2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

‎2016年江苏数学高考试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B=______．‎ ‎2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______．‎ ‎3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______．‎ ‎4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是______．‎ ‎5．（5分）函数y=的定义域是______．‎ ‎6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是______．‎ ‎7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．‎ ‎8．（5分）已知{an}是等差数列.Sn是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是______．‎ ‎9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．‎ ‎10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是______．‎ ‎11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是______．‎ ‎12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是______．‎ ‎13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是______．‎ ‎14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______．‎ ‎　‎ 二、解答题（共6小题.满分90分）‎ ‎15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求cos（A﹣）的值．‎ ‎16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：‎ ‎（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．‎ ‎（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？‎ ‎（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？‎ ‎18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．‎ ‎（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围．‎ ‎19．（16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．‎ ‎（1）设a=2.b=．‎ ‎①求方程f（x）=2的根；‎ ‎②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；‎ ‎（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值．‎ ‎20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{an}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义ST=0；若T={t1.t2.….tk}.定义ST=++…+．例如：T={1.3.66}时.ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.ST=30．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：ST＜ak+1；‎ ‎（3）设C⊆U.D⊆U.SC≥SD.求证：SC+SC∩D≥2SD．‎ ‎　‎ 附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】‎ ‎21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．‎ ‎　‎ B.【选修4—2：矩阵与变换】‎ ‎22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．‎ ‎　‎ C.【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．‎ ‎24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．‎ ‎　‎ 附加题【必做题】‎ ‎25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；‎ ‎（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏数学参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B=　{﹣1.2}　．‎ ‎【分析】根据已知中集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.结合集合交集的定义可得答案．‎ ‎【解答】解：∵集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.‎ ‎∴A∩B={﹣1.2}.‎ 故答案为：{﹣1.2}‎ ‎【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是　5　．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i.‎ 则z的实部是5.‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是　2　．‎ ‎【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线﹣=1的焦距．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1中.a=.b=.‎ ‎∴c==.‎ ‎∴双曲线﹣=1的焦距是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是　0.1　．‎ ‎【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差．‎ ‎【解答】解：∵数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为：‎ ‎=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.‎ ‎∴该组数据的方差：‎ S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．‎ 故答案为：0.1．‎ ‎【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）函数y=的定义域是　[﹣3.1]　．‎ ‎【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案．‎ ‎【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0.‎ 解得：x∈[﹣3.1].‎ 故答案为：[﹣3.1]‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是　9　．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案．‎ ‎【解答】解：当a=1.b=9时.不满足a＞b.故a=5.b=7.‎ 当a=5.b=7时.不满足a＞b.故a=9.b=5‎ 当a=9.b=5时.满足a＞b.‎ 故输出的a值为9.‎ 故答案为：9‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是　　．‎ ‎【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．‎ ‎【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.‎ 基本事件总数为n=6×6=36.‎ 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.‎ 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：‎ ‎（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共6个.‎ ‎∴出现向上的点数之和小于10的概率：‎ p=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知{an}是等差数列.Sn是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是　20　．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列.Sn是其前n项和.a1+a22=﹣3.S5=10.‎ ‎∴.‎ 解得a1=﹣4.d=3.‎ ‎∴a9=﹣4+8×3=20．‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是　7　．‎ ‎【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象即可得到答案．‎ ‎【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象如下：‎ 由图可知.共7个交点．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象是关键.属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎【分析】设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设右焦点F（c.0）.‎ 将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a.‎ 可得B（﹣a.）.C（a.）.‎ 由∠BFC=90°.可得kBF•kCF=﹣1.‎ 即有•=﹣1.‎ 化简为b2=3a2﹣4c2.‎ 由b2=a2﹣c2.即有3c2=2a2.‎ 由e=.可得e2==.‎ 可得e=.‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.考查化简整理的运算能力.属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是　﹣　．‎ ‎【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（﹣）=f（）.可得a值.进而得到f（5a）的值．‎ ‎【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.‎ ‎∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a.‎ f（）=f（）=|﹣|=.‎ ‎∴a=.‎ ‎∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣.‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a值.是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是　[.13]　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.‎ 设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.‎ 由图象知A到原点的距离最大.‎ 点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小.‎ 由得.即A（2.3）.此时z=22+32=4+9=13.‎ 点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==.‎ 则z=d2=（）2=.‎ 故z的取值范围是[.13].‎ 故答案为：[.13]．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是　　．‎ ‎【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.=+2.=﹣+2.结合已知求出2=.2=.可得答案．‎ ‎【解答】解：∵D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.‎ ‎∴=+.=﹣+.‎ ‎=+3.=﹣+3.‎ ‎∴•=2﹣2=﹣1.‎ ‎•=92﹣2=4.‎ ‎∴2=.2=.‎ 又∵=+2.=﹣+2.‎ ‎∴•=42﹣2=.‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是　8　．‎ ‎【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值．‎ ‎【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC.‎ 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①‎ 由三角形ABC为锐角三角形.则cosB＞0.cosC＞0.‎ 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.‎ 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣ ②.‎ 则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC.‎ 由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣.‎ 令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA＞0.tanB＞0.tanC＞0.‎ 由②式得1﹣tanBtanC＜0.解得t＞1.‎ tanAtanBtanC=﹣=﹣.‎ ‎=（）2﹣.由t＞1得.﹣≤＜0.‎ 因此tanAtanBtanC的最小值为8.‎ 当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.‎ 解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.（或tanB.tanC互换）.此时A.B.C均为锐角．‎ ‎【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性．‎ ‎　‎ 二、解答题（共6小题.满分90分）‎ ‎15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求cos（A﹣）的值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理.即可求AB的长；‎ ‎（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC中.cosB=.‎ ‎∴sinB=.‎ ‎∵.‎ ‎∴AB==5；‎ ‎（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．‎ ‎∵A为三角形的内角.‎ ‎∴sinA=.‎ ‎∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：‎ ‎（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎【分析】（1）通过证明DE∥AC.进而DE∥A1C1.据此可得直线DE∥平面A1C1F1；‎ ‎（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D.进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎【解答】解：（1）∵D.E分别为AB.BC的中点.‎ ‎∴DE为△ABC的中位线.‎ ‎∴DE∥AC.‎ ‎∵ABC﹣A1B1C1为棱柱.‎ ‎∴AC∥A1C1.‎ ‎∴DE∥A1C1.‎ ‎∵A1C1⊂平面A1C1F.且DE⊄平面A1C1F.‎ ‎∴DE∥A1C1F；‎ ‎（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱.‎ ‎∴AA1⊥平面A1B1C1.‎ ‎∴AA1⊥A1C1.‎ 又∵A1C1⊥A1B1.且AA1∩A1B1=A1.AA1、A1B1⊂平面AA1B1B.‎ ‎∴A1C1⊥平面AA1B1B.‎ ‎∵DE∥A1C1.‎ ‎∴DE⊥平面AA1B1B.‎ 又∵A1F⊂平面AA1B1B.‎ ‎∴DE⊥A1F.‎ 又∵A1F⊥B1D.DE∩B1D=D.且DE、B1D⊂平面B1DE.‎ ‎∴A1F⊥平面B1DE.‎ 又∵A1F⊂平面A1C1F.‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．‎ ‎（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？‎ ‎（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？‎ ‎【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.可得PO1=2m时.O1O=8m.进而可得仓库的容积；‎ ‎（2）设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．‎ ‎∴O1O=8m.‎ ‎∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3.‎ ‎（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.‎ 设PO1=xm.‎ 则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.‎ 则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x.（0＜x＜6）.‎ ‎∴V′=﹣26x2+312.（0＜x＜6）.‎ 当0＜x＜2时.V′＞0.V（x）单调递增；‎ 当2＜x＜6时.V′＜0.V（x）单调递减；‎ 故当x=2时.V（x）取最大值；‎ 即当PO1=2m时.仓库的容积最大．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．‎ ‎（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）设N（6.n）.则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.从而得到|7﹣n|=|n|+5.由此能求出圆N的标准方程．‎ ‎（2）由题意得OA=2.kOA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程．‎ ‎（3）=.即||=.又||≤10.得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵N在直线x=6上.∴设N（6.n）.‎ ‎∵圆N与x轴相切.∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.‎ 又圆N与圆M外切.圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0.即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25.‎ ‎∴|7﹣n|=|n|+5.解得n=1.‎ ‎∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．‎ ‎（2）由题意得OA=2.kOA=2.设l：y=2x+b.‎ 则圆心M到直线l的距离：d==.‎ 则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.‎ 解得b=5或b=﹣15.‎ ‎∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．‎ ‎（3）=.即.即||=||.‎ ‎||=.‎ 又||≤10.即≤10.解得t∈[2﹣2.2+2].‎ 对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.‎ 此时.||≤10.‎ 只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.‎ 必然与圆交于P、Q两点.此时||=||.即.‎ 因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2.2+2].．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．‎ ‎（1）设a=2.b=．‎ ‎①求方程f（x）=2的根；‎ ‎②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；‎ ‎（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值．‎ ‎【分析】（1）①利用方程.直接求解即可．②列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可．‎ ‎（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2.求出函数的导数.构造函数h（x）=+.求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0.g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.推出g（x0）=0.然后求解ab=1．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ax+bx（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．‎ ‎（1）设a=2.b=．‎ ‎①方程f（x）=2；即：=2.可得x=0．‎ ‎②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.即≥m（）﹣6恒成立．‎ 令t=.t≥2．‎ 不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时.恒成立．可得：△≤0或 即：m2﹣16≤0或m≤4.‎ ‎∴m∈（﹣∞.4]．‎ 实数m的最大值为：4．‎ ‎（2）g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2.‎ g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+]lnb.‎ ‎0＜a＜1.b＞1可得.‎ 令h（x）=+.则h（x）是递增函数.而.lna＜0.lnb＞0.‎ 因此.x0=时.h（x0）=0.‎ 因此x∈（﹣∞.x0）时.h（x）＜0.axlnb＞0.则g′（x）＜0．‎ x∈（x0.+∞）时.h（x）＞0.axlnb＞0.则g′（x）＞0.‎ 则g（x）在（﹣∞.x0）递减.（x0.+∞）递增.因此g（x）的最小值为：g（x0）．‎ ‎①若g（x0）＜0.x＜loga2时.ax＞=2.bx＞0.则g（x）＞0.‎ 因此x1＜loga2.且x1＜x0时.g（x1）＞0.因此g（x）在（x1.x0）有零点.‎ 则g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．‎ ‎②若g（x0）＞0.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.g（x）的最小值为g（x0）.可得g（x0）=0.‎ 由g（0）=a0+b0﹣2=0.‎ 因此x0=0.因此=0.﹣=1.即lna+lnb=0.ln（ab）=0.则ab=1．‎ 可得ab=1．‎ ‎【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{an}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义ST=0；若T={t1.t2.….tk}.定义ST=++…+．例如：T={1.3.66}时.ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.ST=30．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：ST＜ak+1；‎ ‎（3）设C⊆U.D⊆U.SC≥SD.求证：SC+SC∩D≥2SD．‎ ‎【分析】（1）根据题意.由ST的定义.分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案；‎ ‎（2）根据题意.由ST的定义.分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1.由等比数列的前n项和公式计算可得证明；‎ ‎（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB.分2种情况进行讨论：①、若B=∅.②、若B≠∅.可以证明得到SA≥2SB.即可得证明．‎ ‎【解答】解：（1）当T={2.4}时.ST=a2+a4=a2+9a2=30.‎ 因此a2=3.从而a1==1.‎ 故an=3n﹣1.‎ ‎（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1.‎ ‎（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.‎ 分析可得SC=SA+SC∩D.SD=SB+SC∩D.则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB.‎ 因此原命题的等价于证明SC≥2SB.‎ 由条件SC≥SD.可得SA≥SB.‎ ‎①、若B=∅.则SB=0.故SA≥2SB.‎ ‎②、若B≠∅.由SA≥SB可得A≠∅.设A中最大元素为l.B中最大元素为m.‎ 若m≥l+1.则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾.‎ 因为A∩B=∅.所以l≠m.则l≥m+1.‎ SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=.即SA≥2SB.‎ 综上所述.SA≥2SB.‎ 故SC+SC∩D≥2SD．‎ ‎【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．‎ ‎　‎ 附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】‎ ‎21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．‎ ‎【分析】依题意.知∠BDC=90°.∠EDC=∠C.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.可得∠ABD=∠C.从而可证得结论．‎ ‎【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°.‎ 因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC.‎ 则：∠EDC=∠C.‎ 由∠BDC=90°.可得∠C+∠DBC=90°.‎ 由∠ABC=90°.可得∠ABD+∠DBC=90°.‎ 因此∠ABD=∠C.而∠EDC=∠C.‎ 所以.∠EDC=∠ABD．‎ ‎【点评】本题考查三角形的性质应用.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.证得∠ABD=∠C是关键.属于中档题．‎ ‎　‎ B.【选修4—2：矩阵与变换】‎ ‎22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．‎ ‎【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==.再利用矩阵乘法的性质可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵B﹣1=.‎ ‎∴B=（B﹣1）﹣1==.又A=.‎ ‎∴AB==．‎ ‎【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题．‎ ‎　‎ C.【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．‎ ‎【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案．‎ ‎【解答】解：由.由②得.‎ 代入①并整理得.．‎ 由.得.‎ 两式平方相加得．‎ 联立.解得或．‎ ‎∴|AB|=．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题．‎ ‎24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．‎ ‎【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证．‎ ‎【解答】证明：由a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.‎ 可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|‎ ‎≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a.‎ 则|2x+y﹣4|＜a成立．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题．‎ 附加题【必做题】‎ ‎25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程．‎ ‎（2）：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.通过抛物线方程.求解kPQ.通过P.Q关于直线l对称.点的kPQ=﹣1.推出.PQ的中点在直线l上.推出=2﹣p.即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；‎ ‎②利用线段PQ中点坐标（2﹣p.﹣p）．推出.得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出p的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0.∴l与x轴的交点坐标（2.0）.‎ 即抛物线的焦点坐标（2.0）．‎ ‎∴.‎ ‎∴抛物线C：y2=8x．‎ ‎（2）证明：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.则：.‎ 即：.kPQ==.‎ 又∵P.Q关于直线l对称.∴kPQ=﹣1.即y1+y2=﹣2p.∴.‎ 又PQ的中点在直线l上.∴==2﹣p.‎ ‎∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；‎ ‎②因为Q中点坐标（2﹣p.﹣p）．‎ ‎∴.即 ‎∴.即关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.‎ ‎∴△＞0.（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0.‎ ‎∴p∈．‎ ‎【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力．‎ ‎26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；‎ ‎（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．‎ ‎【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．‎ ‎（2）对任意m∈N*.当n=m时.验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立.推导出当n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．‎ ‎【解答】解：（1）7‎ ‎=﹣4×‎ ‎=7×20﹣4×35=0．‎ 证明：（2）对任意m∈N*.‎ ‎①当n=m时.左边=（m+1）=m+1.‎ 右边=（m+1）=m+1.等式成立．‎ ‎②假设n=k（k≥m）时命题成立.‎ 即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1）.‎ 当n=k+1时.‎ 左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）‎ ‎=.‎ 右边=‎ ‎∵‎ ‎=（m+1）[﹣]‎ ‎=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]‎ ‎=（k+2）‎ ‎=（k+2）.‎ ‎∴=（m+1）.‎ ‎∴左边=右边.‎ ‎∴n=k+1时.命题也成立.‎ ‎∴m.n∈N*.n≥m.（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．‎ ‎【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．‎