高考数学精英备考专题讲座 研究性问题的创新试题

高考数学精英备考专题讲座 研究性问题的创新试题

研究性问题的创新试题 研究性学习作为一种适应新形势需要的学习方法，其核心是自主学习，有助于激发学创 造动机，提高动手实践能力，树立科学思想，培养创新精神.因此，在近些高考命题中都有所 体现.而要解决高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和 结论之间的联系，运用解 决问题和分析问题的数学能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题 方法. 题题型型一一 知知识识类类比比问问题题 【例 1】设等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，则 4S ， 84SS ， 12 8SS ， 16 12SS 成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列{}nb 的前 项积为 nT ，则 4T ， ， ， 16 12 T T 成等 比数列. 点拨：根据类比猜想得出 ， 8 12 48 ,T T TT ， 成等比数列.本题考查由等差数列到等比数列 的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思 想方法的学习. 解析： 对于等比数列，通过类比，有等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， 成等比数列. 易错点：在等差数列到等比数列类比过程，同学们易把握不住类比的方向，如等差数列 中的“差”类比成等比数列中的“商”. 变式与引申 1．已知椭圆具有性质：若 M 、 N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任 意一点，当直线 PM 、 PN 的斜率都存在，并记为 PMk 、 PNk 时，那么 与 之积是与 点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 12 2 2 2  b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 题题型型二二 条条件件探探索索性性问问题题 例 2 已知首项为 1x 的数列{}nx 满足 1 1 n n n axx x   ，其中 a 为常数. (Ⅰ)若对任意的 1 1x  ，有 1nnxx  对任意的 nN 都成立，求 a 的值； (Ⅱ)当 1a  时，若 1 0x  ，数列 是递增数列还是递减数列？请说明理由； (Ⅲ)当 a 确定后，数列 由其首项 确定，当 2a  时，通过对数列 的探究，写 出“{}nx 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）. 说明：对于第(Ⅲ)小题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性， 给予不同的评分. 点拨：本题作为高考的压轴题，考察学生对数列中递推公式的理解和应用，因此可从递 推公式入手，求出关于通项 nx 的方程，求出参数，第(Ⅱ)小题可应用证明数列单调性的定义 法，直接比较 与 1nx  的大小，第(Ⅲ)小题属于开放探索型题型，要求学生写出使得结论成 立的条件，此时关键在于求出与结论等价的充分必要条件. 条件开放的数学问题， 可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法，也可以从结论 出发，利用给定的条件，逆向推理直到终结点便是所探索的条件． ① 数列 满足 1 1 n n n axx x   ，若 1 1 7x  ，则数列 是有穷数列； ② 数列 满足 ，若 1 1 12mx   ， mN ，则数列 是有穷数列； ③ 数列 满足 ，则数列 是有穷数列的充要条件是存在 ，使 得 ； ④ 数列 满足 ，则数列 是有穷数列且项数为 m 的充要条件是 ， . 易错点：在求解递推公式时，求解 nx 与 1nx  之间的公式出错.判断并证明数列单调性中， 没有利用一般的归纳法得到 0nx  ，给接下来的证明带来困难. 变式与引申 2．给定集合 {1,2,3,..., }nAn ，映射 : nnf A A 满足： ①当 ,,ni j A i j时， ( ) ( )f i f j ； ②任取 ,nmA 若 2m  ，则有 m { (1), (2),.., ( )}f f f m . 则称映射 f ： nnAA 是一个“优映射”.例如：用表 1 表示的映射 f ： 33AA 是一个“优 映射”. 表 1 表 2 已知表 2 表示的映射 f ： 44AA 是一个优映射，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足 条件的映射）. 题题型型三三 结结论论探探索索型型问问题题 例 3 如图 9－3－1，在直棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中． (Ⅰ)当 A1C  B1D1 时，试确定底面四边形 ABCD 的形状； (Ⅱ)如果底面 ABCD 是正方形，E 是 C1D1 的中点，是否存在实数 ( 2, 3)  ，当 1AB AA 时，DE  CA1．若存在，求出实数 的范围；若不存在，说明理由． 点拨：(Ⅰ)根据条件，可以考虑四边形的特殊性，采用逆推法；（2）在 ABCD 是正方 形的情况下，可以建立空间直角坐标系，利用向量运算的确定性来转化开放运动的不定 条件，方便问题的解决． 解析：(Ⅰ)根据条件与结论分析，如果 A1C B1D1，则 BD 一定垂直平面 AA1C，只 要满足条件 AC BD，就能推出结论，因此对四边形 ABCD 的形状可以是正方形、菱形、 筝形． i 1 2 3 ()fi 2 3 1 i 1 2 3 4 ()fi 3 故 1DE CD [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 由于 11D ED CDE CD D     ，则 1CDD ∽ 1DD E 因此 11 1 D E DD DD CD ，而 12AB CD D E ， 11DD AA ， 可得 1 2 ( 2, 3)AB AA    ，故不存在实数 ( 2, 3)  使得 DE  CA1 易错点：应用三垂线定理中出错，未能将线斜 垂直转化为线影垂直. 变式与引申 3．如图 9－3－2 所示，已知：直线 m∥n，A、B 为直线 n 上两点，C、P 为直线 m 上两点． （1）请写出图中面积相等的各对三角形； （2）如果 A、B、C 为三个定点，点 P 在 m 上移动， 那么，无论 P 点移动到任何位置，总有________与 △ABC 的面积相等．理由是：_________________. 题题型型四四 综综合合探探究究能能力力问问题题 例 4 对于函数 ()fx，若存在 0xR ，使 00()f x x 成立，则称 0x 为 ()fx的不动点.已 知函数 2( ) ( 1) ( 1)f x ax b x b     ( 0)a  . （Ⅰ）当 1a  ， 2b  时，求函数 ()fx的不动点； （Ⅱ）若对任意实数b ，函数 ()fx恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 ()y f x 图像上 A ， B 两点的横坐标是函数 ()fx的不动点， 且 ， 两点关于直线 2 1 21y kx a  对称，求b 的最小值. 点拨：理解不动点的概念，求出不动点的充要条件.本题以高等数学中不动点的概念为背 景，考察学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法.对新概念、新知识、新信息、新情景、 新问题进行分析、探索、创造性的解决问题的能力. 因为01a，当且仅当 12a a 即 2 2a  时，b 有最小值 2 4 . 易错点：学生未能理解不动点的概念，仅仅简单地从字面上理解，未能转化为数学语言， 这也要求我们在训练学生思维能力方面重要的把握对概念的理解. 变式与引申 4.设 ()fx是定义在[0,1] 上的函数，若存在 * (0,1)x  ，使得 在[0, *]x 上单调递增， 在[ *,1]x 上单调递减，则称 为 上的单峰函数， *x 为峰点，包含峰点的区间为含峰 区间． （I）证明：对任意的 1x ， 2 (0,1)x  ， 12xx ，若 12( ) ( )f x f x ， 则 2(0, )x 为含峰区间； 若 12( ) ( )f x f x ，则[ *,1]x 为含峰区间； （II）对给定的 r （ 0 0.5r ），证明：存在 ，满足 212x x r ，使得由（I）所 确定的含峰区间的长度不大于0.5 r （区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 本节主要考查：高考数学命题中的研究性创新问题主要有学习能力型、结论探索型、解题 策略研究型、综合探究能力型等几种类型. 研究性创新问题因其思维含量高、知识覆盖面广、 综合性强，这类创新题在高考中频频亮相. 点评：所谓创新意识就是能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、 思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题 的思路，创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、 抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会 的程度越高，显示出的创新意识也就越强. 高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的 联系，运用数学综合能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法. 如类比是将解题方法、 式子结构、运算法则、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知探索 新知；善于从若干特殊现象中总结出一般规律. 高考中对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构 造有一定深度和广度的数学问题时，往往注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计 考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也会有反映数、形运动变化的试题以及研究型、 探索型、开放型等类型的试题.这种试题往往以压轴题的形式出现. 习题 9－3 1．已知 12 2 2 2 21  b y a xFF 是椭圆、 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 2 2121 90 bPFFPFF 的面积是，则 ，请将题目中所空缺的一个可能条件填入_________ 处. 2．对于在区间[ , ]mn 上有意义的两个函数 ()fx与 ()gx，如果对任意的 [ , ]x m n ，均有 ( ) ( )f x g x 1 ，则称 与 在 上是接近的，否则称 与 在 上 是非接近的，现有两个函数 1( ) log ( 3 )af x x a与 2 1( ) log ( 0, 1)af x a axa   ，给定区 间[ 2, 3]aa. （Ⅰ）若 1()fx与 2 ()fx在给定区间[ 2, 3]aa上都有意义，求 a 的取值范围; (Ⅱ)讨论 1()fx与 2 ()fx在给定区间[ 2, 3]aa上是否是接近的. 3．如图 9－3－3 所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开 垦荒地，现已变成如图 9－3－4 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（9－3－4 中折线 CDE）还保留着；张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地 面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知 识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）． （1）写出设计方案．并画出相应的图形； （2）说明方案设计理由． 4．过椭圆   22 2210xy abba    上的动点 P 引圆 2 2 2xyb的两条切线 PA、PB，A、B 为 切点，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N. （1）问代数式 22 22 ba ON OM  的值是否与 P 点的运动相关？并证明你的结论； （2）是否存在点 P 使得 0PA PB  ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 变式与引申 1．解：类似的性质为：若 M 、 N 是双曲线 12 2 2 2  b y a x 上关于原点对称的两个点，点 P 是 双曲线上任意一点，当直线 PM 、PN 的斜率都存在，并记为 PMk 、 PNk 时，那么 与 之积是与点 的位置无关的定值. 证明：设点 、 的坐标为（ nm, ）、（ yx, ），则 （ nm  , ）. 因为点 （ ）在已知双曲线上，所以 22 2 2 2 bma bn  ，同理 22 2 2 2 bx a by  . 则 2 2 22 22 2 2 22 22 a b mx mx a b mx ny mx ny mx nykk PNPM      （定值）. 2.解： [来源:Z。xx。k.Com] 或 3.解：（l）△ ABC 和△ ABP，△ AOC 和△ BOP、△ CPA 和△ CPB． （2）△ ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点 P 在 m 上移动到任何位置， 总有△ ABP 与△ ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等． 4. 解：（I）证明：设 'x 为 ()fx的峰点,则由单峰函数定义可知, ( )fx在[0, ']x 上单调递增,在 [ ',1]x 上 单 调 递 减 ． 当 12( ) ( )f x f x 时 , 假设 2' (0, )xx , 则 12 ',x x x 从而 21( ') ( ) ( ),f x f x f x 这与 12( ) ( )f x f x 矛盾,所以 2' (0, )xx ,即 2(0, )x 是含峰区间． 当 12( ) ( )f x f x 时,假设 1' ( ,1)xx ,则 12'x x x,从而 12( ') ( ) ( ),f x f x f x 这与 12( ) ( )f x f x 矛盾,所以 1' ( ,1)xx ,即 1( ,1)x 是含峰区间． （II）证明：由（I）的结论可知： 当 12( ) ( )f x f x 时,含峰区间的长度为 12;lx 当 12( ) ( )f x f x 时,含峰区间的长度为 211.lx 对于上述两种情况,由题意得 2 1 0.5 1 0.5 xr xr      　　　　　① 由①得 211 1 2x x r    ,即 212.x x r 又因为 212x x r ,所以 212x x r　　　　　　② 将②代入①得 120.5 , 0.5x r x r    　　　③ 由①和③解得 120.5 , 0.5 .x r x r    所以这时含峰区间的长度 120.5l l r   ,即存在 12,xx使得所确定的含峰区间的长度不 大于0.5 .r i 1 2 3 4 ()fi 2 3 1 4 4 1 习题 9-3 1． 02  ba 提示：此题所空缺条件一般是 cba ，， 应满足什么条件.首先确定焦点所在的坐标轴.假设焦点 在 y 轴上, 由题意有      22 2 2 1 21 4 2 cPFPF bPFPF 则 )(2 22 21 cbPFPF  从而 222 21 bcbSPFF  的面积 与 题 设 矛 盾 , 知 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴上. 于是 2 )(,,0 2 212 2 2 1 PFPFPFPFba  由另一方面 有 2222 2,24 caac  即 ,亦即 baba 2,2 22  综上应有 . 故当 9 570 12a  时， 1()fx与 2 ()fx在[ 2, 3]aa上是接近的， 当 9 57 12a  时， 1()fx与 2 ()fx在区间[ 2, 3]aa上是非接近的. 3．（1）画法如图 9－3－1 所示.连接 EC，过点 D 作 DF∥EC， 交 CM 于点 F，连接 EF，EF 即为所求直路位置． （2）设 EF 交 CD 于点 H，由上面得到的结论可知： SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔE DH，[来源:Z&xx&k.Com] 图 9－3－1 w w w . 高 考 资 源 网 ( w w 所以 S 五边形 ABCDE=S 五边形 ABCFE，S 五边形 EDCMN=S 四边形 EFMN． 4．解析：（Ⅰ）设椭圆上的动点  cos , sinP b a，则切点弦 AB 所在的直线方程为： 2cos sinb x a y b 令 0 ,0cos byM   ；令 2 0 0, sin bxNa    因此 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cossin b a b a a bON OM bb a          与点 P 的运动无关. (Ⅱ) 假 设 存 在 点 使得 0PA PB ，即 PA PB ， 又 因 为 ,OA PA OB PB[来源:学科网 ZXXK] 且 OA OB b， 所 以 四 边 形 OAPB 是 正 方 形 ，  22 2 2 22 cos sin 2OP b b a b    得到 2 2 22sin b ab   . 当 2 221b ab 时，即 2ab 时，不存在这样的点 P 满足条件； 当 2 221b ab 时，即 2ab ，存在这样两点    0, , 0,P a P a ； 当 2 221b ab 时，即 2ab ，存在这样的四点 22 2 2 2 2 2 ,b a b abP a b a b  .