【数学】2020届北京一轮复习通用版11-2离散型随机变量及其分布列、均值与方差作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版11-2离散型随机变量及其分布列、均值与方差作业

‎11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.离散型随机变量及其分布列 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性 ‎2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用 ‎2017北京,17‎ ‎2013北京,16‎ 离散型随机变量的均值与方差的求解 古典概型 ‎★★★‎ ‎2.离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题 分析解读　　1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.‎ ‎2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.‎ ‎3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为13分,属中高档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　离散型随机变量及其分布列 ‎1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率;‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎5‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)=C‎8‎‎3‎C‎10‎‎3‎=‎7‎‎15‎,P(X=1)=C‎2‎‎1‎C‎8‎‎2‎C‎10‎‎3‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎2‎‎2‎C‎8‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎1‎‎15‎.‎ 综上知,X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎7‎‎15‎ ‎7‎‎15‎ ‎1‎‎15‎ 故E(X)=0×‎7‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎1‎‎15‎=‎3‎‎5‎(个).‎ ‎2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):‎ 除夕18时PM2.5浓度 初一2时PM2.5浓度 北京 ‎75‎ ‎647‎ 天津 ‎66‎ ‎400‎ 石家庄 ‎89‎ ‎375‎ 廊坊 ‎102‎ ‎399‎ 太原 ‎46‎ ‎115‎ 上海 ‎16‎ ‎17‎ 南京 ‎35‎ ‎44‎ 杭州 ‎131‎ ‎39‎ ‎(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;‎ ‎(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为‎75+66+89+102+46+16+35+131‎‎8‎=70微克/立方米.‎ ‎(2)8个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,‎ 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,‎ 则P(X=0)=C‎4‎‎0‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎1‎‎14‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎1‎C‎4‎‎2‎C‎8‎‎3‎=‎6‎‎14‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎2‎C‎4‎‎1‎C‎8‎‎3‎=‎6‎‎14‎,‎ P(X=3)=C‎4‎‎3‎C‎4‎‎0‎C‎8‎‎3‎=‎1‎‎14‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎14‎ ‎6‎‎14‎ ‎6‎‎14‎ ‎1‎‎14‎ X的数学期望EX=0×‎1‎‎14‎+1×‎6‎‎14‎+2×‎6‎‎14‎+3×‎1‎‎14‎=‎21‎‎14‎=‎3‎‎2‎.‎ 考点二　离散型随机变量的均值与方差 ‎3.已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎3‎‎5‎ ‎3‎‎10‎ ‎1‎‎10‎ 则X的数学期望E(X)=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎　　　　B.2　　　　C.‎5‎‎2‎　　　　D.3‎ 答案　A　‎ ‎4.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=‎1‎‎5‎,E(ξ)=1,则D(ξ)=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎5‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　离散型随机变量分布列的求法 ‎1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.‎ 区间 ‎[75,80)‎ ‎[80,85)‎ ‎[85,90)‎ ‎[90,95)‎ ‎[95,100]‎ 人数 ‎36‎ ‎114‎ ‎244‎ ‎156‎ ‎50‎ ‎(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;‎ ‎(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则x‎20‎=‎244+156+50‎‎600‎,解得x=15.‎ 所以其中成绩为优秀的学生人数为15.‎ ‎(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.‎ P(X=0)=C‎5‎‎2‎C‎20‎‎2‎=‎1‎‎19‎,P(X=1)=C‎5‎‎1‎C‎15‎‎1‎C‎20‎‎2‎=‎15‎‎38‎,P(X=2)=C‎15‎‎2‎C‎20‎‎2‎=‎21‎‎38‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎19‎ ‎15‎‎38‎ ‎21‎‎38‎ 所以数学期望E(X)=0×‎1‎‎19‎+1×‎15‎‎38‎+2×‎21‎‎38‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之 一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,‎ 则P(A)=‎5‎‎6‎×‎4‎‎5‎×‎3‎‎4‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.‎ P(X=1)=‎1‎‎6‎,P(X=2)=‎5‎‎6‎×‎1‎‎5‎=‎1‎‎6‎,P(X=3)=‎5‎‎6‎×‎4‎‎5‎×1=‎2‎‎3‎,‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ 所以E(X)=1×‎1‎‎6‎+2×‎1‎‎6‎+3×‎2‎‎3‎=‎5‎‎2‎.‎ 方法2　求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法 ‎3.(2018浙江,7,4分)设0D(ξ2)　　　　C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(00;‎ 当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.‎ 所以f(p)的最大值点为p0=0.1.‎ ‎(2)由(1)知,p=0.1,‎ ‎(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.‎ ‎(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.‎ C组　教师专用题组 考点一　离散型随机变量及其分布列 ‎1.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为‎1‎‎2‎,且各件产品是不是优质品相互独立.‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)‎ ‎=‎4‎‎16‎×‎1‎‎16‎+‎1‎‎16‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎64‎.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-‎4‎‎16‎-‎1‎‎16‎=‎11‎‎16‎,‎ P(X=500)=‎1‎‎16‎,‎ P(X=800)=‎1‎‎4‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎11‎‎16‎ ‎1‎‎16‎ ‎1‎‎4‎ EX=400×‎11‎‎16‎+500×‎1‎‎16‎+800×‎1‎‎4‎=506.25.‎ 思路分析　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件全是优质品为事件B1,第二次取出的1件是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2)且A1B1与A2B2互斥,进而求解.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望. ‎ ‎2.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(1)将T表示为X的函数;‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.‎ 解析　(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,‎ 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.‎ 所以T=‎‎800X-39 000,100≤X<130,‎‎65 000,　　　　130≤X≤150.‎ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.‎ 思路分析　(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.‎ ‎(2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.‎ ‎(3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.‎ 易错警示　(1)中容易忽略100≤X≤500而导致出错.‎ ‎3.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是‎1‎‎2‎外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是‎2‎‎3‎.假设各局比赛结果相互独立.‎ ‎(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;‎ ‎(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,‎ 由题意,各局比赛结果相互独立,‎ 故P(A1)=‎2‎‎3‎‎3‎=‎8‎‎27‎,‎ P(A2)=C‎3‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎‎1-‎‎2‎‎3‎×‎2‎‎3‎=‎8‎‎27‎,‎ P(A3)=C‎4‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎4‎‎27‎.‎ 所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为‎8‎‎27‎,以3∶2胜利的概率为‎4‎‎27‎.‎ ‎(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,‎ 由题意,各局比赛结果相互独立,所以 P(A4)=C‎4‎‎2‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎2‎×‎2‎‎3‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎2‎=‎4‎‎27‎.‎ 由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=‎16‎‎27‎.‎ 又P(X=1)=P(A3)=‎4‎‎27‎,P(X=2)=P(A4)=‎4‎‎27‎,‎ P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=‎3‎‎27‎,‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎16‎‎27‎ ‎4‎‎27‎ ‎4‎‎27‎ ‎3‎‎27‎ 所以EX=0×‎16‎‎27‎+1×‎4‎‎27‎+2×‎4‎‎27‎+3×‎3‎‎27‎=‎7‎‎9‎.‎ ‎4.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=C‎2‎‎1‎C‎3‎‎2‎=‎2‎‎3‎,P(B)=C‎4‎‎2‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎∵事件A与B相互独立,‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(AB)=P(A)·P(B)=P(A)·[1-P(B)]‎ ‎=‎2‎‎3‎×‎2‎‎5‎=‎4‎‎15‎.或P(AB)=C‎2‎‎1‎‎·‎C‎4‎‎3‎C‎3‎‎2‎‎·‎C‎5‎‎3‎=‎‎4‎‎15‎.‎ ‎(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=C‎4‎‎2‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎5‎,‎ ‎∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=P(AB　C)=‎1‎‎3‎×‎2‎‎5‎×‎2‎‎5‎=‎4‎‎75‎,‎ P(X=1)=P(AB C)+P(ABC)+P(ABC)‎ ‎=‎2‎‎3‎×‎2‎‎5‎×‎2‎‎5‎+‎1‎‎3‎×‎3‎‎5‎×‎2‎‎5‎+‎1‎‎3‎×‎2‎‎5‎×‎3‎‎5‎=‎20‎‎75‎,‎ P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)‎ ‎=‎2‎‎3‎×‎3‎‎5‎×‎2‎‎5‎+‎2‎‎3‎×‎2‎‎5‎×‎3‎‎5‎+‎1‎‎3‎×‎3‎‎5‎×‎3‎‎5‎=‎33‎‎75‎,‎ P(X=3)=P(ABC)=‎2‎‎3‎×‎3‎‎5‎×‎3‎‎5‎=‎18‎‎75‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎4‎‎75‎ ‎20‎‎75‎ ‎33‎‎75‎ ‎18‎‎75‎ ‎∴X的数学期望EX=0×‎4‎‎75‎+1×‎20‎‎75‎+2×‎33‎‎75‎+3×‎18‎‎75‎=‎140‎‎75‎=‎28‎‎15‎.‎ 考点二　离散型随机变量的均值与方差 ‎1.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.‎ ‎(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);‎ ‎(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).‎ 则(　　)‎ A.p1>p2,E(ξ1)E(ξ2)　　　　C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)　　　　D.p10.5,求正整数n的最小值;‎ ‎(3)由图判断,从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大?(结论不要求证明)‎ 解析　(1)X的分布列为 X ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ P ‎1‎‎3‎ ‎2‎‎15‎ ‎1‎‎5‎ ‎1‎‎15‎ ‎2‎‎15‎ ‎1‎‎15‎ ‎1‎‎15‎ ‎(2)由(1)可得X的数学期望为 E(X)=8×‎1‎‎3‎+9×‎2‎‎15‎+10×‎1‎‎5‎+11×‎1‎‎15‎+12×‎2‎‎15‎+13×‎1‎‎15‎+14×‎1‎‎15‎=10,‎ 所以m=10.‎ 因为P(10-1≤X≤10+1)=‎6‎‎15‎=‎2‎‎5‎<0.5,‎ P(10-2≤X≤10+2)=‎5+2+3+1+2‎‎15‎=‎13‎‎15‎>0.5,‎ 所以nmin=2.‎ ‎(3)第10日或第11日.‎ ‎2.(2019届北京八中10月月考,16)已知某共享单车的收费标准是:每车使用不超过1小时(包含1小时)是免费的,超过1小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算,例如:骑行2.5小时收费为2元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次,设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为‎1‎‎4‎,‎1‎‎2‎;1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为‎1‎‎2‎,‎1‎‎4‎;两人用车时间都不会超过3小时.‎ ‎(1)求甲、乙两人所付的车费相同的概率;‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 解析　(1)由题意可知甲、乙两人用车时间超过2小时的概率分别为‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎,‎ 故甲、乙两人所付的车费相同的概率P=‎1‎‎4‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎5‎‎16‎.‎ ‎(2)随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4.‎ P(ξ=0)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎8‎,‎ P(ξ=1)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎5‎‎16‎,‎ P(ξ=2)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎5‎‎16‎,‎ P(ξ=3)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎3‎‎16‎,‎ P(ξ=4)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎16‎.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎8‎ ‎5‎‎16‎ ‎5‎‎16‎ ‎3‎‎16‎ ‎1‎‎16‎ 数学期望Eξ=‎1‎‎8‎×0+‎5‎‎16‎×1+‎5‎‎16‎×2+‎3‎‎16‎×3+‎1‎‎16‎×4=‎7‎‎4‎.‎ 失分警示　本题要注意书写规范,严格按照步骤来写,尤其是在求数学期望时,‎1‎‎8‎×0也不能省略,否则会扣分.‎ ‎3.(2017北京朝阳一模,16)某单位共有员工45人,其中男员工27人,女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.‎ ‎(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少;‎ ‎(2)考核前,评估小组从抽取的5名员工中,随机选出3人进行访谈.设选出的3人中男员工的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(3)考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩(单位:分)分别为78,85,89,92,96;结合答辩情况,他们的考核成绩(单位:分)分别为95,88,102,106,99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s‎1‎‎2‎,s‎2‎‎2‎,试比较s‎1‎‎2‎与s‎2‎‎2‎的大小.(只需写出结论)‎ 解析　(1)抽取的5人中男员工的人数为‎5‎‎45‎×27=3,‎ 女员工的人数为‎5‎‎45‎×18=2.‎ ‎(2)由(1)可知,抽取的5名员工中,男员工有3人,女员工有2人.‎ 所以,随机变量X的所有可能取值为1,2,3.‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎·‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎10‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎·‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎5‎,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎·‎C‎2‎‎0‎C‎5‎‎3‎=‎1‎‎10‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎3‎‎10‎ ‎3‎‎5‎ ‎1‎‎10‎ 数学期望EX=1×‎3‎‎10‎+2×‎3‎‎5‎+3×‎1‎‎10‎=‎18‎‎10‎=‎9‎‎5‎.‎ ‎(3)s‎1‎‎2‎=s‎2‎‎2‎.‎ ‎4.(2018北京海淀期末,16)据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下:(数值越小,速度越快,单位是MIPS)‎ 测试1‎ 测试2‎ 测试3‎ 测试4‎ 测试5‎ 测试6‎ 测试7‎ 测试8‎ 测试9‎ 测试10‎ 测试11‎ 测试12‎ 品牌A ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎14‎ 品牌B ‎2‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎(1)从品牌A的12次测试结果中随机抽取一次,求测试结果小于7的概率;‎ ‎(2)从12次测试结果中随机抽取三次,记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数,求X的分布列和数学期望EX.‎ 解析　(1)在品牌A的12次测试结果中,测试结果小于7的测试有1、2、5、6、9、10、11,共7次,‎ 设测试结果小于7为事件A,则P(A)=‎7‎‎12‎.‎ ‎(2)在12次测试结果中,品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的测试有1、3、4、5、7、8,共6次.‎ 随机变量X所有可能的取值为0,1,2,3,‎ P(X=0)=C‎6‎‎3‎C‎6‎‎0‎C‎12‎‎3‎=‎1‎‎11‎,‎ P(X=1)=C‎6‎‎2‎C‎6‎‎1‎C‎12‎‎3‎=‎9‎‎22‎,‎ P(X=2)=C‎6‎‎1‎C‎6‎‎2‎C‎12‎‎3‎=‎9‎‎22‎,‎ P(X=3)=C‎6‎‎0‎C‎6‎‎3‎C‎12‎‎3‎=‎1‎‎11‎.‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎11‎ ‎9‎‎22‎ ‎9‎‎22‎ ‎1‎‎11‎ EX=‎1‎‎11‎×0+‎9‎‎22‎×1+‎9‎‎22‎×2+‎1‎‎11‎×3=‎3‎‎2‎.‎ ‎5.(2018北京西城一模,16)某企业2017年招聘员工,其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下:‎ 岗位 男性应 聘人数 男性录 用人数 男性录 用比例 女性应 聘人数 女性录 用人数 女性录 用比例 A ‎269‎ ‎167‎ ‎62%‎ ‎40‎ ‎24‎ ‎60%‎ B ‎40‎ ‎12‎ ‎30%‎ ‎202‎ ‎62‎ ‎31%‎ C ‎177‎ ‎57‎ ‎32%‎ ‎184‎ ‎59‎ ‎32%‎ D ‎44‎ ‎26‎ ‎59%‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎58%‎ E ‎3‎ ‎2‎ ‎67%‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎67%‎ 总计 ‎533‎ ‎264‎ ‎50%‎ ‎467‎ ‎169‎ ‎36%‎ ‎(1)从表格中所有应聘人员中随机选择1人,试估计此人被录用的概率;‎ ‎(2)从应聘E岗位的6人中随机选择2人,记X为这2人中被录用的人数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(3)表格中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性的录用比例都接近(二者之差的绝对值不大于5%),但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某四种岗位,则男性、女性的总录用比例也接近,请写出这四种岗位.(只需写出结论)‎ 解析　(1)因为题表中所有应聘人员的总数为533+467=1 000,‎ 被该企业录用的人数为264+169=433,‎ 所以从题表中所有应聘人员中随机选择1人,估计此人被录用的概率为‎433‎‎1 000‎=0.433.‎ ‎(2)X可能的取值为0,1,2.‎ 因为应聘E岗位的6人中,被录用的有4人,未被录用的有2人,‎ 所以P(X=0)=C‎2‎‎2‎C‎6‎‎2‎=‎1‎‎15‎,‎ P(X=1)=C‎2‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎6‎‎2‎=‎8‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎2‎C‎6‎‎2‎=‎2‎‎5‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎15‎ ‎8‎‎15‎ ‎2‎‎5‎ EX=0×‎1‎‎15‎+1×‎8‎‎15‎+2×‎2‎‎5‎=‎4‎‎3‎.‎ ‎(3)这四种岗位是B、C、D、E.‎ ‎6.(2019届北师大附中10月月考,17)某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系,统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价,如下表:‎ 周一 周二 周三 周四 周五 开盘价 ‎164‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎172‎ a 收盘价 ‎164‎ ‎164‎ ‎169‎ ‎173‎ ‎170‎ ‎(1)已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同,求a的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,从这5天中随机选取3天,其中开盘价比当日收盘价低的天数记为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ;‎ ‎(3)在下一周的第一个工作日,收盘价为何值时,这6天收盘价的方差最小?(只需写出结论)‎ 解析　(1)由于收盘价的中位数为169,且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同,所以a=169.‎ ‎(2)由于只有周四和周五的开盘价比当日收盘价低,所以ξ所有可能的取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)=C‎3‎‎3‎C‎5‎‎3‎=‎1‎‎10‎,‎ P(ξ=1)=C‎3‎‎2‎‎·‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎5‎,‎ P(ξ=2)=C‎3‎‎1‎‎·‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎10‎.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎10‎ ‎3‎‎5‎ ‎3‎‎10‎ 故ξ的数学期望Eξ=0×‎1‎‎10‎+1×‎3‎‎5‎+2×‎3‎‎10‎=‎6‎‎5‎.‎ ‎(3)168.(当下周的第一个工作日的收盘价与上周五个工作日收盘价的平均数相同时,这6天收盘价的方差最小)‎ ‎7.(2018北京门头沟一模,16)2022年第24届冬奥会将在北京举行.为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地.在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100名运动员,他们的身份分布如下:‎ 身份 小学生 初中生 高中生 大学生 职工 合计 人数 ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎100‎ 注:将上表中的频率视为概率.‎ ‎(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中是小学生的概率;‎ ‎(2)若X表示来“腾越”参加冰雪运动的3人中大学生的人数,求X的分布列及期望EX.‎ 解析　(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中是小学生为事件B,‎ 则P(B)=‎2‎‎5‎.‎ ‎(2)X可取0,1,2,3,‎ P(X=0)=C‎3‎‎0‎‎1‎‎5‎‎0‎‎4‎‎5‎‎3‎=‎64‎‎125‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎1‎‎5‎‎1‎‎4‎‎5‎‎2‎=‎48‎‎125‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎1‎‎5‎‎2‎‎4‎‎5‎‎1‎=‎12‎‎125‎,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎1‎‎5‎‎3‎‎4‎‎5‎‎0‎=‎1‎‎125‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎64‎‎125‎ ‎48‎‎125‎ ‎12‎‎125‎ ‎1‎‎125‎ 则EX=0×‎64‎‎125‎+1×‎48‎‎125‎+2×‎12‎‎125‎+3×‎1‎‎125‎=‎3‎‎5‎.‎