上海高考数学试卷与答案理科

上海高考数学试卷与答案理科

‎2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）‎ 一．填空题（本大题满分44分）‎ ‎1．函数的定义域是 ． ‎ ‎2．若直线与直线平行，则 ． ‎ ‎3．函数的反函数 ． ‎ ‎4．方程 的解是 ． ‎ ‎5．若，且，则的最大值是 ． ‎ ‎6．函数的最小正周期 ． ‎ ‎7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ‎ （结果用数值表示）． ‎ ‎8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ‎ ．‎ ‎9．对于非零实数，以下四个命题都成立：‎ ‎ ① ； ② ； ‎ ‎ ③ 若，则； ④ 若，则． ‎ 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．‎ ‎10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个 ‎ 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是 直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： .‎ ‎11．已知为圆上任意一点（原 点除外），直线的倾斜角为弧度，记．在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二．选择题（本大题满分16分）‎ ‎12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 ‎ 的两个根，那么的值分别是（　　）‎ ‎ Ａ． Ｂ．‎ ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（　　）‎ ‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ‎ 中，若，则的可能值个数是（　　）‎ ‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ ‎15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 ‎ 出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）‎ ‎ Ａ．若成立，则当时，均有成立 ‎ Ｂ．若成立，则当时，均有成立 ‎ Ｃ．若成立，则当时，均有成立 ‎ ‎ Ｄ．若成立，则当时，均有成立 ‎ 三．解答题（本大题满分90分）‎ ‎16．（本题满分12分）‎ ‎ 如图，在体积为1的直三棱柱中，．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ ‎ 在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ ‎ 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．‎ ‎ （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；‎ ‎ （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．‎ ‎ 已知函数，常数．‎ ‎ （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎ （2）若函数在上为增函数，求的取值范围．‎ ‎20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ ‎ 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．‎ ‎（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，‎ ‎．依次写出的每一项；‎ ‎（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；‎ ‎ （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求 ‎“果圆”的方程； ‎ ‎ （2）当时，求的取值范围；‎ ‎（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”‎ 的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”‎ 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．‎ 答案要点 一、填空题（第1题至第11题）‎ ‎1． 2． 3． 4． ‎ ‎5． 6． 7． 8． 9．②④‎ ‎10． ，并且与相交（，并且与相交）‎ ‎11． ‎ 二、选择题（第12题至第15题）‎ 题 号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答 案 A C B D ‎ 三、解答题（第16题至第21题）‎ ‎16．解法一： 由题意，可得体积 ‎， ‎ ‎ ． ‎ 连接． ，‎ 平面，‎ ‎ 是直线与平面所成的角． ‎ ‎ ， ‎ ‎ ，则 ＝．‎ ‎ 即直线与平面所成角的大小为． ‎ 解法二： 由题意，可得 ‎ 体积，‎ ‎ ， ‎ ‎ 如图，建立空间直角坐标系． 得点，‎ ‎，． 则，‎ 平面的法向量为．‎ ‎ 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， ‎ ‎ 则， ，‎ ‎ 即直线与平面所成角的大小为． ‎ ‎17．解： 由题意，得为锐角，， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 由正弦定理得 ， ． ‎ ‎18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ‎ ，，，． ‎ 则2006年全球太阳电池的年生产量为 ‎ ‎ (兆瓦)． ‎ ‎ （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．‎ 解得． ‎ ‎ 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． ‎ ‎19．解：（1）当时，，‎ ‎ 对任意，， 为偶函数． ‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 取，得 ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 函数既不是奇函数，也不是偶函数． ‎ ‎ （2）解法一：设，‎ ‎ ， ‎ ‎ 要使函数在上为增函数，必须恒成立． ‎ ‎ ，即恒成立． ‎ ‎ 又，．‎ ‎ 的取值范围是． ‎ ‎ 解法二：当时，，显然在为增函数． ‎ 当时，反比例函数在为增函数，‎ 在为增函数． ‎ ‎ 当时，同解法一． ‎ ‎20．解：（1）设的公差为，则，解得 ，‎ ‎ 数列为． ‎ ‎ （2）‎ ‎ ， ‎ ‎ ，‎ ‎ 当时，取得最大值． ‎ ‎ 的最大值为626． ‎ ‎ （3）所有可能的“对称数列”是：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③ ；‎ ‎ ④ ． ‎ ‎ 对于①，当时，． ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ． ‎ ‎ 对于②，当时，． ‎ ‎ 当时，．‎ ‎ 对于③，当时，． ‎ ‎ 当时，．‎ ‎ 对于④，当时，． ‎ ‎ 当时，．‎ ‎21． 解：（1） ，‎ ‎，‎ ‎ 于是，所求“果圆”方程为 ‎ ，． ‎ ‎（2）由题意，得 ，即．‎ ‎ ，，得． ‎ ‎ 又． ． ‎ ‎ （3）设“果圆”的方程为，．‎ ‎ 记平行弦的斜率为．‎ 当时，直线与半椭圆的交点是 ‎，与半椭圆的交点是．‎ ‎ 的中点满足 ‎ 得 ． ‎ ‎ ， ．‎ ‎ 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． ‎ ‎ 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是． ‎ ‎ 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． ‎ ‎ 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ‎