,‎ 若每株幼苗开花的概率为‎3‎‎4‎,开花后结穗的概率为‎2‎‎3‎,设最终结穗的幼苗株数为ξ,求ξ的数学期望.‎ 附:‎83‎≈9;若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ141)=P(ξ>127+2×7)=‎1‎‎2‎×[1-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)]=0.022 8,‎ 故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23.‎ ‎(3)由题意知X~B‎4,‎‎1‎‎4‎,‎ 故X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=‎3‎‎4‎‎4‎=‎81‎‎256‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎1‎‎1‎‎4‎‎1‎‎3‎‎4‎‎3‎=‎27‎‎64‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎2‎‎1‎‎4‎‎2‎‎3‎‎4‎‎2‎=‎27‎‎128‎,‎ P(X=3)=C‎4‎‎3‎‎1‎‎4‎‎3‎‎3‎‎4‎‎1‎=‎3‎‎64‎,‎ P(X=4)=‎1‎‎4‎‎4‎=‎1‎‎256‎,‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎81‎‎256‎ ‎27‎‎64‎ ‎27‎‎128‎ ‎3‎‎64‎ ‎1‎‎256‎ 期望E(X)=np=4×‎1‎‎4‎=1,‎ 方差D(X)=np(1-p)=4×‎1‎‎4‎×‎3‎‎4‎ = ‎3‎‎4‎.‎