2019-2020学年山西大学附中高二上学期期中考试 数学（理） Word版

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山大附中2019～2020学年第一学期期中考试 高二年级数学试题（理）‎ 考试时间：90分钟 满分：100分 ‎ 一．选择题：(本题有12个小题，每小题3分，共36分)‎ ‎1．直线的倾斜角大小是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中, ‎ ‎ ，,则下列叙述正确的是( )‎ ‎ A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 ‎ C．原图形的面积是 D．原图形的面积是 ‎3.已知，，则直线不通过（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎4．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎5．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是( )‎ ‎ A．或 B． ‎ ‎ C． D．或 ‎6．如图，在四面体中，点分别是棱的中点，‎ 截面是正方形，则下列结论错误的为(　　)‎ A. B. 截面 C. D.异面直线与所成的角为45°‎ ‎7．已知点，，若直线过原点，且、两点 到直线的距离相等， 则直线的方程为( )‎ ‎ A． 或 B．或 ‎ C．或 D． 或 ‎8．在直三棱柱中，，，则点到平面 的距离为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．用一块圆心角为、半径为的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．当点到直线的距离最大时，的值为（ ）‎ A.3 B.0 C. D.1‎ ‎11．如图，在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一点,为上任意两点,且的长为定值,则下面四个值中不为定值的是（ ）‎ A．点到平面的距离 ‎ B．直线与平面所成的角 C．三棱锥的体积 ‎ D．二面角的大小 ‎ ‎12．在棱长为 的正方体中， 点分别是棱的中点，过三点作该正方体的截面，则截面多边形的周长为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二．填空题：(本题有5个小题，每小题4分，共20分)‎ ‎13．圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的侧面积为 .‎ ‎14. 正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为　　　　　　． ‎ ‎15.平行六面体中，棱的长均为1， 则对角线的长为________.‎ ‎16．若点为直线上的动点，则的最小值__．‎ ‎17．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，的顶点在棱与棱上运动，有以下四个命题：‎ ‎①平面；‎ ‎②平面；‎ ‎③在底面上的射影图形的面积为定值；‎ ‎④在侧面上的射影图形是三角形．‎ 其中正确的命题序号是___________‎ ‎ ‎ 三．解答题：（本题有4个小题，共44分，请将推理、计算过程写在答题卡上。）‎ ‎18．（本小题满分10分）己知直线与直线交于点．‎ ‎（1）求过点且平行于直线的直线的方程；‎ ‎（2）求过点并且在两坐标轴上截距相等的直线方程.‎ ‎ （注:结果都写成直线方程的一般式）‎ 19. ‎（本小题满分10分）如图，在中，，斜边．可以通过 以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．‎ 动点在斜边上．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的最大角的正切值．‎ ‎20．（本小题满分12分） 在如图所示的空间几何体中，平面平面， 与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）如图1，四棱锥中，底面，面 是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． ‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，‎ 找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由． ‎ 山大附中2019～2020学年第一学期期中考试 高二年级数学试题(理)评分细则 考试时间：90分钟 满分：100分 ‎ 一、选择题（3×12=36分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C C B A A D B A C B D 二、填空题（4×5=20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. 17. ②③‎ 三.解答题（满分44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎18. （本小题满分10分）己知直线与直线交于点．‎ ‎（1）求过点且平行于直线的直线的方程；‎ ‎（2）求过点并且在两坐标轴上截距相等的直线方程.‎ ‎ （注:结果都写成直线方程的一般式）‎ ‎18.解：‎ 联立，解得，得点． ……………1分 ‎（1）设平行于直线的直线的方程为，‎ 把代入可得：解得． ……………3分 ‎∴过点且平行于直线的直线的方程为．‎ ‎ ……………4分 ‎（2）当直线经过原点时，可得方程为：． ……………6分 当直线不过原点时，可设方程为：把代入可得可得 ‎ ……………8分 ‎∴直线的方程为 ……………9分 综上可得：直线的方程为或 ……………10分 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分10分）‎ 如图，在中，，斜边．可以通过 以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的最大角的正切值．‎ ‎19.解：（1）证明：由题意， ∴是二面角的平面角， ……………1分 又二面角是直二面角， ∴， ……………2分 又∵， ∴平面。 ……………4分 （2）解：由（1）知，平面， ∴是与平面所成的角， ……………5分 且， ……………6分 当最小时，最大， ……………7分 这时，，垂足为， ……………9分 ‎ ‎ ‎∴与平面所成的角最时的正切值为. ……………10分 ‎20. （本小题满分12分）‎ 在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分 又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，‎ 那么，根据题意，点落在上，‎ ‎∴，易求得，…………4分 ‎∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 …………6分 ‎（2）解法一：作，垂足为，连接，‎ ‎∵⊥平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∴，‎ ‎∴就是二面角的平面角．…………9分 ‎ ‎ 中，，，．‎ ‎∴．即二面角的余弦值为.………12分 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为 ………………7分 ‎ 设平面的一个法向量为 则，可求得． ………………9分 所以， ………………11分 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，‎ 所以二面角的余弦值为． ………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． ‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由． ‎ ‎21.解：（1）证明：由俯视图可得，，‎ 所以． …………2分 又因为 平面，‎ 所以 ， …………3分 所以 平面． …………4分 ‎（2）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．‎ 证明如下：‎ 因为 平面，，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎ …………5分 所以 ． ‎ 设 ，其中． …………6分 ‎ ‎ 所以，． …………7分 ‎ ‎ 要使与所成角的余弦值为，则有 ， …………9分 所以 ，解得 或， …………11分 均适合． ‎ 故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为． …………12分 ‎ ‎