【数学】河南省创新发展联盟2019-2020学年高一上学期第三次联考试题（解析版）

【数学】河南省创新发展联盟2019-2020学年高一上学期第三次联考试题（解析版）

www.ks5u.com 河南省创新发展联盟2019-2020学年 高一上学期第三次联考试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合，，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎2.下列几何体中，顶点总数最多的是（ ）‎ A. 三棱柱 B. 四面体 C. 六棱锥 D. 四棱柱 ‎【答案】D ‎【解析】三棱柱、四面体、六棱锥、四棱柱的顶点总数分别为、、、，‎ 因此，上述几种几何体中，顶点总数最多的是四棱柱.‎ 故选：D.‎ ‎3.在区间上，下列函数与函数的单调性相同的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，‎ 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 函数在区间上增函数，函数在区间上为减函数.‎ 故选：D.‎ ‎4.在空间中，若直线、、满足，且与共面，则与（ ）‎ A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 ‎【答案】C ‎【解析】若，由平行线的传递性可得；若与相交，则与相交或异面.‎ 故选：C.‎ ‎5.设函数，若奇函数，则（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】是奇函数，且 ‎.‎ 故选：B. ‎ ‎6.底边长为，高为的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】原等腰三角形的面积为，因此，的面积为.‎ 故选：A.‎ ‎7.设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则.‎ B. 若，，则.‎ C. 若，，则.‎ D. 若，，则.‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，，则或，不正确；‎ 若，，则，或相交，不正确；‎ 若，，可得没有公共点，即，正确；‎ 若，，则或相交，不正确,故选C.‎ ‎8.已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.‎ 由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是 ‎.‎ 因此，函数的单调递增区间为、.‎ 故选：C.‎ ‎9.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】指数函数为增函数，则，‎ 对数函数是上的增函数，则，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长均为，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体由一个正方体截去四分之一而得，其体积为，‎ 即，解得.‎ 故选：B.‎ ‎11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤 小时，则正整数的最小值为（ ）（参考数据：取）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，前个小时消除了的污染物，‎ 因为，所以，所以，‎ 即，所以，‎ 则由，得，‎ 所以，‎ 故正整数的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎12.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，与交于点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】易证平面，平面，平面平面，‎ ‎，，，则，即，‎ 又，则.‎ 连接交于，过作，与交于，‎ 连接，则为与的交点.‎ 因为，所以，则.‎ 所以，所以，故.‎ 故选：D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.定义在上的偶函数满足，则的零点个数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，由，得或.‎ 因为函数为偶函数，所以，从而有个零点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点的求解，涉及偶函数性质的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接、、，，，‎ 在正方体中，，，，‎ 所以，四边形为平行四边形，，‎ 所以，异面直线与所成的角为.‎ 易知为等边三角形，.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，又由，得，‎ 即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知长方体的各棱的长度之和为，若，则该长方体的体积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，则，所以，‎ 所以该长方体的体积.‎ 当时，该长方体的体积取得最大值，且最大值为.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（1）已知某圆柱的体积为，侧面积为，求该圆柱的高与表面积；‎ ‎（2）如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，，证明：、、、、五点共面.‎ ‎【解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，则，解得.‎ 故该圆柱的表面积为；‎ ‎（2）因为，所以，可以确定一个平面.‎ 因为，，所以，，所以，‎ 又，所以.‎ 因为，，所以，，‎ 从而、、、、五点都在平面内，即、、、、五点共面.‎ ‎18.已知函数，.‎ ‎（1）解方程；‎ ‎（2）若不等式的解集为，函数的定义域为，求，.‎ ‎【解】（1）因为，由，则，解得；‎ ‎（2）由，得，解得，则.‎ 由，得，则.‎ 所以，.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，，、分别为棱、的中点，，，且以线段为直径的球的表面积为.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若四棱锥的高为，求该四棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）因为为的中点，且，所以.‎ 因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以.‎ 平面，平面，平面.‎ 在中，因为、分别为、的中点，所以，‎ 平面，平面，平面.‎ 因为，所以平面平面.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由题意可得，，解得.‎ 所以四边形的面积为，‎ 故四棱锥的体积为.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）证明：的唯一的零点在内；‎ ‎（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解】（1），，函数在内存在零点.‎ 因为函数在上为增函数，故函数唯一的零点在内；‎ ‎（2）函数在上为增函数，‎ 函数在上的最小值为.‎ ‎，.‎ 当时，函数在上的最大值为，则，解得；‎ 当时，函数在上的最大值为，‎ 则，解得，又，不合题意.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎21.如图，在三棱柱中，是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）若是棱上的任意一点，且三棱柱的体积为，求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）连接交于点，连接.‎ 因为四边形是平行四边形，所以是的中点.‎ 因为是的中点，所以.‎ 又平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）设三棱柱的高为，底面的面积为，‎ 则三棱柱的体积.‎ 又，，所以.‎ ‎22.定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足 ‎.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）设函数，求在区间上的最大值.‎ ‎【解】（1）令，，得；‎ 令，，得.‎ 由，解得；‎ ‎（2）令，则，所以，‎ 由以上两式，解得，‎ 即，所以；‎ ‎（3）.‎ 当，即时，此时，函数在区间上单调递增，‎ ‎；‎ 当，即时，函数在区间上单调递增，‎ 在区间上单调递减，则.‎ 综上，.‎