【数学】新疆阿勒泰地区2019-2020学年高二下学期期末考试试题（A卷）（解析版）

【数学】新疆阿勒泰地区2019-2020学年高二下学期期末考试试题（A卷）（解析版）

新疆阿勒泰地区2019-2020学年 高二下学期期末考试试题（A卷）‎ 一选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1全称命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是( 　)‎ A．∃x0∈R，x＋5x0＝4 B．∀x∈R，x2＋5x≠4‎ C．∃x0∈R，x＋5x0≠4 D．以上都不正确 ‎2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－3 C．3 D．4‎ ‎3已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为 ‎(　　)‎ A．3 B．2 C．1 D. ‎4已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调增区间是(　 )‎ A．(－∞，－1)和(0，＋∞) B．(0，＋∞)‎ C．(－1，0)和(1，＋∞) D．(1，＋∞)‎ ‎5．函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m＝(　　)‎ A．－2 B．0 C．2 D．4‎ ‎6(A1)电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有(　　)‎ A.3种 B.8种 C. 13种 D.16种 ‎6(A2)在极坐标系中，极坐标化为直角坐标为(　　)‎ A．(1,1) B．(－1,1) C．(－1，－1) D．(1，－1)‎ ‎7(A1)若A＝132，则n等于(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎7(A2)将点P的直角坐标(－2,2)化为极径ρ是正值，极角θ∈[0,2π)的极坐标是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8(A1)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ ‎8(A2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角为(　　)‎ A． B． C． D． ‎9(A1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 ‎9(A2)下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎11设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)在R上为增函数的充要条件是(　　)‎ A．b2－4ac≥0 B．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0‎ ‎12已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)‎ 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．‎ ‎14定积分3xdx的值为_______‎ ‎15已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是___________.‎ ‎16给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)(2,1)‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)‎ ‎……‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( 　　)‎ 三解答题，（17题10分，18,19,20,21，22题12分）‎ ‎17命题p：函数y＝cx(c>0，c≠1)是R上的单调减函数；命题q：1－2c<0.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．‎ ‎18(A1)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎(1)只有1名女生；(2)两队长当选；‎ ‎(3)至少有1名队长当选；(4)至多有2名女生当选 ‎18(A2)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．‎ ‎19设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2.‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ ‎20.证明:1已知，，求证：‎ ‎ 2已知，，求证：.‎ ‎21如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.‎ ‎(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎(2)求二面角QBPC的余弦值.‎ ‎22已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距是2.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，|CD|＝，求k的值．‎ 参考答案 一选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1全称命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是(C　　)‎ A．∃x0∈R，x＋5x0＝4 B．∀x∈R，x2＋5x≠4‎ C．∃x0∈R，x＋5x0≠4 D．以上都不正确 C　解析全称命题的否定既要改变量词，又要否定结论，故C项正确．‎ ‎2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　D　)‎ A．－4 B．－3 C．3 D．4‎ 解析：选D　＝＝＋i＝3＋i，所以解得a＝4，故选D.‎ ‎3已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为 ‎(　B　)‎ A．3 B．2 C．1 D. 解：y′＝－，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B.‎ ‎4已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调增区间是(　D　)‎ A．(－∞，－1)和(0，＋∞) B．(0，＋∞)‎ C．(－1，0)和(1，＋∞) D．(1，＋∞)‎ 解：f′(x)＝x－1，令f′(x)＞0，解得x＞1.故选D.‎ ‎5．函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m＝(　C　)‎ A．－2 B．0 C．2 D．4‎ 解：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)，‎ 当－1≤x＜0时，f′(x)＞0；‎ 当0＜x≤1时，f′(x)＜0.‎ 所以当x＝0时，f(x)取得最大值为m，m＝2.故选C.‎ ‎6(A1)电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有(　C　)‎ A.3种 B.8种 C. 13种 D.16种 解：各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有24种可能，其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有24－3＝13(种).故选C.‎ ‎6(A2)在极坐标系中，极坐标化为直角坐标为(　C　)‎ A．(1,1) B．(－1,1) C．(-1，－1) D．(1，－1)‎ 解析：∵ρ＝，θ＝π，∴x＝ρcos θ＝×cos ＝－1，y＝ρsin θ＝×sin ＝－1，∴极坐标化为直角坐标为(－1，－1)．答案：C ‎7(A1)若A＝132，则n等于(B　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ 解析：选B　因为A＝132，‎ 所以n(n－1)＝132，n2－n－132＝0，‎ 所以n＝12或n＝－11(舍去)．‎ ‎7(A2)将点P的直角坐标(－2,2)化为极径ρ是正值，极角θ∈[0,2π)的极坐标是(　B　)‎ A. B. C. D. 解析：ρ＝ ＝4，∵点(－2,2)在第二象限，且tan θ＝－，‎ ‎∴θ＝，∴点P的极坐标为.‎ ‎8(A1)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　C　)‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ 解：含x3项为x(C14·x2)＝15x3，所以含x3项的系数为15，故选C.‎ ‎8(A2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角为(　　C)‎ A． B． C． D． 由直线l的参数方程(t为参数)，得＝＝－，‎ ‎∴直线的斜率k＝－，其倾斜角为，故选C．‎ ‎9(A1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　A　)‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 解析：选A　法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种．故选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．‎ ‎9(A2)下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　A　)‎ A. B. C. D. 解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.答案：A ‎10设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　C　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 解：由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±x，又a＞0，可知a＝2.故选C.‎ ‎11设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)在R上为增函数的充要条件是(　　D)‎ A．b2－4ac≥0 B．b＞0，c＞0‎ C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0‎ 解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵a＞0，∴3a＞0，‎ 又∵f(x)在R上为增函数，∴f′(x)≥0恒成立，‎ ‎∴Δ＝(2b)2－4×3ac≤0，即b2－3ac≤0.故选D.‎ ‎12已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　A　)‎ 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．‎ 答案：若b∉B，则a∈A ‎14定积分3xdx的值为_______‎ 解：3xdx＝x2|＝.‎ ‎15已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是____________.‎ 解：由椭圆C的右焦点为F(1，0)知c＝1，且焦点在x轴上，又e＝＝，∴a＝2，a2＝4，b2＝a2－c2＝3，椭圆C的方程为＋＝1.故填＋＝1.‎ ‎16给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)(2,1)‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)‎ ‎……‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(m,n-m+1　　)‎ 三解答题，（17题10分，18,19,20,21，22题12分）‎ ‎17命题p：函数y＝cx(c>0，c≠1)是R上的单调减函数；命题q：1－2c<0.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．‎ 解：∵p∨q是真命题，p∧q是假命题，‎ ‎∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．,,,,,,,,,,,2分 若p真q假，则有解得01. ,,,,,,,,,,,,8分 综上可知，满足条件的c的取值范围是∪(1，＋∞),10分 ‎18(A1)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎(1)只有1名女生；‎ ‎(2)两队长当选；‎ ‎(3)至少有1名队长当选；‎ ‎(4)至多有2名女生当选；‎ 解：(1)1名女生，4名男生，故共有C·C＝350(种)….3分 ‎(2)将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C·C＝165(种)…….6分 ‎(3)至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：C·C＋C·C＝825(种)……9分 或采用间接法：C－C＝825(种).‎ ‎(4)至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种).,,,,,12分 ‎18(A2)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．‎ 解析　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，，，，，，，，，，3分 C2：＋＝1，。。。。。。。。。6分 C1为圆心是(－4，3)，半径为1的圆．‎ C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是16短轴长是6的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4，4)，Q(8cosθ，3sinθ)，‎ 故M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，8分 C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离 d＝|4cosθ－3sinθ－13|，。。。。。。。。10分 从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值.。。。。。。。。12分 ‎19设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2.‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ 解：(1)f′(x)＝2a(x－5)＋，...2分 依题意，f′(1)＝6－8a＝2，得a＝.。。。。。。。。4分 ‎(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，‎ f′(x)＝x－5＋＝.。。。。。。。。6分 令f′(x)＝0，得x＝2或3. 。。。。。。。。7分 x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，2)‎ ‎2‎ ‎(2，3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故f(x)的单调增区间为(0，2)和(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)．。。。。。。。。10分 f(x)的极大值f(2)＝＋6ln2，极小值f(3)＝2＋6ln3.，， 12分 ‎20.证明:1已知，，求证：‎ ‎ 2已知，，求证：.‎ ‎21如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.‎ ‎(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎(2)求二面角QBPC的余弦值.‎ 解：以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.‎ ‎(1)证明：依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0). ‎ 则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0). …………………2‎ 所以·＝0，·＝0.‎ 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. ………..4‎ 又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ…………………………………….6‎ ‎(2)依题意有B(1，0，1)，＝(1，0，0)，＝(－1，2，－1).‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面PBC的一个法向量，则 即 因此可取n＝(0，－1，－2). …………………………8‎ 设m＝(x2，y2，z2)是平面PBQ的一个法向量，则即 可取m＝(1，1，1). …………………………………10‎ 所以cos〈m，n〉＝－.‎ 由图可知，二面角QBPC为钝角，…………………….11‎ 故二面角QBPC的余弦值为－……………………………………………………12‎ ‎22已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距是2.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，|CD|＝，求k的值．‎ 解析：(1)由题意得2c＝2，所以c2＝2， ‎ 又＝，所以a2＝3，b2＝1， ‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1. ….4‎ ‎(2)设C(x1，y1)、D(x2，y2)，将y＝kx＋2带入＋y2＝1，‎ 整理得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，‎ 所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，①‎ ………………………7‎ 又|CD|＝，‎ y1－y2＝k(x1－x2)，‎ 所以＝，…………………………………9‎ 又(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－， ……10‎ 代入上式，整理得7k4－12k2－27＝0，即(7k2＋9)(k2－3)＝0，‎ 解得k2＝－(舍去)或k2＝3，即k＝±，‎ 经验证，k＝±能使①成立，故k＝±……………………….12‎