高考数学专题复习:复数代数形式的四则运算

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高考数学专题复习:复数代数形式的四则运算

‎3.2复数代数形式的四则运算 一、选择题 ‎1、若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是(  )‎ A.E      B.F C.G D.H ‎2、对任意复数z=x+yi (x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是(  )‎ A.|z-|=2y B.z2=x2+y2‎ C.|z-|≥2x D.|z|≤|x|+|y|‎ ‎3、下列式子中正确的是(  )‎ A.3i>2i B.|2+3i|>|1-4i|‎ C.|2-i|>2·i4 D.i2>-i ‎4、设a,b为实数,若复数=1+i,则(  )‎ A.a=,b= B.a=3,b=1‎ C.a=,b= D.a=1,b=3‎ ‎5、已知i2=-1,则i(1-i)等于(  )‎ A.-i B.+i C.--i D.-+i ‎6、复数2等于(  )‎ A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 二、填空题 ‎7、设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z=______.‎ ‎8、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为________.‎ ‎9、若复数z=1-2i (i为虚数单位),则z·+z=__________.‎ 三、解答题 ‎10、(1)证明|z|=1⇔z=;‎ ‎(2)已知复数z满足z·+3z=5+3i,求复数z.‎ ‎11、已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0 (a∈R)有实数根b.‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.‎ ‎12、已知复平面上的▱ABCD中,对应的复数为6+8i,对应的复数为-4+6i,求向量对应的复数.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D [由题图知复数z=3+i,‎ ‎∴====2-i.‎ ‎∴表示复数的点为H.]‎ ‎2、D [可对选项逐个检查,A项,|z-|≥2y,故A错,B项,z2=x2-y2+2xyi,故B错,C项,|z-|≥2y,故C错,D项正确.]‎ ‎3、C [在A、D中都含有虚数.因虚数不能比较大小,故A、D错;在B中:‎ ‎|2+3i|=,|1-4i|==,故B错;在C中,|2-i|==,2·i4=2,故C正确.]‎ ‎4、A ‎5、B [i(1-i)=i+,选B.]‎ ‎6、A [2=2‎ ‎=(1-2i)2=-3-4i.]‎ 二、填空题 ‎7、+i 解析 设z=x+yi,则z+|z|=+x+yi=2+i,‎ ‎∴,∴,∴z=+i.‎ ‎8、2‎ 解析 考查复数的运算、模的性质.z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等,z的模为2.‎ ‎9、6-2i 解析 z·+z=(1-2i)(1+2i)+1-2i=6-2i.‎ 三、解答题 ‎10、(1)证明 设z=x+yi (x,y∈R),‎ 则|z|=1⇔x2+y2=1,‎ z=⇔z·=1⇔(x+yi)(x-yi)=1‎ ‎⇔x2+y2=1,‎ ‎∴|z|=1⇔z=.‎ ‎(2)解 设z=x+yi (x,y∈R),则=x-yi,‎ 由题意,得(x+yi)(x-yi)+3(x+yi)‎ ‎=(x2+y2+3x)+3yi=5+3i,‎ ‎∴∴或.‎ ‎∴z=1+i或z=-4+i.‎ ‎11、解 (1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0 (a∈R)的实根,‎ ‎∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,‎ 故 解得a=b=3.‎ ‎(2)设z=x+yi (x,y∈R),‎ 由|-3-3i|=2|z|,‎ 得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),‎ 即(x+1)2+(y-1)2=8.‎ ‎∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆.‎ 如图,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.‎ ‎∵|OO1|=,半径r=2,‎ ‎∴当z=1-i时,|z|min=.‎ ‎12、解 设▱ABCD的对角线AC与BD相交于点P,由复数加减法的几何意义,得 ‎=-=-=(-)‎ ‎=(-6-8i+4-6i)=-1-7i,‎ 所以向量对应的复数为-1-7i.‎
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