数学卷·2018届河南省三门峡市灵宝一中高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河南省三门峡市灵宝一中高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设函数y=f（x）在x=x0处可导，且f′（x0）=1，则C（x）=的值等于（　　）‎ A．1 B． C．2 D．﹣2‎ ‎2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎3．曲线y=axcosx+16在x=处的切线与直线y=x+1平行，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎4．函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0‎ ‎6．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（　　）‎ A．10种 B．20种 C．30种 D．40种 ‎7．已知复数z=，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎9．已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）=2，对任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜﹣1，或x＞1} C．{x|x＜0} D．{x|x＜﹣1，或x≥1}‎ ‎10．设a=（sinx+cosx）dx，且二项式（a﹣）n的所有二项式系数之和为64，则其展开式中含x2项的系数是（　　）‎ A．﹣192 B．192 C．﹣6 D．6‎ ‎11．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=（sin）f（sin），b=（ln2）f（ln2），c=2f（log），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b ‎12．已知（1﹣2x）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=（　　）‎ A．1008 B．2016 C．4032 D．0‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（4）=　　．‎ ‎14．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有　　种．（用数字作答）‎ ‎15．如图，阴影部分的面积是　　．‎ ‎16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：‎ 下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）在[0，2]是减函数；‎ ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知复数z=‎ ‎（1）若z•（m+2i）为纯虚数，求实数m的值；‎ ‎（2）若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1的实部；‎ ‎（3）若复数z2=a+bi（a，b∈R），且z2+az+b=1﹣i，求|z2|‎ ‎18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．‎ ‎19．（1）已知数列{an}的各项均为正数，，计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明．‎ ‎（2）求证： ++…＞（n≥2，n∈N*）‎ ‎20．（1）已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：．‎ 请运用类比思想，对于空间中的四面体A﹣BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．‎ ‎（2）已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x（2﹣y），y（2﹣z），z（2﹣x）不都大于1．‎ ‎21．已知函数f（x）=，a∈R．‎ ‎（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调区间和最小值；‎ ‎（2）若函数F（x）=在[1，e]上的最小值为，求a的值；‎ ‎（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设函数y=f（x）在x=x0处可导，且f′（x0）=1，则C（x）=的值等于（　　）‎ A．1 B． C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由已知对分式变形，利用导数的定义解答．‎ ‎【解答】解： C（x）===2f'（x0）'=2；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【考点】演绎推理的基本方法．‎ ‎【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ ‎【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，‎ ‎∴大前提错误，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．曲线y=axcosx+16在x=处的切线与直线y=x+1平行，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．‎ ‎【解答】解：y=axcosx+16的导数为y′=a（cosx﹣xsinx），‎ 可得在x=处的切线斜率为a（cos﹣sin）=﹣a，‎ 由切线与直线y=x+1平行，‎ 可得﹣a=1，‎ 解得a=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，‎ ‎∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），‎ 函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，‎ 又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，‎ 只有A适合，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0‎ ‎【考点】分析法和综合法．‎ ‎【分析】由题意可得，要证＜a，经过分析，只要证（a﹣c）（a﹣b）＞0，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由a＞b＞c，且a+b+c=0可得 b=﹣a﹣c，a＞0，c＜0．‎ 要证＜a，只要证 （﹣a﹣c）2﹣ac＜3a2，‎ 即证 a2﹣ac+a2﹣c2＞0，即证a（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）＞0，‎ 即证 a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＞0，即证（a﹣c）（a﹣b）＞0．‎ 故求证“＜a”索的因应是 （a﹣c）（a﹣b）＞0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（　　）‎ A．10种 B．20种 C．30种 D．40种 ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】由题意，不考虑甲乙两名同学在同一景点，有=36种，甲乙两名同学在同一景点，有=36种，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，不考虑甲乙两名同学在同一景点，有=36种，甲乙两名同学在同一景点，有=6种，‎ 所以这四名同学的安排情况有36﹣6=30种．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知复数z=，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】根据虚数单位i的性质：当n∈N时，i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，计算分子，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数，再求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：根据虚数单位i的性质：当n∈N时，i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，‎ i+i2+i3+i4+…+i2017=（i+i2+i3+i4）+…+（i2013+i2014+i2015+i2016）+i2017‎ ‎=0+…0+i=i，‎ z==，‎ ‎∴复数z的共轭复数=．‎ 则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，‎ 故选C ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）=2，对任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜﹣1，或x＞1} C．{x|x＜0} D．{x|x＜﹣1，或x≥1}‎ ‎【考点】函数单调性的性质；导数的运算．‎ ‎【分析】令g（x）=exf（x）﹣ex﹣1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．‎ ‎【解答】解：令g（x）=exf（x）﹣ex﹣1，则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，‎ 又f（0）=2，∴g（0）=e0f（0）﹣e0﹣1=2﹣1﹣1=0，‎ 故当x＞0时，g（x）＞g（0），即exf（x）﹣ex﹣1＞0，整理得exf（x）＞ex+1，‎ ‎∴exf（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．设a=（sinx+cosx）dx，且二项式（a﹣）n的所有二项式系数之和为64，则其展开式中含x2项的系数是（　　）‎ A．﹣192 B．192 C．﹣6 D．6‎ ‎【考点】二项式系数的性质；定积分．‎ ‎【分析】先求定积分得出a的值，二项式（a﹣）n的所有二项式系数之和为64，求出n的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．‎ ‎【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=（sinx﹣cosx）=2，‎ ‎∵二项式（a﹣）n的所有二项式系数之和为64，‎ ‎∴n=6，‎ ‎∴二项式（2﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）r•x3﹣r．‎ 令3﹣r=2，解得 r=1，故展开式中含x2项的系数是﹣6×25=﹣192，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=（sin）f（sin），b=（ln2）f（ln2），c=2f（log），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．‎ ‎【解答】解∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，‎ ‎∴y=f（x）关于y轴对称，‎ ‎∴函数y=xf（x）为奇函数．‎ ‎∵[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），‎ ‎∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＜0，函数y=xf（x）单调递减，‎ 当x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴a＞b＞c，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知（1﹣2x）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=（　　）‎ A．1008 B．2016 C．4032 D．0‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】对所给的等式两边分别对x求导数，再令x=1，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵（1﹣2x）2016=（2x﹣1）2016=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2015（x﹣2）2015+a2016（x﹣2）2016（x∈R），‎ 两边分别对x求导可得2016•2•（2x﹣1）2015=a1 +2a2（x﹣2）+…+2015a2015（x﹣2）2014+2016a2016（x﹣2）2015‎ ‎（x∈R），‎ 再令x=1，可得4032=a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015 ﹣2016a2016 ，‎ 即 a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…+2015a2015﹣2016a2016=4032，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（4）=　6　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】f′（2）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（2）的值，再求出f′（4）‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），‎ ‎∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），‎ ‎∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），‎ 解得f′（2）=，‎ ‎∴f′（4）=8+（﹣1）=8﹣2=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有　18　种．（用数字作答）‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．‎ ‎【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，‎ 若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，‎ 根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，‎ 故答案为：18．‎ ‎　‎ ‎15．如图，阴影部分的面积是　　．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．‎ ‎【解答】解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2‎ 解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）‎ 抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）‎ 设阴影部分面积为s，则 ‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以阴影部分的面积为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：‎ 下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）在[0，2]是减函数；‎ ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是　②⑤　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：‎ 由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数．‎ ‎②为真命题，因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；‎ ‎③为假命题，当t=5时，也满足x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2；‎ ‎④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．‎ ‎⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 综上得：真命题只有②⑤．‎ 故答案为：②⑤‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知复数z=‎ ‎（1）若z•（m+2i）为纯虚数，求实数m的值；‎ ‎（2）若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1的实部；‎ ‎（3）若复数z2=a+bi（a，b∈R），且z2+az+b=1﹣i，求|z2|‎ ‎【考点】复数求模；复数的基本概念．‎ ‎【分析】复数z==1+i．‎ ‎（1）利用复数的运算法则与纯虚数的定义即可得出．‎ ‎（2）复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，可得其实部互为相反数，而虚部相等．‎ ‎（3）利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z======1+i．‎ ‎（1）z•（m+2i）=（1+i）（m+2i）=m﹣2+（2+m）i为纯虚数，∴m﹣2=0，2+m≠0，‎ 解得m=2．‎ ‎（2）∵复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，‎ ‎∴z1=﹣1+i，‎ ‎∴z1的实部为﹣1．‎ ‎（3）复数z2=a+bi（a，b∈R），且z2+az+b=1﹣i，‎ ‎∴2i+a（1+i）+b=1﹣i，‎ 即a+b+（2+a）i=1﹣i，‎ ‎∴a+b=1，2+a=﹣1．‎ 解得a=﹣3，b=4．‎ ‎∴|z2|==5．‎ ‎　‎ ‎18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．‎ ‎（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．‎ 再由C（0）=8，得k=40，‎ 因此．‎ 而建造费用为C1（x）=6x，‎ 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎（Ⅱ），令f'（x）=0，即．‎ 解得x=5，（舍去）．‎ 当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．‎ 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．‎ ‎　‎ ‎19．（1）已知数列{an}的各项均为正数，，计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明．‎ ‎（2）求证： ++…＞（n≥2，n∈N*）‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．‎ ‎（2）检验n=2时不等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．‎ ‎【解答】（1）证明：∵；‎ ‎；‎ ‎．‎ 由此推测：．（*）‎ 下面用数学归纳法证明（*）式．‎ ‎（ i）当n=1时，左边=右边=2，（*）式成立．‎ ‎（ ii）假设当n=k（k∈N+）时（*）式成立，即．‎ 那么当n=k+1时，，‎ 由归纳假设可得 ‎．‎ ‎∴当n=k+1时，（*）式也成立．‎ 根据（i），（ii），可知（*）式对一切正整数n∈N+都成立．‎ ‎（2）证明：①当n=2时，左边=+++＞不等式成立．‎ ‎②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即．‎ 则当n=k+1时，，‎ ‎=，‎ ‎，‎ ‎＞+（3×﹣）=‎ 由①②可得++…＞（n≥2，n∈N*）成立．‎ ‎　‎ ‎20．（1）已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则 ‎，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：．‎ 请运用类比思想，对于空间中的四面体A﹣BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．‎ ‎（2）已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x（2﹣y），y（2﹣z），z（2﹣x）不都大于1．‎ ‎【考点】反证法与放缩法；类比推理．‎ ‎【分析】（1）先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明．‎ ‎（2）利用反证法，即可证明．‎ ‎【解答】（1）解：在四面体A﹣BCD中任取一点O，连接AO，BO，CO，DO并延长交对面于E，F，G，H点，‎ 则+++=1．‎ 证明：在四面体O﹣BCD与A﹣BCD中， =‎ 同理有： =， =， =，‎ ‎∴+++=+++=1．‎ ‎（2）证明：方法一：假设x（2﹣y）＞1且y（2﹣z）＞1，且z（2﹣x）＞1均成立，‎ 则三式相乘，得xyz（2﹣x）（2﹣y）（2﹣z）＞1 ①‎ 由于0＜x＜2，∴‎ 同理：0＜y（2﹣y）≤1，且0＜z（2﹣z）≤1．∴三式相乘，得0＜xyz（2﹣x）（2﹣y）（2﹣z）≤1 ②‎ ‎②与 ①矛盾，故假设不成立．∴x（2﹣y），y（2﹣z），z（2﹣x）不都大于1．‎ 方法二：假设x（2﹣y）＞1且y（2﹣z）＞1，且z（2﹣x）＞1均成立．‎ ‎∴③‎ 而 ④‎ ‎④与 ③矛盾，故假设不成立．‎ ‎∴原题设结论成立．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=，a∈R．‎ ‎（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）当x＞0时，f'（x）=2（ex﹣x+a）从而f'（1）=0，解出即可，（2）由题意得到方程组，求出a的表达式，设（x＞0），再通过求导求出函数h（x）的最小值，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）当x＞0时，‎ f（x）=2ex﹣（x﹣a）2+3，‎ f′（x）=2（ex﹣x+a），‎ ‎∵y=f（x）在x=1处取得极值，‎ ‎∴f′（1）=0，即2（e﹣1+a）=0‎ 解得：a=1﹣e，经验证满足题意，‎ ‎∴a=1﹣e． ‎ ‎（2）y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，‎ 即存在y=2ex﹣（x﹣a）2+3图象上一点（x0，y0）（x0＞0），‎ 使得（﹣x0，﹣y0）在y=x2+3ax+a2﹣3的图象上 则有，‎ ‎∴‎ 化简得：，即关于x0的方程在（0，+∞）内有解 ‎ 设（x＞0），则 ‎∵x＞0‎ ‎∴当x＞1时，h'（x）＞0；当0＜x＜1时，h'（x）＜0‎ 即h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数 ‎∴h（x）≥h（1）=2e，且x→+∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞‎ 即h（x）值域为[2e，+∞），‎ ‎∴a≥2e时，方程在（0，+∞）内有解 ‎∴a≥2e时，y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调区间和最小值；‎ ‎（2）若函数F（x）=在[1，e]上的最小值为，求a的值；‎ ‎（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求导，f′（x）≥0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）≤0，求得函数的单调递减区间，由函数单调性可知最小值为f（）；‎ ‎（2）由F（x）=，求导，分类，根据函数的单调性，即可求得函数的最小值，求得a的值；‎ ‎（3）由题意可知对任意x＞1恒成立．构造辅助函数，求导，令φ（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），根据函数单调性方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一的实根x0，求得h（x）单调性，求得h（x）的最小值，即k＜g（x）min=x0，即可求得k的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）求导f′（x）=lnx+1（x＞0），‎ 令f′（x）≥0，即lnx≥﹣1=lne﹣1，解得：，‎ 同理，令f′（x）≤0，可得，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为，单调减区间为，‎ 最小值为f（）=•（﹣1）=﹣；‎ ‎（2），求导，‎ Ⅰ．当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，，‎ 所以，舍去．‎ Ⅱ．当a＜0时，F（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，‎ ‎①若a∈（﹣1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，，‎ 所以，舍去，‎ ‎②若a∈[﹣e，﹣1]，F（x）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，‎ 所以，解得．‎ ‎③若a∈（﹣∞，﹣e），F（x）在[1，e]上单调递减，，‎ 所以，舍去，‎ 综上所述，．‎ ‎（3）由题意得：k（x﹣1）＜x+xlnx对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立．‎ 令，则，令φ（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，‎ ‎∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∵方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一的实根x0，且x0∈（3，4），‎ 当1＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，‎ 当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0．‎ ‎∴函数h（x）在（1，x0）上递减，在（x0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴，‎ ‎∴k＜g（x）min=x0，‎ 又∵x0∈（3，4），‎ 故整数k的最大值为3．‎ ‎　‎ ‎2017年5月17日 ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎