河北省衡水市桃城区武邑中学2019-2020学年高二10月月考数学试题

河北省衡水市桃城区武邑中学2019-2020学年高二10月月考数学试题

河北武邑中学2019-2020学年高二上学期第一次月考 数学试卷 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ ‎1.猜想数列的一个通项公式为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】A项，令，则，故A项错误；‎ B项，由于数列的前几项可以变形为，被开方数构成了以2为首项，公差为3的等差数列，故可知其通项公式是，故B项正确；‎ C项，令，则，故C项错误；‎ D项，令，则，故D项错误，‎ 故选B. ‎ 考点：数列的通项公式 点评：解决的关键是对于已知中各个项的变换规律，那么可知数字构成了等差数列，属于基础题。‎ ‎2.下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.‎ 考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.‎ ‎3.已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点是，则双曲线的方程为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的渐近线的方程可得，再利用双曲线的焦点得及即可得出．‎ ‎【详解】解：双曲线的一条渐近线方程是y=，‎ ‎，双曲线的一个焦点是，，‎ 联立，解得，此双曲线方程为。故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是双曲线的简单几何性质，熟练掌握双曲线的图象和性质是解题的关键．‎ ‎4.已知椭圆E中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点 重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.‎ 考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎16 ‎C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式直接求得结果.‎ ‎【详解】（当且仅当，即时取等号）‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值，属于基础题.‎ ‎6.已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】若，，则直线与平面相交，或直线在平面内，或直线与平面平行，所以选项A不正确；‎ 若，，则直线与平面相交，或直线在平面内，所以选项B不正确;‎ 若，，则或与相交，所以选项D不正确,‎ 故选C．‎ 考点：空间直线与平面的位置关系．‎ ‎7.直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与AC1所成的角为（ ）‎ A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长到，使得，则为平行四边形，可得出∠就是异面直线与所成的角，再判断出的形状，可求出的大小.‎ ‎【详解】延长到，使得，则为平行四边形，‎ ‎∠就是异面直线与所成的角，‎ 又，则三角形为等边三角形，，‎ 因此，异面直线与所成的角为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，一般利用平移直线的方法，构造出异面直线所成的角，并选择合适的三角形进行计算，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8.直线恒经过定点 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线系方程求解即可．‎ ‎【详解】直线mx+y﹣m+2=0，化为：m（x﹣1）+y+2=0，可知直线经过（1，﹣2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线系经过定点，考查计算能力．‎ ‎9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差数列的前n项和公式和等差中项公式化简即得解.‎ ‎【详解】在等差数列中，由，‎ 得 ‎,故选A.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和，考查等差中项公式的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，‎2m=p+q时，则，是的等差中项.‎ ‎10.若点到直线的距离为1，则的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得，即，‎ 解得或．选D． ‎ ‎11.在三棱锥中, ,,.的中点为M, 的余弦值为,若都在同一球面上,则该球的表面积为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 底面外接圆圆心为，作平面于点，可知在上，作，设，，利用已知的长度关系和余弦值可求得和中的各边长，利用勾股定理构造方程可求得球的半径，代入球的表面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】作平面于点 ‎ 在中垂线上，即在上 ‎，为中点 为外接圆圆心 作，其中为三棱锥外接球球心 作，垂足为，连接 ‎， ‎ ‎ ‎ 设，‎ ‎，即，解得：‎ 该球的表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据球的性质确定球心的大致位置，通过构造直角三角形，利用勾股定理构造方程求得半径.‎ ‎12.若直线与圆有两个不同的交点，则点圆 的位置关系是（ ）‎ A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与圆相交，转化为圆心到直线的距离小于半径，可得出，从而可判断出点与圆的位置关系.‎ ‎【详解】直线与圆相交，所以，圆心到直线的距离，所以，所以点在圆外，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查点与圆位置关系的判断，同时也考查了直线与圆的位置关系的判断，解题时要熟悉这两类问题的转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13.若数列的通项满足,那么是这个数列的第__________项.‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令通项公式等于，构造出方程求得结果.‎ ‎【详解】由可知：‎ 令，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的通项公式确定项数的问题，属于基础题.‎ ‎14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设球半径为r,‎ 则,‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故答案为.‎ 考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.‎ 点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据三视图得出该几何体是一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱而成，然后将圆柱的体积减去正四棱柱的体积即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，直观图为一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱，且圆柱的底面半径为，高为，圆柱的体积为，正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱柱的体积为，因此，该几何体的体积为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，利用三视图确定几何体的组合方式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎16.数列满足，，写出数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ 三、解答题：（第17题10分,其余各题12分，解答应写出文字、符号 说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设是等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先可以根据成等比数列以及列出算式并通过计算得出公差，然后根据等差数列的通项公式即可得出结果；‎ ‎(2)本题可结合(1)中结论以及等差数列的前和公式即可得出结果。‎ ‎【详解】(1)因为，且成等比例，‎ 所以，解得.‎ 所以.‎ ‎(2)因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式以及等差数列的前和公式，等差数列的通项公式为，等差数列的前和公式为，考查计算能力，是中档题。‎ ‎18.如图,在四棱锥中,底面是矩形, 底面,是的中点.已知,,.‎ 求:（1）.三角形的面积;‎ ‎（2）.异面直线与所成的角的大小. ‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据、可证得平面，根据线面垂直性质可知，则，求得代入即可得到结果；（2）取中点，连接，可知即为所求角；求解出三边长，可知为等腰直角三角形，从而得到所求角.‎ ‎【详解】（1）底面，底面 ‎ 四边形为矩形 ‎ 又平面， 平面 平面 ‎ ‎ ‎ ‎（2）取中点，连接，则 即为异面直线与所成角 ‎，，‎ ‎，即为等腰直角三角形且 ‎ 异面直线与所成角的大小是 ‎【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的应用、异面直线所成角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质的应用；求解异面直线所成角的关键是能够根据线线平行关系将异面直线成角转化为相交直线所成角的求解问题.‎ ‎19.某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量 （吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．‎ ‎【答案】年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低为万元．‎ ‎【解析】‎ 分析：利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可．‎ 详解：‎ 设每吨的平均成本（万元/），‎ 则，‎ 当且仅当，（）的每吨平均成本最低，且最低成本为万元．‎ 点睛：本题考查函数的模型的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20.已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意： ,‎ 化简得，因为数列的公差不为零，，‎ 故数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 故数列的前项和．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）若平面，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，三棱锥的体积是18，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析 ；（2） ；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BC⊥PD，BD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PBD．（2）连结AC，交BD于O，连结OE，由PA∥平面BDE，得OE∥PA，由此能求出 ．（3）B到平面PCD的距离d＝‎ ‎3，设PD＝a，则 ＝ ，由三棱锥P﹣BDE的体积是18，求出PD ‎＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，由VP﹣ABD＝VD﹣PAB，能求出D点到平面PAB的距离．‎ ‎【详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，‎ ‎∴BC⊥PD，∵AD＝BD＝6，AB＝6，BC＝AD，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，‎ ‎∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．‎ ‎（2）连结AC交BD于O，连结OE，则O是AC的中点，‎ ‎∵PA∥平面BDE，∴OE∥PA，∴E是PC的中点，∴＝．‎ ‎（3）B到平面PCD的距离d＝＝3，设PD＝a，则＝＝，∵三棱锥P﹣BDE的体积是18，∴VP﹣BDE＝VB﹣PDE＝＝＝18，解得PD＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6，‎ ‎∴PA＝PB＝＝6，‎ ‎∴＝18，‎ ‎＝＝18，‎ ‎∵VP﹣ABD＝VD﹣PAB，∴，‎ ‎∴h＝＝＝2．∴D点到平面PAB的距离为2．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A，B，C三点圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】（1）不会；（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在；（2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.‎ 试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设,,则满足，所以.‎ 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.‎ 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.‎ 联立又，可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径 故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：‎ ‎（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；‎ ‎(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．‎ ‎ ‎