数学文卷·2018届四川省成都石室中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学文卷·2018届四川省成都石室中学高二下学期期中考试（2017-05）

高2018届2016-2017学年下期半期考试数学（文科）‎ 一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分）‎ ‎1.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎2.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎4.已知点为抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）‎ A. B． C.2 D．‎ ‎5.一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）‎ ‎（1），，， （2），‎ ‎（3），， （4），‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8.在满足极坐标和直角坐标互化条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（ ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C.圆 D．直线 ‎9.已知函数，其导函数记为，则 ‎（ ）‎ A．0 B．1 C. 2 D．2017511‎ ‎10.在区间和分别取一个数，记为，，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知两条直线和平行，则实数的值为 ．‎ ‎14.若复数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎15.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．‎ ‎16.设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 .‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）‎ ‎17. 某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示.‎ ‎（1）求毕业大学生月收入在的频率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；‎ ‎（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？‎ ‎18. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.直线经过点，倾斜角.‎ ‎（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于，两点，求的值.‎ ‎19.如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎20. 设函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意及任意，，恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）在第（2）问的条件下，求面积的最大值.‎ ‎22.已知函数，（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；‎ ‎（2）若时，函数在内是增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.‎ 高2018届2016-2017学年下期半期考试答案（文科）‎ 一、选择题 ‎1-5:ACDBD 6-10:ABCCB 11、12：DA 二、填空题 ‎13.-1 14. 15. 16.‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）‎ ‎17.解：（1）月收入在的频率为：‎ ‎；‎ ‎（2）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，‎ 则，解得，‎ 根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为；‎ ‎（3）居民月收入在的频率为，‎ 所以10000人中月收入在的人数为（人），‎ 再从10000人用分层抽样方法抽出100人，‎ 则月收入在的这段应抽取人.‎ ‎18.解：（1）的参数方程为（为参数），利用，消去参数可得.‎ 由于经过点，倾斜角，‎ 可得直线的参数方程.‎ ‎（2）把的参数方程代入圆的方程可得，‎ ‎，，.‎ ‎19.解：（1）证明：平面，，‎ 平面，则.又平面，则.‎ 平面.‎ ‎（2）证明：依题意可知：是中点，‎ 平面，则，而，是中点.‎ 在中，，平面.‎ ‎（3）平面，，而平面，‎ 平面，平面.‎ 是中点，是中点，且，‎ 平面，，中，.‎ ‎，.‎ ‎20.解：（1），‎ 当，即时，，在上是减函数；‎ 当，即时，令，得或；令，得；‎ 当，即时，令，得或；令，得；‎ 综上，当时，在定义域上是减函数；‎ 当时，在，上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（2）知，当时，在上单调递减，‎ 当时，有最大值，当时，有最小值，‎ 对任意，恒有，.‎ 构造函数，则，‎ ‎，.‎ 函数在上单调增.‎ ‎，.‎ ‎21. 解：（1）点在且椭圆上，，‎ ‎，，‎ ‎，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 代入，整理得.‎ 直线过椭圆的右焦点，方程有两个不等实根.‎ 记，中点，‎ 则，，，‎ 垂直平分线的方程为.‎ 令，得.‎ ‎，.的取值范围为.‎ ‎（3），‎ 而，‎ 由，可得.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以的面积为.‎ 设，则.‎ 可知在区间单调递增，在区间单调递减.‎ 所以，当时，有最大值.‎ 所以，当时，的面积有最大值.‎ ‎22.解：（1）当时，，导数，‎ ‎，‎ 即函数的图象在处的切线斜率为，切点为，‎ 函数的图象在处的切线方程为，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ ‎（2）时，函数在的解析式是，‎ 导数，‎ 函数在内是增函数，‎ 即在内恒成立，，‎ 时，.‎ ‎，故的取值范围是；‎ ‎（3）假设在点处的切线与在点处的切线平行，‎ 设点，，，‎ 则由题意得点、的横坐标与中点的横坐标相等，且为，‎ 时，，，‎ 在点处的切线斜率为，‎ 由于两切线平行，则，‎ 即，则两边同乘以，得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 设，则，①，‎ 令，，则，‎ ‎，，在上单调递增，‎ ‎，，这与①矛盾，假设不成立，‎ 故在点处的切线与在点处的切线不平行.‎