【数学】2020届一轮复习人教版排列与组合学案

【数学】2020届一轮复习人教版排列与组合学案

第2节　排列与组合 考试要求　1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.‎ ‎(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.‎ ‎3.排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.‎ ‎(2)C＝＝ ‎＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1‎ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！. ‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C ‎[微点提醒]‎ ‎1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.‎ ‎2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)‎ ‎(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)‎ ‎(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)‎ ‎(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)‎ ‎(5)kC＝nC.(　　)‎ 解析　(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若C＝C，则x＝m或n－m，故(3)错.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2.(选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)‎ A.12 B.24 C.64 D.81‎ 解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24.‎ 答案　B ‎3.(选修2－3P26知识改编)计算C＋C＋C＋C的值为________(用数字作答).‎ 解析　原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.‎ 答案　210‎ ‎4.(2019·济宁质检)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ 解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.‎ 答案　D ‎5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答).‎ 解析　法一　可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.‎ 法二　从6人中任选3人，不同的选法有C＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.‎ 答案　16‎ ‎6.(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).‎ 解析　若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260.‎ 答案　1 260‎ 考点一　排列问题 ‎【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.‎ ‎(1)选5人排成一排；‎ ‎(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎(3)全体排成一排，女生必须站在一起；‎ ‎(4)全体排成一排，男生互不相邻；‎ ‎(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；‎ ‎(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.‎ 解　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).‎ ‎(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A 种方法，共有A·A＝5 040(种).‎ ‎(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).‎ ‎(4)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).‎ ‎(5)法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).‎ 法二　(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).‎ ‎(6)法一　(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有A＋AAA＝3 720.‎ 法二　(间接法)7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3 720(种).‎ 规律方法　排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.‎ ‎【训练1】 (2019·天津和平区二模)‎ ‎7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为(　　)‎ A.120 B.240 C.360 D.480‎ 解析　第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法.‎ 答案　C 考点二　组合问题 ‎【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种).‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种).‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种).‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ 规律方法　组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.‎ ‎【训练2】 (1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)‎ A.14 B.24 C.28 D.48‎ ‎(2)(2019·杭州二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 解析　(1)法一　4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为 C·C＋C·C＝2×4＋1×6＝14.‎ 法二　从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为C－C＝15－1＝14.‎ ‎(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66(种).‎ 答案　(1)A　(2)D 考点三　分组、分配问题 ‎【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.‎ ‎(2)(2019·西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)‎ A.80种 B.90种 C.120种 D.150种 ‎(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有(　　)‎ A.24种 B.30种 C.48种 D.60种 解析　(1)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法.‎ ‎(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有·A＝90种分派方法；‎ 另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有A＝60种分派方法.‎ 所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).‎ ‎(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.‎ 答案　(1)90　 (2)D　 (3)C 规律方法　1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数.‎ ‎2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.‎ ‎3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ 解析　(1)先把4项工作分为2，1，1共3组，有＝6种分法，再将3组对应3个志愿者，有A＝6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6×6＝36种.‎ ‎(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).‎ 答案　(1)D　(2)60‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 ‎(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.‎ ‎2.排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.‎ ‎2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：35分钟)‎ 一、选择题 ‎1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)‎ A.8 B.24 C.48 D.120‎ 解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种).‎ 答案　C ‎2.不等式A<6×A的解集为(　　)‎ A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}‎ 解析　<6×，‎ ‎∴x2－19x＋84<0，解得7

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