高中数学高考数学离心率题型总结

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高中数学高考数学离心率题型总结

高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率 二.典例剖析:‎ 例.若椭圆短轴端点为满足,求椭圆离心率。‎ 分析:利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即,得到 的结论。‎ 变 式1.在椭圆上有一点(除短轴端点外),若,求椭圆离心率取值范围。‎ 分析:点P在椭圆上 ;点P在以O为圆心,OP为半径的圆上,所以得到c>b,进而得到的结论。 ‎ 变 式2. 满足的所有点P都在椭圆内,求椭圆离心率取值范围。‎ 分析:满足的所有点P都在椭圆内以O为圆心,OP为半径的圆都在椭圆内,进而得到的结论。‎ 变 式3.过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点且满足,若,求该椭圆离心率。‎ 分析:在前面例题1和变式的基础上,将线段拉长和椭圆交于点,此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了,此时必须抓住椭 圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移,题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上,通过分析和探讨,把难度分解,把梯子放下来,让学生通过理性的分析,清晰思维过程,通过细致解答获得正确答案,进而获得成功的喜悦感,激发其学习兴趣。‎ ‎ 设则,在中利用勾股定理便可获解。‎ 变 式4:过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,满足,若,求该椭圆离心率。‎ 分析:设 则,,所以,不能利用勾股定理,利用余弦定理便可解出。‎ 备选练习题:‎ ‎1、过椭圆左焦点的直线垂直于轴且交椭圆于点,若,求该椭圆的离 心率。‎ ‎2、设M为椭圆上一点, ,为椭圆的焦点,如果 ,求椭圆的离心率。‎ 求解离心率范围问题的几种思维策略 求圆锥曲线离心离的取值范围,是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率e的不等式。本文通过一例,给出求解这类问题的几种思维策略。‎ 题 设椭圆的左、右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。‎ 解法1:利用曲线范围 设P(x,y),又知,则 将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得 解法2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知 解法3:利用三角函数有界性 记 解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得 解法6:巧用图形的几何特性 由,知点P在以为直径的圆上。‎ 又点P在椭圆上,因此该圆与椭圆有公共点P 故有 离心率的五种求法 ‎ 椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率.‎ 一、直接求出、,求解 已知圆锥曲线的标准方程或、易求时,可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决。‎ 例1:已知双曲线()的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解:抛物线的准线是,即双曲线的右准线,则,解得,,,故选D 变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为、,则其离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解:由、知 ,∴,又∵椭圆过原点,∴,,∴,,所以离心率.故选C.‎ 变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D ‎ 解:由题设,,则,,因此选C 变式练习3:点P(-3,1)在椭圆()的左准线上,过点且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )‎ A B C D ‎ 解:由题意知,入射光线为,关于的反射光线(对称关系)为,则解得,,则,故选A 二、构造、的齐次式,解出 根据题设条件,借助、、之间的关系,构造、的关系(特别是齐二次式),进而得到关于的一元方程,从而解得离心率。‎ 例2:已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )‎ A.   B.   C.   D. ‎ 解:如图,设的中点为,则的横坐标为,由焦半径公式, ‎ 即,得,解得 ‎(舍去),故选D 变式练习1:设双曲线()的半焦距为,直线过,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解:由已知,直线的方程为,由点到直线的距离公式,得,‎ 又, ∴,两边平方,得,整理得,‎ 得或,又 ,∴,∴,∴,故选A 变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为,两个焦点为、,,则双曲线的离心率为( )‎ A B C D ‎ 解:如图所示,不妨设,,,则 ‎,又,‎ 在中, 由余弦定理,得,‎ 即,∴, ‎ ‎∵,∴,∴,∴,∴,故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3:设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。‎ 解:‎ 四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4:设椭圆()的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离,则椭圆的离心率是 .‎ 解:如图所示,是过且垂直于轴的弦,∵于,∴为到准线的距离,根据椭圆的第二定义, ‎ 变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该椭圆的离心率为( )‎ A B C D ‎ 解:‎ 五、构建关于的不等式,求的取值范围 例5:设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 另:由,,得,,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴,∴,∴,故选D 例6:如图,已知梯形中,,点分有向线段所成的比为,双曲线过、、三点,且以、为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解:以的垂直平分线为轴,直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则轴.因为双曲线经过点、,且以、为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称.依题意,记,,,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高.‎ 由定比分点坐标公式得,,设双曲线的方程为 ‎,则离心率,由点、在双曲线上,所以,将点的坐标代入双曲线方程得①‎ 将点的坐标代入双曲线方程得②‎ 再将①、②得,∴③‎ ‎④‎ 将③式代入④式,整理得,∴,由题设得:‎ ‎,解得,所以双曲线的离心率的取值范围为 配套练习 ‎1. 设双曲线()的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )‎ A B C D ‎ ‎4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为A B C D ‎ ‎5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为( )‎ A B C D ‎ ‎6.如图,和分别是双曲线()的两个焦点,和是以为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线的离心率为( )‎ A B C D ‎ ‎7. 设、分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是( )‎ A   B    C     D ‎ ‎8.设、分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使,且,则双曲线离心率为( )‎ A B C D ‎ ‎9.已知双曲线()的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )‎ A B C D ‎ ‎10.椭圆()的焦点为、,两条准线与轴的交点分别为、,若,则该椭圆离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:‎ ‎1.由可得故选D ‎2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴ ,椭圆的离心率,选D。‎ ‎3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎4.不妨设椭圆方程为(a>b>0),则有,据此求出e=‎ ‎5.不妨设双曲线方程为(a>0,b>0),则有,据此解得e=,选C ‎6.解析:如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,连接AF1,∠AF‎2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|=c,∴ ,双曲线的离心率为,选D。‎ ‎7.由已知P(),所以化简得.‎ ‎8.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中,,∴ 离心率,选B。‎ ‎9.双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴ ≥,离心率e2=,∴ e≥2,选C ‎10.椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,,,则,该椭圆离心率e≥,选D 离心率取值范围求法 求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,构造不等式。‎ 一、利用均值不等式 例1 已知点在双曲线的右支上,双曲线两焦点为,最小值是,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:,由均值定理知:当且仅当时取得最小值,又所以,则。‎ 二、利用平面几何性质 例2 设点P在双曲线的右支上,双曲线两焦点,,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:由双曲线第一定义得:,与已知联立解得:‎ ‎,由三角形性质得:解得:。‎ 点评:求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质,如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。‎ 三、利用数形结合 例3 (同例2)‎ 解析:由例2可知:‎ ‎,点P在双曲线右支上由图1可知:‎ ‎,,即,两式相加得:,解得:。‎ 四、利用双曲线性质 例4 设点P在双曲线的左支上,双曲线两焦点为,已知是点P到左准线的距离和的比例中项,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:由题设得:。由双曲线第二定义得:,由焦半径公式得:,则,即,解得。‎ 点评:求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标,再利用性质:若点在双曲线的左支上则;若点在双曲线的右支上则。‎ 五、利用已知参数的范围 例5 (2000年全国高考题)已知梯形ABCD中,,点E分有向线段所成的比为 ‎,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:如图2建立平面直角坐标系,设双曲线方程为,设其中是梯形的高,由定比分点公式得,把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得,,两式整理得,从而建立函数关系式,由已知得,,解得。‎ 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线与直线:交于P、Q两个不同的点,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:把双曲线方程和直线方程联立消去得:时,直线与双曲线有两个不同的交点则,,即且,所以,即且。‎ 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称,求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:设,弦PQ中点为M,由点差法求得,当点M 在双曲线内部时,整理得:无解;当点M在双曲线外部时,点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内,由线性规划可知:,即,则,所以。‎ 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点,且(为原点),求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析:设,过左焦点的直线方程:,代入双曲线方程得:,由韦达定理得:,‎ ‎,由OP⊥OQ得,即:,解得:,因为,所以,则,所以。‎ 由椭圆离心率求法探讨最大角的应用 例:设椭圆的左、右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。‎ 常见解法有:‎ 解法1:利用曲线范围 设P(x,y),又知,则 将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得 解法2:利用基本不等式 由椭圆定义,有,平方后得 ‎ ‎ 解法3:利用最大角范围 由已知可知椭圆的最大角范围为,所以 又 很显然第三种解法最为简单,但是什么是最大角呢?它又如何使用呢?由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”,如图:即是。当p为椭圆上任意一点时,则当P在位置时,最大。此时 在中,‎ 最大角还可以快速解决一些其他问题:‎ ‎1.为上的一点,则为直角的点有_____个.‎ ‎2.上有4个点使为直角,则的范围是_________.‎ 总结:‎ ‎,‎ 综合应用椭圆的对称性,上面的两个问题就很好解决,第一题中由于,故满足题意的P 点有两个,第二题中由于M点有四个,故最大角应该大于,此时,即 再回到开始时的例题若改为:如果椭圆上存在点P,使,则离心率e的取值范围又是多少?此时最大角范围应该,则,又,所以。‎ 双曲线离心率的取值范围 一、利用双曲线性质 例1设点P在双曲线的左支上,双曲线两焦点为,已知是点P到左准线的距离和的比例中项,求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎2 设点P在双曲线的右支上,双曲线两焦点,,求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎3(同例2)2可知:P在双曲线右支上由图1可知:,,即,两式相加得:,解得:。‎ ‎4 已知点在双曲线的右支上,双曲线两焦点为,最小值是,求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎5(2000年全国高考题)已知梯形ABCD中,,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎2建立平面直角坐标系,设双曲线方程为,设其中是梯形的高,由定比分点公式得,把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得,,两式整理得,从而建立函数关系式,由已知得,,解得。6已知双曲线 与直线:交于P、Q两个不同的点,求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎7已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称,求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M,由点差法求得,当点M在双曲线内部时,整理得:无解;当点M在双曲线外部时,点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内,由线性规划可知:,即,则,所以。‎ ‎8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点,且(为原点),求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得,即:,解得:,因为,所以,则,所以。‎ 二、利用平面几何性质 ‎,由三角形性质得:解得:。‎ 点评:‎ 三、利用数形结合 ‎,点 四、利用均值不等式 例 解析:,‎ 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中,对于离心率和离心率的取值范围的处理,同学们很茫然,没有方向性。题型变化很多,难以驾驭。以下,总结一些处理问题的常规思路,以帮助同学们理解和解决问题。‎ 一、 运用几何图形中线段的几何意义。‎ 基础题目:如图,O为椭圆的中心,F为焦点,A为顶点,准线L交OA于B,P、Q在椭圆上,PD⊥L于D,QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e,则①e=②e=③e=④e= ‎⑤e= D B F OBBB A P Q 评:AQP为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得,①②④。‎ ‎∵|AO|=a,|OF|=c,∴有⑤;∵|AO|=a,|BO|= ∴有③。‎ 题目1:椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e?‎ B A F2‎ F1‎ 思路:A点在椭圆外,找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2 的中点B,连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内,构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。‎ 解:∵|F1F2|=2c |BF1|=c |BF2|=c c+c=2a ∴e= = -1 ‎ 变形1:椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ,点P在椭圆上,使△OPF1 为正三角形,求椭圆离心率? ‎OOOOOOOOOOOOOOOOOOO P F1‎ F2 F2F22‎ 解:连接PF2 ,则|OF2|=|OF1|=|OP|,∠F1PF2 =90°图形如上图,e=-1 ‎ 变形2: 椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ,AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1 ⊥X轴,PF2 ∥AB,求椭圆离心率?B A F2‎ F1‎ P O ‎ 解:∵|PF1|= |F2 F1|=2c |OB|=b |OA|=a PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b= ‎∴a2=5c2 e= 点评:以上题目,构造焦点三角形,通过各边的几何意义及关系,推导有关a与c的 方程式,推导离心率。‎ 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2:椭圆 +=1(a>b >0),A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求e?‎ F B A O ‎ ‎ 解:|AO|=a |OF|=c |BF|=a |AB|= a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 ‎ e2+e-1=0 e= e=(舍去)‎ 变形:椭圆 +=1(a>b >0),e=, A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,求∠ABF?‎ 点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。答案:90°‎ 引申:此类e=的椭圆为优美椭圆。‎ 性质:1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。‎ 总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义,找各边的表示,结合解斜三角形公式,列出有关e的方程式。‎ 题目3:椭圆 +=1(a>b >0),过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点,若|F1A|=2|BF1|,求e?‎ 解:设|BF1|=m 则|AF2|=2a-am |BF2|=2a-m 在△AF1F2 及△BF1F2 中,由余弦定理得:两式相除 =e= 题目4:椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且 ‎∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?‎ 分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。‎ 解:由正弦定理: = = 根据和比性质:‎ = ‎ 变形得: == ==e ‎∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° ‎ e= = 点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知 e= 变形1:椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),P是椭圆上一点,且∠F1PF2 =60°,求e的取值范围?‎ 分析:上题公式直接应用。‎ 解:设∠F1F2P=α,则∠F2F1P=120°-α e===‎ ≥ ∴≤e<1‎ 变形2:已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点,M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若b >0),斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,+与=(3,-1)共线,求e?‎ 法一:设A(x1,y1) ,B(x2,y2)‎ ‎(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 ‎ x1+x2= y1+y2=-2c= ‎ +=(x1+x2,y1+y2)与(3,-1)共线,则 ‎-(x1+x2)=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= ‎ 法二:设AB的中点N,则2=+ ① -② 得:‎ =- ∴1=- (-3) 既a2=3b2 e= 三、 由图形中暗含的不等关系,求离心率的取值范围。‎ 题目6:椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),满足1·2 =0的点M总在椭圆内部,则e的取值范围?‎ F2‎ M F1‎ O 分析:∵1·2 =0∴以F1F2 为直径作圆,M在圆O上,与椭圆没有交点。‎ 解:∴c2c2 ∴0b >0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),P为右准线L上一点,F1P的垂直平分线恰过F2 点,求e的取值范围?‎M P F2‎ F1‎ O 分析:思路1,如图F1P与 F2M 垂直,根据向量垂直,找a、b、c的不等关系。‎ ‎ 思路2:根据图形中的边长之间的不等关系,求e 解法一:F1 (-c,0) F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)‎ 既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) ‎ 2 =-( -c, ) 1·2 =0‎ ‎ ( +c, y0 ) ·( -c, )=0‎ ‎ ( +c)·( -c)+ =0‎ a2-3c2≤0 ∴≤e<1‎ 解法2:|F1F2|=|PF2|=2c ‎ |PF2|≥-c 则2c≥-c 3c≥ ‎3c2≥a2 则≤e<1‎ 总结:对比两种方法,不难看出法一具有代表性,可谓通法,而法二是运用了垂直平分线的几何性质,巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现,对于它的应用方法,值得大家注意。‎ ‎ 离心率为高考的一个重点题目,多以选择题或解答题的第一问形式出现,望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。‎ 近几年高考离心率问题集中练 ‎1.(07全国Ⅰ) 已知双曲线的离心率为,焦点是,,则双曲线方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ 解:已知双曲线的离心率为2,焦点是,,则c=4,a=2,,‎ 双曲线方程为,选A.‎ ‎2.(07天津)设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解:由可得故选D.‎ ‎3.(07江西)设椭圆的离心率为,右焦点为,‎ 方程的两个实根分别为和,则点(  )‎ A.必在圆内 B.必在圆上 C.必在圆外 D.以上三种情形都有可能 解: 由=得a=‎2c,b=,所以,‎ 所以点到圆心(0,0)的距离为:‎ ‎,‎ 所以点P在圆内,选A ‎4.(07全国II) 设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,‎ 使 且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 解:设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,‎ 使∠F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中 ‎,,∴ 离心率,选B.‎ ‎5.(07江苏卷)在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线的方程为,则它的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 解:由,得,所以,设,,‎ 则,,故选(A).‎ ‎6.(07福建)已知正方形,则以为焦点,且过两点的椭圆的离心率为______.‎ 解:设c=1,则.‎ ‎7.(07浙江)已知双曲线的左、右焦点分别为,,‎ 是准线上一点,且,,则双曲线的离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ 解:设准线与x轴交于A点. 在中, ,‎ ‎ 又 ,‎ 化简得 , 故选答案B ‎8.(07海南)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线 的距离为6,则该双曲线的离心率为     .‎ 解:如图,过双曲线的顶点A、焦点F分别 向其渐近线作垂线,垂足分别为B、C,‎ 则: ‎ ‎9.(07安徽) 如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为 圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心 率为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 解:如图,连接AF1,∠AF‎2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|=c,∴ ,‎ 双曲线的离心率为,选D.‎ ‎10.(07湖南) .设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 解:由已知P,所以的中点Q的坐标为,由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,不存在,此时为中点,‎ 综上得选D 另解:根据题意及中垂线性质知,P点满足 其中Q为右准线与x轴的交点, ‎ ‎11.(08福建)又曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )‎ A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ 解:如图,设,,当P在右顶点处 ‎ ‎,‎ ‎∵,∴‎ 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系.‎ ‎12.(08湖南)若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( )‎ A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) ‎ 解或(舍去),故选B.‎ ‎13.(08江西)已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 解:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 又,所以 ‎14.(08全国Ⅱ)设,则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 解:,因为是减函数,所以当时 ‎ ,所以,即. 考点:解析几何与函数的交汇点 ‎15.(08陕西)双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 解:如图在中,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎16.(08天津)设椭圆(,)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )‎ A B   C D ‎ 解析:抛物线的焦点为,椭圆焦点在轴上,排除A、C,由排除D,选B.‎ ‎17.(08浙江)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是( )‎ ‎ A 3 B ‎5 ‎‎ C D ‎ ‎18.(08重庆)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=,则双曲线方程为( )‎ ‎(A)-=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 解:, 所以 ‎19.(08江苏)在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= . ‎ 解析:设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故,解得.‎ ‎20.(08全国Ⅰ)在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 . ‎ 解:设,则 ‎,‎ ‎21、(09全国Ⅰ)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C )‎ A B ‎2 C D ‎ 解:设切点,则切线的斜率为.由题意有又 解得: . ‎ ‎22、(09浙江理)过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是 ( ) 21世纪教育网 ‎ A. B. C. D.‎ 解析:对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B,C,,则有,因.答案:C ‎ ‎23、(09浙江)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴, 直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是( )21世纪教育网 ‎ A. B. C. D. ‎ D:命题意图:对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.‎ ‎:解析:对于椭圆,因为,则 21世纪教育网 ‎ ‎24、(09山东)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ). ‎ A. B. ‎5 ‎‎ C. D.‎ 解析::双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得 有唯一解,所以△=,所以,,故选D.‎ 命题立意::本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.‎ ‎25、(09安徽)下列曲线中离心率为的是 ‎ A B C D ‎ 解析:由得,选B ‎26、(09江西)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦 点,若,则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. 21世纪教育网 ‎ 解析:因为,再由有从而可得,故选B ‎27、(09全国Ⅰ)设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于 A B ‎2 ‎‎ C D ‎ 分析:本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题.‎ 解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即,‎ 故选择C ‎28、(09重庆)已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .‎ 解法1,因为在中,由正弦定理得 则由已知,得,即,且知点P在双曲线的右支上,‎ 设点由焦点半径公式,得则 解得由双曲线的几何性质知,整理得 解得,故椭圆的离心率 解法2: 由解析1知由双曲线的定义知 ‎ ‎,由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ ‎29、(09江苏)如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 . ‎ 解析:考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等.以及直线的方程.‎ 直线的方程为:;‎ 直线的方程为:.二者联立解得:, ‎ 则在椭圆上,‎ ‎, ‎ 解得:‎ ‎30.(2010全国卷2)(12)已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则( )‎ ‎(A)1 (B) (C) (D)2‎ 答案:B ‎31.(2010辽宁理数)设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 命题立意:本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想.‎ 解析:设双曲线方程为,则F(c,0),B(0,b)‎ 直线FB:bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直,所以,即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或(舍去).答案:D ‎32.(2010四川理)椭圆的右焦点,其右准线与轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,‎ 即F点到P点与A点的距离相等 ‎,而|FA|=,|PF|∈[a-c,a+c]‎ 于是∈[a-c,a+c],即ac-c2≤b2≤ac+c2,∴Þ ‎ 又e∈(0,1),故e∈.答案:D.‎ ‎33.(2011福建文)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2,若曲线上存在点P满足|PF1|:|F‎1F2|:‎ ‎|PF2|=4:3:2,则曲线的离心率等于 ( ) ‎ A. 或 B.或‎2 ‎‎ C.或2 D.或 答案:A ‎34.(2011全国Ⅰ理)设直线L过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,L与C交于A ,B两 点,为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 ‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)3‎ 答案:B ‎35.(201重庆文)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点,左焦点在以为直径的圆内,‎ 则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎ A. B. C. D.,‎ 答案:B
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