上海市张堰中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

上海市张堰中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 张堰中学2018-2019学年度第二学期高一期中考试数学试题 一、填空题 ‎1.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得．‎ ‎【详解】，解得．定义域为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域，掌握反余弦函数的定义域是解题基础．‎ ‎2.已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形面积公式，，代入已知条件中的数据，得到答案.‎ ‎【详解】因为扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，‎ 所以根据扇形面积公式，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查求扇形的面积，属于简单题.‎ ‎3.若现在高一数学考试已经过了15分钟，则在这15分钟内分针转了_______弧度.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 分针1分钟转一圈，每圈弧度数为，由此可得．‎ ‎【详解】15分钟，分针转了圈，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查弧度的概念，本题属于基础题．‎ ‎4.函数的单调递增区间是_________.‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得．‎ ‎【详解】由得，．即单调增区间为，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，解题时只要根据复合函数的单调性结合正弦函数的增区间可得结论．‎ ‎5.已知角的终边上有一点P(-4,3)，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数定义求得，再由两角和的正弦公式求解．‎ ‎【详解】∵角的终边上有一点P(-4,3)，∴，，∴，，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，考查两角和的正弦公式，属于基础题．‎ ‎6.化简_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，及是锐角，结合平方关系可得．‎ ‎【详解】由反余弦函数定义得，，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查反余弦函数的定义，考查平方关系，属于基础题．‎ ‎7.函数的图像与直线的交点个数是______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程可得．‎ ‎【详解】由得，，，在上的只有两个．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查直线与函数图象交点个数，考查正弦函数的图象与性质，直线与函数的图象的交点个数就是方程的解的个数，也可以作出函数的图象和直线，观察它们的交点即可．‎ ‎8.角A是△ABC的一个内角，若函数的一个对称中心为则A=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的对称中心，再根据内角得解．‎ ‎【详解】，，，‎ 由题意，，当时，．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查余弦函数型的对称性，掌握余弦函数的对称性是解题基础．对余弦函数来讲，其图象的对称中心为，对称轴方程为．‎ ‎9.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过4分钟航行到B处，再看灯塔在北偏东75°方向，则此时货轮到灯塔的距离BS=___海里.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用正弦定理求解．‎ ‎【详解】‎ 如图，由题意得，∴，‎ 又，在中，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，属于基础题．解三角形时要根据已知条件确定选用正弦定理还是用余弦定理求解，注意它们适用的条件、类型．‎ ‎10.已知函数与它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求解．‎ ‎【详解】由题意，，，‎ ‎∵，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解三角方程，解题时注意三角函数的周期性，同时注意变量的取值范围．‎ ‎11.设函数（，），若存在常数（），满足有，则可取到的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若存在常数T(T<0),使得对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)，‎ 则必有T=−1，‎ 此时f(x−1)=−f(x)成立，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 则必有,则，‎ 则，‎ ‎∵ω>0，‎ ‎∴当k=0时，ω取得最小值ω=π.‎ ‎12.已知函数若方程在区间内有且仅有两解，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 化简，作出函数的图象，通过图象观察的取值，从而得的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，如图是函数的图象，‎ 当时，，只要，在就有两解，‎ 所以方程在上只有1解或两相等的实数解．‎ ‎(i)，，方程的解为满足题意；‎ ‎(ii)若，则，此时方程为方程，另一解为，不合题意；‎ ‎(iii)设，则，．此时方程在上只有1解，‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查方程根的个数问题，解题时可结合函数图象求解．在函数零点和方程根的分布问题中，利用数形结合思想解题是常用方法．我们掌握把方程的根转化函数图象交点的横坐标．‎ 二、选择题 ‎13.已知则点必在（　　　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由的范围，求出的正负，从而可确定点所在象限．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ ‎∴点在第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，考查三角函数的符号．掌握三角函数定义是解题基础．‎ ‎14.在中，若，则是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用两角和与差正弦公式即可.‎ 详解：，‎ ‎，即，‎ A，B为三角形内角，‎ 只能是，即.‎ 故是直角三角形.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了三角形的形状的判断，考查两角和与差的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎15.函数的图象如图，则（ ）‎ A ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由图像可知函数过点，代入解析式得，‎ 函数中，由图像可知 ‎，由函数过点，所以，选A.‎ 点睛：本题考察的是由函数图像求解析式，其中直线方程中的斜率只需将直线过的点的坐标代入即可求解，三角函数式中要结合函数的周期利用求解，的求解利用三角函数过的特殊点，如本题中可代入点或点求解.‎ ‎16.下面有五个命题:‎ ‎①函数的最小正周期是2π；‎ ‎②终边在轴上的角的集合是；‎ ‎③在同一坐标系中，函数的图像和函数的图像有一个公共点；‎ ‎④把函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像；‎ ‎⑤在△ABC中，若则ΔABC是等腰三角形.‎ 其中真命题的个数有（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对5个命题分别进行判断．‎ ‎【详解】，其最小正周期是，①错；‎ 终边在y轴上的角的集合是{a|a，k∈z}，②错误；‎ 在同一坐标系中，函数的图像和函数的图像有一个公共点，③正确；‎ 把函数的图像向右平移个单位长度得到的函数式为，④正确；‎ 在△ABC中，若则，∴，∴，是等腰三角形，⑤正确；‎ 真命题个数为4．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需对每一个命题进行判断．本题所用知识点较多，有一定的难度．‎ 三、解答题 ‎17.已知在第一象限，求的值.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式计算．‎ ‎【详解】∵在第一象限，∴，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式，属于基础题．‎ ‎18.已知其中为锐角.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值，并求方程的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2），方程的解集为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知求出，由两角和的余弦公式计算；‎ ‎（2）由（1）可得的值，利用正切函数的性质解方程即可．‎ ‎【详解】（1）∵其中为锐角.‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵是锐角，∴，又，∴，‎ 方程即为，∴，．‎ 即方程的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查两角和的余弦，考查同角间的三角函数关系，考查正切函数的性质．难度中等．解题时要注意解的范围．在三角函数中角的范围是要着重注意的问题，无论是用同角间的三角函数关系，还是由函数值求角都必须考虑角的范围．‎ ‎19.已知：△ABC中，三边的对角为A，B，C，且，‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求△ABC的面积。‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先正弦定理化边为角，解得，再根据平方关系求结果，（2）由余弦定理以及，解得，再根据三角形面积公式求结果.‎ 详解：（1）由正弦定理及，有，‎ 即，所以，‎ 又因为，所以，‎ 因为，所以，又，所以。‎ ‎（2）在△ABC中，由余弦定理可得，又，‎ 所以有，即，所以△ABC的面积为.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎20.已知函数 ‎(1)若求函数的最大值，并求出取得最大值时的集合；‎ ‎(2)如果函数的值域为求实数和的值.‎ ‎【答案】（1）函数的最大值为4，取得最大值时的集合为；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解；‎ ‎（2）化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的最值分类求解．‎ ‎【详解】，‎ ‎（1），则，‎ ‎∴，即时，．此时的集合为；‎ ‎（2），∵，‎ ‎∴当时，，得，‎ 当时，，得．‎ ‎∴或．‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质．解三角函数问题，通常利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解．‎ ‎21.已知定义在区间上的函数图像关于对称，当时，‎ ‎(1)作出的图像，并探究函数的性质(本小题只需直接写出结论)；‎ ‎(2)求函数的解析式；‎ ‎(3)若关于的方程有解，将方程中的取一确定的值所得的所有的解的和记为，求的所有可能的值及相应的的取值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）当或时， ，当时， ，当时， ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对称性和正弦函数的图象可得的图象，由图象可得性质，如最值，单调性，对称性．‎ ‎（2）根据对称性可求得函数解析式；‎ ‎（3）作直线观察它与函数的交点个数，可得解的情况，利用对称性可求得．‎ ‎【详解】（1）‎ 如图，的性质：最大值1，最小值－1，在和上单调递减，在和上单调递增，对称轴是．‎ ‎（2）当时，，．‎ ‎∴．‎ ‎（3）由（1）中图象知，‎ 当或时，有两解，，‎ 当时，有三解，，‎ 当时，有四解，．‎ 综上，当或时， ，当时， ，‎ 当时， ．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查对称性，由对称性求函数解析式，考查方程根的分布问题，在求解方程根的个数问题时通常利用数形结合思想，把方程的解的个数转化为直线与函数图象交点个数，由此可讨论解的个数及性质，及参数的取值范围．‎ ‎ ‎