2019-2020学年山东省枣庄市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省枣庄市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省枣庄市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由交集的定义可得,故选C.‎ ‎【考点】集合交集 ‎2．( )‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正切的诱导公式和特殊角的正切值求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了正切的诱导公式和特殊角的正切值，属于基础题.‎ ‎3．设，则a，b，c的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用对数函数、指数函数的单调性，利用中间值法进行比较即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，因此可得 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了对数式、指数式之间的大小比较问题，考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了中间值比较法，属于基础题.‎ ‎4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B．（1，2） C．（3，4） D．（4，5）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的零点存在定理得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 函数,是单调递减的函数，,根据零点存在定理得到在区间（3，4）上存在零点.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.‎ ‎5．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）‎ A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)，选C项．‎ ‎6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为,角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 通过分析可知当时，点  到  轴距离为，于是可以排除答案A，D；‎ 再根据当时，可知点  在  轴上此时点  到  轴距离  为 0 ，排除答案 B 故选C.‎ ‎7．已知，则“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据充分性和必要性的定义，结合基本不等式可以选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎（当且仅当分别取等号），所以，而当成立时，则必有同时成立，此时显然成立，因此由能推出 成立；‎ 当成立时，‎ ‎（当且仅当取等号），而当成立时，则必有成立，此时不一定能推出同时成立，因此由 不一定能推出 成立.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了充分不必要条件的判断，考查了基本不等式的应用，注意在运用基本不等式时要注意到等号成立的条件.‎ ‎8．已知函数，则函数的所有零点之和等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】问题可以转化为，利用二倍角的正弦、余弦公式和两角和的正弦公式、同角的三角函数关系式化简方程，最后求出所有零点之和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以或或，因为，所以有 ‎，‎ 所以函数的所有零点之和为：.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了零点概念，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了特殊角的正弦值，考查了数学运算能力.‎ 二、多选题 ‎9．最小正周期为的函数有( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】利用降幂公式，三角函数的图象特征，最小正周期公式进行判断即可选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 选项A：，它的最小正周期为：，不符合题意；‎ 选项B：函数的图象是把的图象中横轴下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而的最小正周期是，所以的最小正周期为，符合题意；‎ 选项C：函数的图象与的图象一样，而的最小正周期为，故的最小正周期也是，符合题意；‎ 选项D：的最小正周期为：，不符合题意.‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型、余弦型函数、正切型函数的最小正周期公式，考查了图象的变换，考查了数学运算能力.‎ ‎10．设函数，则( )‎ A．是偶函数 B．在单调递减 C．最大值为2 D．其图像关于直线对称 ‎【答案】ABD ‎【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 选项A：，它是偶函数，本说法正确；‎ 选项B：，所以，因此是单调递减，本说法正确；‎ 选项C：的最大值为，本说法不正确；‎ 选项D：当时，，因此当时，函数有最小值，因此函数图象关于对称，本说法正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】‎ 本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题.‎ ‎11．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的有( )‎ A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．函数有三个零点 ‎【答案】BC ‎【解析】先判断函数的奇偶性，再利用绝对值性质化简函数的解析式，判断函数的值域，然后再根据零点的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为全体实数，，所以是奇函数，图象关于原点对称，.‎ 选项A：由上分析函数关于原点对称，若函数关于对称，原点关于对称的点是，而，显然不在该图象上，故函数不关于对称，本选项是错误的；‎ 选项B：当时，，显然函数单调递增，此时；‎ 当时，，显然函数单调递增，此时，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若，则是正确的，本选项是正确的；‎ 选项C：由选项B的分析可以知道本选项是正确的；‎ 选项D：，只有一个零点，故本选项是错误的.‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性、值域、零点、对称性、单调性，属于基础题.‎ ‎12．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的了函数下列函数中了函数有( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】AC ‎【解析】根据所给的倒负变换的定义逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 选项A：，所以函数符合题意；‎ 选项B：，所以函数不符合题意；‎ 选项C：当时，，所以有，‎ 当时，，‎ 当时，，所以有，所以函数符合题意；‎ 选项D：，所以不符合题意.‎ 故选：AC ‎【点睛】‎ 考查了新定义题，考查了数学运算能力.‎ 三、填空题 ‎13．若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式，属于基础题.‎ ‎14．若关于的不等式的解集为，则实数____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得：1为的根，所以，‎ 从而 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎15．若函数的部分图像如图所示，则________；________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据最高点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出的值，再把最高点的坐标代入函数解析式中，最后求出的值.‎ ‎【详解】‎ 通过函数的图象可知函数最高点的坐标为：，与它隔一个零点的零点是，设函数的最小正周期为，则，而 ‎，把代入函数解析式中，得 ‎.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用图象求正弦型函数解析式，考查了数形结合能力.‎ ‎16．已知,若，，则的取值范围是 ‎_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本道题结合分段函数,绘制图像,结合图像可知要使得,关键使得做一条直线平行于x轴，能使得与有两个交点，计算a,b的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合分段函数,绘制图像,得到:‎ 结合图像可知要使得,关键使得做一条直线平行于x轴，能使得与有两个交点,则,,得到,故范围为 ‎【点睛】‎ 本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，属于较难的题。‎ 四、解答题 ‎17．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．‎ Ⅰ求的值；‎ Ⅱ求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，‎ ‎．‎ Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．‎ 由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎18．已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)设，若不等式在x∈上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）函数的对称轴方程为，开口向上，则在上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得的值.‎ ‎(2)由题意只需，则只需要求出在上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）开口方向向上，且对称轴方程为 ，‎ 在上单调递增 ‎.‎ ‎ 解得且.‎ ‎（2）在上恒成立 所以只需.‎ 有（1）知 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）,（2）有最大值为,有最小值为 ‎【解析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性求出单调递增区间即可；‎ ‎（2）根据的范围求出的范围，利用正弦函数的单调性求出最大值和电小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ 由，‎ 得.‎ 所以，的单调递增区间是.‎ ‎（2），‎ 由，得，‎ 当，即时，有最大值；‎ 当，即时，有最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的单调性，考查了数学运算能力.‎ ‎20．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米时是车流密度单位：辆千米的函数当桥上的车流密度达到220辆千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为100千米时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ Ⅰ当时，求函数的表达式；‎ Ⅱ当车流密度x为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆时可以达到最大？并求出最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．‎ ‎【解析】利用待定系数法求出当时的函数解析式得出结论；‎ 分段求出函数的最大值即可得出的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，设，则，‎ 解得：，‎ ‎．‎ 由得．‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当时，的最大值为．‎ 车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算与应用，属于中档题．‎ ‎21．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．‎ Ⅰ求和的值；‎ Ⅱ若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.‎ 试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，‎ 再根据图象关于直线对称，可得 结合，可得 ‎（2）‎ 再根据 ‎【考点】三角函数的周期与初相，三角恒等变换.‎ ‎22．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求实数值；‎ ‎（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；‎ ‎（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，‎ 即，故恒成立，‎ 因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，‎ 而，所以．‎ ‎（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下 设任意，且，则 ‎，因为，所以，且；‎ 所以，即，即；‎ 故函数在上递增．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，‎ 即对任意的恒成立，‎ 则，得到，故，‎ 所以不存在．‎ ‎【点睛】‎ 本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.‎