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文档介绍
2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试数学(理)试题(Word版)
2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试数学学科(理科) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 (是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.若,则“”的一个充分不必要条件是 ( ) A. B. C. 且 D. 或 3.若,则下列不等式中一定不成立的是 ( ) A. B. C. D. 4.设是等差数列的前项和,若, ,则 ( ) A. 2016 B. 2017 C. -2015 D. -2018 5.设点分别是双曲线的左、右焦点,过点且与轴垂直的直线l与双曲线C交于A,B两点.若的面积为,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 6.曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 7.已知,若不等式恒成立,则的最大值为 ( ) A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 8.已知数列为等比数列,若,则数列的前项之积等于 ( ) A. B. C. D. 9.若函数存在唯一的极值点,且此极值小于0,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 10.定义为个正数, , , 的“均倒数”,若已知数列的前项的“均倒数”为,又,则 ( ) A. B. C. D. 11.已知过抛物线: 的焦点的直线交抛物线于, 两点,若为线段的中点,连接并延长交抛物线于点,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 12.已知可导函数的导函数为,若对任意的,都有,且为奇函数,则不等式的解集为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填入答题纸相应位置) 13.已知变量满足约束条件,则目标函数的最小值是___________。 14.已知命题, ,则命题的否定为__________. 15.的值为__________. 16.已知椭圆G: 的两个焦点分别为和,短轴的两个端点分别为和,点P在椭圆G上,且满足. 当变化时,给出下列三个命题: ①点P的轨迹关于轴对称; ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个; ③的最小值为, 其中,所有正确命题的序号是_____________. 三、解答题(共6小题,共70分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17.(本小题满分10分) 在复平面内,复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应点为,点关于原点的对称点为,求: (Ⅰ)点所在的象限; (Ⅱ)向量对应的复数. 18.(本小题满分12分) 已知命题,命题表示焦点在轴上的双曲线. (1)命题为真命题,求实数的取值范围; (2)若命题“”为真,命题“”为假,求实数的取值范围. 19.(本小题满分12分) 已知函数的最低点为. (1)求不等式的解集; (2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. 20.(本小题满分12分) 在数列中, ,前项和满足. (1)求证:当时,数列为等比数列,并求通项公式; (2)令,求数列的前项和为. 21.(本小题满分12分) 已知椭圆()的离心率是,其左、右焦点分别为,短轴顶点分别为,如图所示, 的面积为1. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点(异于点),证明:直线 和的斜率和为定值. 22.(本小题满分12分) 已知函数. (I)当时,求的单调区间和极值; (II)若对于任意,都有成立,求k的取值范围; (Ⅲ)若,且,证明:. 高二理科数学期末考试参考答案 一、 选择题 BCABD BBADC DB 二、 填空题 13、-2 14、 15、 16、①③ 三、解答题 17、:(I)利用复数的运算法则、几何意义即可得出;(II)利用复数的几何意义即可得出. 试题解析:(Ⅰ)z===1+i,所以=1-i, 所以点A(1,-1)位于第四象限. (Ⅱ)又点A,B关于原点O对称. ∴点B的坐标为B(-1,1). 因此向量对应的复数为-1+i. 18、:(1)当命题为真时,由已知得,解得 当命题为真命题时,实数的取值范围是 (2)当命题为真时,由解得 由题意得命题中有一真命题,有一假命题 当命题为真、命题为假时,则 解得 当命题为假、命题为真时,则,无解 实数的取值范围是 19、:(1)依题意,得,① ,② 由①②解得, , . ∴. 则原不等式可化为,解得或. 故不等式的解集为. (2)由,得, 即,则, 即. ∵,∴的最小值是. 的最大值是. ∴,即. 故实数的取值范围是. 20、(1) 当时, 得, 得 [] (2)当时, 当时, 当时, 当时, 令 经检验时, 也适合上式. . 21、(1), , ,又 所以椭圆的标准方程为 (2)证明:设直线的方程为, 联立得 , = 直线与的斜率之和为定值 22、 (1), ①时,因为,所以, 函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值; ②当时,令,解得, 当时,;当,. 所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是, 在区间上的极小值为,无极大值. (2)由题意,, 即问题转化为对于恒成立, 即对于恒成立, 令,则, 令,则, 所以在区间上单调递增,故,故, 所以在区间上单调递增,函数. 要使对于恒成立,只要, 所以,即实数k的取值范围为. (3)证法1 因为,由(1)知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且. 不妨设,则, 要证,只要证,即证. 因为在区间上单调递增,所以, 又,即证, 构造函数, 即,. , 因为,所以,即, 所以函数在区间上单调递增,故, 而,故, 所以,即,所以成立. 证法2 要证成立,只要证:. 因为,且,所以, 即,, 即, ,同理, 从而, 要证,只要证, 令不妨设,则, 即证,即证, 即证对恒成立, 设,, 所以在单调递增,,得证,所以.查看更多