【数学】2018届一轮复习人教A版第四章第3讲平面向量的数量积及应用举例学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第四章第3讲平面向量的数量积及应用举例学案

第3讲　平面向量的数量积及应用举例 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P91])‎ ‎1．向量的夹角 ‎(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．‎ ‎(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.‎ ‎(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 ‎3.向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)①0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．‎ ‎(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.‎ ‎(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．‎ ‎2．有关向量夹角的两个结论 ‎(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；‎ ‎(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．‎ ‎1. 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b为(　　)‎ A．10　　　　　　　　 B．－10 C．10 D．－10‎ ‎　D　[解析] a·b＝|a|·|b|cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×＝－10.故选D.‎ ‎2. 设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为(　　)‎ A．－4 B．4‎ C． D．－ ‎　A　[解析] 由a·b＝－2得，5×(－6)＋(－7)t＝－2，－7t＝28，所以t＝－4，故选A.‎ ‎3. 已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] cos θ＝＝＝－.‎ 又因为0≤θ≤π，所以θ＝，故选D.‎ ‎4. 已知|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝7，则a·b＝________．‎ ‎[解析] 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2‎ ‎＝22＋2a·b＋52＝29＋2a·b.‎ 所以29＋2a·b＝49，‎ 所以a·b＝10.‎ ‎[答案] 10‎ ‎5. 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ ‎[解析] 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ ‎[答案] －2‎ ‎　平面向量数量积的运算[学生用书P92]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C． D． ‎(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．‎ ‎【解析】　(1)a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ ‎(2)法一：取，为一组基底，‎ 则＝－＝－，‎ ＝＋＋＝－＋＋ ‎＝－＋，‎ 所以·＝· ‎＝2－·＋2‎ ‎＝×4－×2×1×＋＝.‎ 法二：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系，‎ 由于AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，所以CD＝1，等腰梯形ABCD的高为，‎ 所以A(0，0)，B(2，0)，D，C，‎ 所以＝，＝(1，0)，又因为＝，＝，所以E，F，‎ 因此·＝·＝×＋×＝＋＝.‎ ‎【答案】　(1)D　(2) 向量数量积的两种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2016·高考天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B． C． D． ‎　B　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 则B，C，A，所以＝(1，0)．‎ 易知DE＝AC，∠FEC＝∠ACE＝60°，则EF＝AC＝，‎ 所以点F的坐标为，‎ 所以＝，‎ 所以·＝·(1，0)＝.故选B.‎ ‎2．(2017·郑州第二次质量预测)已知点A(－1，1)、B(0，3)、C(3，4)，则向量在方向上的投影为________．‎ ‎[解析] 由题意知向量＝(1，2)，向量＝(4，3)，设向量与向量的夹角为θ，则cos θ＝，又·＝1×4＋2×3＝10，||＝＝，||＝＝5，所以cos θ＝，所以向量在向量方向上的投影为||cos θ＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎　平面向量的夹角与模(高频考点)[学生用书P92]‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．‎ 高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下四个命题角度：‎ ‎(1)求两向量的夹角；‎ ‎(2)求向量的模；‎ ‎(3)两向量垂直问题；‎ ‎(4)求参数值或范围．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30°　　　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．120°‎ ‎(2)(2016·高考全国卷甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8　　　　　　　　　　 B．－6‎ C．6 D．8‎ ‎(3)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．‎ ‎【解析】　(1)由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.‎ ‎(2)由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，‎ 由(a＋b)⊥b，‎ 得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，‎ 解得m＝8，故选D.‎ ‎(3)因为 e1·e2＝，‎ 所以|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，所以〈e1，e2〉＝60°.‎ 又因为 b·e1＝b·e2＝1>0，‎ 所以〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.‎ 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，所以|b|＝＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)D　(3) ‎(1)利用数量积求解长度的方法 ‎①|a|2＝a2＝a·a；‎ ‎②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎(2)求两个非零向量的夹角的注意事项 ‎①向量的数量积不满足结合律；‎ ‎②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一、三　求两向量的夹角及两向量垂直问题 ‎1．(2017·昆明模拟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A． B． C． D．π ‎　A　[解析] 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为 |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，所以|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.所以cos θ＝.‎ 又因为 0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎ 角度二　求向量的模 ‎2．(2017·兰州模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A． B． C．2 D．10‎ ‎　B　[解析] 因为a⊥b，所以x－2＝0⇒x＝2，所以a＋b＝(3，－1)⇒|a＋b|＝，故选B.‎ ‎ 角度四　求参数值或范围 ‎3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．‎ ‎[解析] 如图，由题意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×＝－2，在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎　向量数量积的综合应用[学生用书P93]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2017·福州模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边b和c的值．‎ ‎【解】　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x ‎＝1＋cos 2x－sin 2x ‎＝1＋2cos，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)因为f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ 所以cos＝－1.‎ 又＜2A＋＜，‎ 所以2A＋＝π，即A＝.‎ 由a＝与余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①‎ 因为向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ 所以2sin B＝3sin C.‎ 由正弦定理得2b＝3c，②‎ 由①②，可得b＝3，c＝2.‎ 平面向量与三角函数的综合问题 ‎(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎　 ‎ ‎　(2017·广州海珠区摸底考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．‎ ‎[解] (1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，‎ 所以cos A＝－.‎ 因为0b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P93])‎ ‎——平面向量与不等式的交汇 ‎　(2015·高考福建卷)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)‎ A．13　　　　　　　　　　 B．15‎ C．19 D．21‎ ‎【解析】　以点A为原点，，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．‎ 则A(0，0)，B，C(0，t)，‎ 所以＝(1，0)，＝(0，1)，‎ 所以＝＋＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，‎ 所以点P的坐标为(1，4)，‎ ＝，＝(－1，t－4)，‎ 所以·＝1－－4t＋16＝－＋17≤－4＋17＝13.当且仅当＝4t，‎ 即t＝时取“＝”，‎ 所以·的最大值为13.‎ ‎【答案】　A ‎　求平面向量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种：一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围)；‎ 二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围)．‎ ‎　已知x，y满足若＝(x，1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是(　　)‎ A．1 B． C． D． ‎　D　[解析] 因为＝(x，1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点(1，1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P325(独立成册)])‎ ‎1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)‎ A．12　　　　　　　　 B．8‎ C．－8 D．2‎ ‎　A　[解析] 因为|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.‎ ‎2．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎　B　[解析] 由a·(a－b)＝0，可得，a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，|2a＋b|＝2.‎ ‎3．(2017·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　B　[解析] a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝ ‎，所以〈a，b〉＝.‎ ‎4．(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　 B．－4‎ C． D．－ ‎　B　[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝‎ ‎－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.‎ ‎5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎　A　[解析] 法一：因为＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，〈，〉＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，‎ 所以[(1－λ)－]·(λ－)＝－，‎ 即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，‎ 所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.‎ 法二：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，所以＝(2，0)，＝(1，)，‎ 所以P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，因为·＝－，‎ 所以(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，‎ 化简得4λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝.‎ ‎6．已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎　C　[解析] 因为(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.‎ ‎(－2)⊥⇒(－2)·＝0，‎ 即·－2·＝0，‎ 所以·＝·＝2·，‎ 即||＝||，而cos A＝＝，‎ 所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．‎ ‎7．(2017·海口市调研测试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P在AM上，且满足＝3，则·(＋)的值为________．‎ ‎[解析] 依题意得||＝||＝3，＋＝2＝－，·(＋)＝－2＝－×32＝－6.‎ ‎[答案] －6‎ ‎8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．‎ ‎[解析] a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0＜λ＜或λ＞，‎ 所以λ的取值范围是 ∪∪.‎ ‎[答案] ∪∪ ‎9．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为________．‎ ‎[解析] 设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)．‎ ‎[答案] ‎10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．‎ ‎[解析] 由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.‎ ‎[答案] 9‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈‎ eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(π,2))).‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ ‎[解] (1)若m⊥n，则m·n＝0.‎ 由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，‎ 所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为 m与n的夹角为，‎ 所以m·n＝|m|·|n|cos ，‎ 即sin x－cos x＝，‎ 所以sin＝.‎ 又因为 x∈，所以x－∈，‎ 所以x－＝，即x＝.‎ ‎12．(2016·高考江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ ‎[解析] 由已知得＝＋＝＋＝－＝(－)－(＋)＝－，‎ ＝＋＝＋＝－＝(－)－(＋)＝－，‎ ＝＋＝＋＝(－)－(＋)＝－，‎ ＝＋＝＋＝(－)－(＋)＝－，‎ 因为·＝4，所以·＝4，‎ 则·＝· ‎＝·－2－2＋· ‎＝·－(2＋2)‎ ‎＝×4－(2＋2)＝－1，‎ 所以2＋2＝，‎ 从而·＝· ‎＝－2－2＋· ‎＝－(2＋2)＋· ‎＝－×＋×4‎ ‎＝＝.‎ ‎[答案] ‎13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．‎ ‎(1)求向量b＋c的长度的最大值；‎ ‎(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．‎ ‎[解] (1)法一：b＋c＝(cos β－1，sin β)，‎ 则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．‎ 因为－1≤cos β≤1，‎ 所以0≤|b＋c|2≤4，‎ 即0≤|b＋c|≤2.‎ 当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2，‎ 所以向量b＋c的长度的最大值为2.‎ 法二：因为|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.‎ 当cos β＝－1时，有b＋c＝(－2，0)，‎ 即|b＋c|＝2，‎ 所以向量b＋c的长度的最大值为2.‎ ‎(2)法一：由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)，a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.‎ 因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，‎ 即cos(α－β)＝cos α.‎ 由α＝，得cos＝cos，‎ 即β－＝2kπ±(k∈Z)，‎ 所以β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，‎ 于是cos β＝0或cos β＝1.‎ 法二：若α＝，则a＝.‎ 又由b＝(cos β，sin β)，‎ c＝(－1，0)得a·(b＋c)＝·(cos β－1，sin β)＝cos β＋sin β－.‎ 因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，‎ 即cos β＋sin β＝1，‎ 所以sin β＝1－cos β，‎ 平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，‎ 解得cos β＝0或cos β＝1.‎ 经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．‎ ‎14．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长．‎ ‎[解] (1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A ‎＝sin(A＋B)，‎ 对于△ABC，A＋B＝π－C，0＜C＜π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin C，‎ 所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，‎ 所以sin 2C＝sin C，cos C＝，C＝.‎ ‎(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得 ‎2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.‎ 因为·(－)＝18，所以·＝18，‎ 即abcos C＝18，ab＝36.‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，‎ 所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，‎ 所以c＝6.‎