2017-2018学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（理）试题（Word版）

福州市八县（市）协作校2017—2018学年第一学期期末联考 高二理科 数学试卷 ‎【完卷时间：120分钟 满分：150分】‎ 命题：福清融城中学 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. ‎ ‎1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是无理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎2．已知集合A＝，B＝，则A∩B等于(　　)‎ A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞)‎ ‎3. 如图，边长为的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. “”是“方程”表示椭圆的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A.（-，0） B．（-4，0） C．（0，-） D．（0，-2）‎ ‎6．设向量，若，则实数的值为（ ）‎ A．0 B‎.4 C.5 D.6 ‎ ‎7. 已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积为(　　)‎ A．9π B．10π C．11π D．12π ‎ ‎9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎10. 已知双曲线:的左焦点为，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线M与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900，点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ ‎ A．2 B． C．1 D．‎ 第Ⅱ卷 共90分 二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.‎ ‎13．若实数x, y满足，则的最小值为______．；‎ ‎14. 已知命题：是真命题，则实数的取值范围为 ‎ ‎ ‎ ‎15. 若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C轨迹方程为 ‎ ‎ ‎16. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列给出四个命题：‎ ‎(1)四边形ABC1D1的面积为 (2)的夹角为60°；(3)；‎ 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过演算步骤.‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 设命题实数满足，；‎ 命题实数满足 ‎ ‎（1）若，为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，角A，B，C的对边分别为 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若的面积．‎ ‎19．(本小题满分12分）‎ 已知双曲线的的离心率为，则 ‎（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程。‎ ‎（Ⅱ）当时，已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．‎ ‎（1）求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎（2）求锐二面角A－A1D－B的余弦值；‎ ‎22．（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为,上顶点为,若成等比数列，椭圆上的点到焦点的最短距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，且，求的最小值．‎ 福州市八县（市）协作校2017—2018学年第一学期期末联考 高二理科数学参考答案 一、选择题（每题5分，满分60分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B C ‎ A ‎ B ‎ D B ‎ A D A A C D 二、填空题（每小题5分, 共20分）‎ ‎13．-15 14. （-2，2） 15. 16. (1) (3) (4)‎ 三、解答题：‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 解：由题意得，当为真命题时：当时，；‎ 当为真命题时：． ---------3分 ‎（I）若，有，‎ 则当为真命题，有，得． ------ 6分 ‎（II）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，‎ 则， 得．---------10分 ‎18．(本小题满分12分)‎ 解：⑴因为，所以．…………2分 所以．………………3分 所以………………6分 ‎⑵因为，所以． ………………………8分 又因为，所以． …………………10分 所以 …………………12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由题意，得，‎ ‎ ∴，即 ‎∴所求双曲线的渐进线方程 ………………5分 ‎（Ⅱ） 由（1）得当时, 双曲线的方程为.……6分 设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，‎ ‎ 由得（判别式）,‎ ‎ ∴,…………10分 ‎∵点在圆上,∴，∴.……12分 ‎（本题学生用“点差法”也给分）‎ ‎20 (本小题满分12分) ‎ 解：(1)设等差数列的首项为,公差为，依题意可得 ‎.......................................3分 ‎.......................................6分 (2) 由（1）可得 ‎............................10分 ‎...................................12分 ‎21(本小题满分12分)‎ 法一：(1)取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ 平面．BD----------------2分 连结，在正方形中，分别为的中点，‎ ‎，则BD⊥面AOB1 -------------------------4分 ‎．在正方形中，， ‎ 平面．----------------------6分 法二：解：(1)取BC中点O，连结AO．‎ ‎∵△ABC为正三角 形，∴AO⊥BC．‎ ‎∵在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，平面ABC⊥平面 BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．......2分 取B‎1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，‎ A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， ‎ ‎∴．.....4分 ‎∴‎ ‎∴，∴AB1平面A1BD．..............6分 ‎(2)设平面A1AD的法向量为．‎ ‎＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．‎ ‎∵，‎ ‎∴................8分 令z＝1得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．‎ 由(1)知AB1⊥平面A1BD，为平面A1BD的法向量．.............10分 ‎．‎ ‎∴锐二面角A－A1D－B的大小的余弦值为．..............12分 ‎22(本小题满分12分)‎ 解：（1）易知，，‎ 而又，得，‎ 故椭圆的标准方程为 ........................5分 ‎（2）由（1）知，∵，故，设，‎ ‎∴，直线的斜率为，‎ 当时，直线的斜率为，直线的方程为；‎ 当时，直线的方程为，也符合方程．.....................8分 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得 消去，得：，，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ ‎∴的最小值为． ........................12分