2018届二轮复习（理） 导 数学案（全国通用）
回扣3 导 数
1．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
2．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
3．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
4．定积分的三个公式与一个定理
(1)定积分的性质：
①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；
②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx.
③ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a
0,2f(x)＋xf′(x)＞x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＞0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(x)为R上的奇函数，所以g(x)为奇函数，
所以g(x)在(－∞，0)上为增函数．
由(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)＜0，
可得(x＋2 018)2f(x＋2 018)＜4f(2)，
即g(x＋2 018)＜g(2)，
所以x＋2 018＜2，故x＜－2 016，故选A.
11．ʃ(＋x＋x3)dx＝________.
答案
解析 因为ʃ(＋x＋x3)dx
＝ʃdx＋ʃ(x＋x3)dx，
ʃ(x＋x3)dx＝＝，
ʃdx等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为，
所以ʃ(＋x＋x3)dx＝.
12．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0，得x＝±a，
当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.∴a的取值范围是.
13．已知曲线C：y＝f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．
答案
解析 设切点坐标为(t，t3－at＋a)．
由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a， ①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)． ②
将点(1,0)代入②式，得
－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝.
分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，
由题意它们互为相反数，得a＝.
14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由于f′(x)＝1＋＞0，
因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.
根据题意可知，存在x∈[1,2]，
使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，
即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋成立，
令h(x)＝＋，
则若存在x∈[1,2]，使a≥h(x)成立，
只需使a≥h(x)min，
又函数h(x)＝＋在[1,2]上单调递减，
所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
所以a的取值范围是.
15．设函数f(x)＝xekx (k≠0)．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增，求k的取值范围．
解 (1)由题意可得f′(x)＝(1＋kx)ekx，
f′(0)＝1，f(0)＝0，
故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x－y＝0.
(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)，
若k＞0，则当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若k＜0，则当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
所以当k>0时，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当k<0时，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(3)由(2)知，若k＞0，则当且仅当－≤－1，
即0
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