2017-2018学年广东省惠阳高级中学高二下学期期中考试 数学（文） 试题

2017-2018学年广东省惠阳高级中学高二下学期期中考试 数学（文） 试题

惠高实验学校 ‎2019届高二文科数学中段考试题（2018.5）‎ 参考公式：圆锥的侧面积，圆柱的侧面积,为圆锥的母线 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．‎ ‎1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（　　）‎ A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|﹣1≤x≤2}‎ ‎2.已知复数 (其中是虚数单位)，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知命题，则“为假命题”是“是真命题”的( )‎ A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如右下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ）‎ ‎ A.20π B . 24π C. 28π D. 32π ‎6．某程序框图如下图所示，该程序运行输出的值是( )‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎7．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎8．在区间[-1,2]上随机取一个数x，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知F是双曲线C：﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎11．函数的图象可能为 （ ）‎ ‎12．已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}‎ ‎　二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13．若，则_______‎ ‎14．已知中，，则角等于_______‎ ‎15已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3= _______‎ ‎16．曲线在处的切线方程为_______‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（ 12分）已知等差数列的公差不为0，前项和为，且 ‎（1）求与； （2）设，求证：．‎ ‎18．（ 12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？‎ 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计 ‎（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．‎ 附：2×2列联表随机变量．P（K2≥k）与k对应值表：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.（12分）如图，在三棱柱中，平面，‎ 为正三角形，，为的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（ 12分）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，设，.‎ ‎（1）求证：为定值；‎ ‎（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，‎ 求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．‎ ‎21．（ 12分）已知函数f（x）=lnx﹣（a∈R，a≠0）．‎ ‎（1）当a=﹣1时，讨论f（x）在定义域上的单调性；‎ ‎（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值是，求实数a的值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．‎ ‎　‎ ‎（23）（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.‎ 惠高实验学校2019届高二文科数学中段考试题参考答案 一． 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.D 二． 13． 14． 15． 16．‎ 三．17、【解析】（1）设等差数列的公差为， ‎ 则由可得，得……①　　　　　　　　　　……2分 ‎……②　‎ 联立①②，解得 ……4分 所以 ……6分 ‎（2）由（1）得 ……8分 所以 ……10分 又，，即得证． ……12分 ‎　18．解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下：‎ 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 ‎6‎ ‎9‎ ‎15‎ 非留守儿童 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 总计 ‎24‎ ‎16‎ ‎40‎ ‎…（2分）‎ ‎∴计算，…（4分）‎ ‎∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关．…（6分）‎ ‎（Ⅰ）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；‎ 幸福感弱的孩子3人，记作：b1，b2，b3．…（8分）‎ ‎“抽取2人”包含的基本事件有 ‎（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），‎ ‎（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个； …（9分）‎ 事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有 ‎（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6个； …（10分）‎ 故所求的概率为．…（12分）‎ ‎　19．解：（Ⅰ）证明：因为底面，所以……………2分 因为底面正三角形， 是的中点,所以……………4分 因为，所以平面………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知中，， ‎ 所以 ………………………………9分 所以 ………………………12分 ‎20、解：（Ⅰ）（解法1）当直线AB垂直于x轴时，,‎ 因此(定值) ……………………2分 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为 由得 ‎ 因此有为定值 …………………… 4分 ‎（解法2）设直线AB的方程为 由得 ‎ 因此有为定值 ……………………（4分）‎ ‎(2)设存在直线：满足条件，则 AC的中点，‎ ‎ 因此以AC为直径的圆的半径 E点到直线的距离 ……………………7分 所以所截弦长为 ‎ ……………………10分 当即时，弦长为定值2，这时直线方程为 …………………… 12分 ‎ ‎21．解：（1）当a=﹣1时，，‎ ‎∴‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上递增．（6分）‎ ‎（2）由已知，①当a≥﹣1时，而x≥1，‎ ‎∴x+a≥a+1≥0，‎ ‎∴f（x）在[1，e]上递增，于是，有不成立（8分）‎ ‎②当a≤﹣e时，而x≤e，‎ ‎∴x+a≤e+a≤0，‎ ‎∴f（x）在[1，e]上递减，‎ 于是，有不成立．（10分）‎ ‎③当﹣e＜a＜﹣1时，在区间[1，﹣a]上，a+1≤x+a≤0，则f'（x）≤0，‎ ‎∴f（x）递减，‎ 在区间（﹣a，e]上，0＜x+a≤a+e，则f'（x）＞0，‎ ‎∴f（x）递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴（12分）‎ 综上所述得：实数 ‎　22．解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，‎ 由（t为参数）消去t得：．所以直线l的普通方程为．‎ ‎（2）把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．‎ 设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=5．‎ 所以|PQ|=|t1﹣t2|==．‎ ‎23.解：（1）由题意可得，‎ 当时，，得，无解；‎ 当时，，得，即；‎ 当时，，得，综上，的解集为.‎ ‎（2）因为存在，使得成立，‎ 所以，‎ 又，‎ 由（1）可知，则，‎ 所以，解得.故的取值范围为