2019届二轮复习(理)第九章平面解析几何第53讲课件(31张)(全国通用)

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2019届二轮复习(理)第九章平面解析几何第53讲课件(31张)(全国通用)

第 53 讲 两条直线的位置关系 考试要求  1. 根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 (B 级要求 ) ; 2. 用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 (B 级要求 ) ; 3. 两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离 (B 级要求 ). 1.( 2018· 徐州模拟 ) 过点 (1 , 0) 且与直线 x - 2 y - 2 = 0 平行的直线方程是 ________. 诊 断 自 测 所以所求直线方程为 x - 2 y - 1 = 0. 答案   x - 2 y - 1 = 0 2.( 教材改编 ) 已知点 ( a , 2)( a >0) 到直线 l : x - y + 3 = 0 的距离为 1 ,则 a = ________. 3.( 教材改编 ) 若直线 (3 a + 2) x + (1 - 4 a ) y + 8 = 0 与 (5 a - 2) x + ( a + 4) y - 7 = 0 垂直,则 a = ________. 解析  由两直线垂直的充要条件得 (3 a + 2)(5 a - 2) + (1 - 4 a )( a + 4) = 0 ,解得 a = 0 或 a = 1. 答案   0 或 1 4. ( 必修 2P94 习题 18 改编 ) 已知直线 l : y = 3 x + 3 ,那么: (1) 直线 l 关于点 M (3 , 2) 对称的直线的方程为 __________; (2) l 关于直线 x + y + 2 = 0 对称的直线的方程为 ________. 答案  (1) y = 3 x - 17   (2) x - 3 y - 1 = 0 1. 两条直线的位置关系 (1) 两条直线平行与垂直 ① 两条直线平行: ( ⅰ ) 对于两条不重合的直线 l 1 、 l 2 ,若其斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则有 l 1 ∥ l 2 ⇔ ________ . ( ⅱ ) 当直线 l 1 、 l 2 不重合且斜率都不存在时, l 1 ∥ l 2 . ② 两条直线垂直: ( ⅰ ) 如果两条直线 l 1 、 l 2 的斜率存在,设为 k 1 、 k 2 ,则有 l 1 ⊥ l 2 ⇔ ________ ___ . ( ⅱ ) 当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时, l 1 ⊥ l 2 . 知 识 梳 理 k 1 = k 2 k 1 · k 2 =- 1 2. 几种距离 考点一 两条直线的平行与垂直 【例 1 】 (1)( 2018· 苏北四市联考 ) 已知 a , b 为正数,且直线 ax + by - 6 = 0 与直线 2 x + ( b - 3) y + 5 = 0 互相平行,则 2 a + 3 b 的最小值为 ________. (2) ( 一题多解 ) 已知直线 l 1 : ax + 2 y + 6 = 0 和直线 l 2 : x + ( a - 1) y + a 2 - 1 = 0. ① 试判断 l 1 与 l 2 能否平行; ② 当 l 1 ⊥ l 2 时,求 a 的值 . 答案  25 (2) 解  ① 法一  当 a = 1 时, l 1 : x + 2 y + 6 = 0 , l 2 : x = 0 , l 1 不平行于 l 2 ; 当 a = 0 时, l 1 : y =- 3 , l 2 : x - y - 1 = 0 , l 1 不平行于 l 2 ; 综上可知,当 a =- 1 时, l 1 ∥ l 2 . 法二  由 A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0 , 得 a ( a - 1) - 1×2 = 0 , 由 A 1 C 2 - A 2 C 1 ≠0 ,得 a ( a 2 - 1) - 1×6≠0 , 故当 a =- 1 时, l 1 ∥ l 2 . ② 法一  当 a = 1 时, l 1 : x + 2 y + 6 = 0 , l 2 : x = 0 , l 1 与 l 2 不垂直,故 a = 1 不成立; 当 a = 0 时, l 1 : y =- 3 , l 2 : x - y - 1 = 0 , l 1 与 l 2 不垂直; 当 a ≠1 且 a ≠0 时, 规律方法  (1) 当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况 . 同时还要注意 x , y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . (2) 在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 . 【训练 1 】 若直线 l 1 经过不同的两点 A (2 a + 2 , 0) , B (2 , 2) , l 2 经过不同的两点 C (0 , 1 + a ) , D (1 , 1). 若 l 1 ∥ l 2 , l 1 ⊥ l 2 时,分别求实数 a 的值 . 解  当 a = 0 时, A (2 , 0) , B (2 , 2) , C (0 , 1) , D (1 , 1). 此时 k AB 不存在,而 k CD = 0 ,所以 l 1 ⊥ l 2 . 当 a =- 1 时, A (0 , 0) , B (2 , 2) , C (0 , 0) , D (1 , 1) , k AB = k CD = 1 ,又均过原点 (0 , 0) , 所以 l 1 与 l 2 重合 . 当 a ≠0 且 a ≠ - 1 时, 得 a = 1 或 a =- 1( 舍去 ) ; 若 l 1 ⊥ l 2 ,则 k AB · k CD =- 1 , 综上, 当 a = 1 时, l 1 ∥ l 2 ;当 a = 0 时, l 1 ⊥ l 2 . 考点二 两条直线的交点与距离问题 【例 2 】 (1)( 2018· 宿迁模拟 ) 求经过两条直线 l 1 : x + y - 4 = 0 和 l 2 : x - y + 2 = 0 的交点,且与直线 2 x - y - 1 = 0 垂直的直线方程为 ________. ( 2) ( 一题多解 ) 直线 l 过点 P ( - 1 , 2) 且到点 A (2 , 3) 和点 B ( - 4 , 5) 的距离相等,则直线 l 的方程为 ________. ∴ l 1 与 l 2 的交点坐标为 (1 , 3). 设与直线 2 x - y - 1 = 0 垂直的直线方程为 x + 2 y + c = 0 , 则 1 + 2 × 3 + c = 0 , ∴ c =- 7. ∴ 所求直线方程为 x + 2 y - 7 = 0. ( 2) 法一  当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 为 y - 2 = k ( x + 1) ,即 kx - y + k + 2 = 0. 即 |3 k - 1| = | - 3 k - 3| , 即 x + 3 y - 5 = 0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x =- 1 ,也符合题意 . 故所求直线 l 的方程为 x + 3 y - 5 = 0 或 x =- 1. 即 x + 3 y - 5 = 0. 当 l 过 AB 的中点时, AB 的中点为 ( - 1 , 4). ∴ 直线 l 的方程为 x =- 1. 故所求直线 l 的方程为 x + 3 y - 5 = 0 或 x =- 1. 答案  (1) x + 2 y - 7 = 0   (2) x + 3 y - 5 = 0 或 x =- 1 规律方法   (1) 求过两直线交点的直线方程的方法: 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程 . (2) 利用距离公式应注意: ① 点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 x = a 的距离 d = | x 0 - a | ,到直线 y = b 的距离 d = | y 0 - b | ; ② 两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x , y 的系数化为相等 . 【训练 2 】 (1)( 2018· 济南模拟 ) 若动点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) 分别在直线 l 1 : x - y - 5 = 0 , l 2 : x - y - 15 = 0 上移动,则 P 1 P 2 的中点 P 到原点的距离的最小值是 ________. ( 2) 如图,设一直线过点 ( - 1 , 1) ,它被两平行直线 l 1 : x + 2 y - 1 = 0 , l 2 : x + 2 y - 3 = 0 所截的线段的中点在直线 l 3 : x - y - 1 = 0 上,求其方程 . (1) 解析  设 P 1 P 2 的中点为 P ( x , y ) , ∵ x 1 - y 1 - 5 = 0 , x 2 - y 2 - 15 = 0. ∴ ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) = 20 ,即 x - y = 10. ∴ y = x - 10 , ∴ P ( x , x - 10) , (2) 解  与 l 1 、 l 2 平行且距离相等的直线方程为 x + 2 y - 2 = 0. 设所求直线方程为 ( x + 2 y - 2) + λ ( x - y - 1) = 0 , 即 (1 + λ ) x + (2 - λ ) y - 2 - λ = 0. 又直线过点 ( - 1 , 1) , ∴ (1 + λ )( - 1) + (2 - λ )·1 - 2 - λ = 0. 考点三 对称问题 【例 3 】 (1)( 2018· 苏州模拟 ) 过点 P (0 , 1) 作直线 l ,使它被直线 l 1 : 2 x + y - 8 = 0 和 l 2 : x - 3 y + 10 = 0 截得的线段被点 P 平分,则直线 l 的方程为 ________. ( 2)( 2018· 泰州模拟 ) 已知直线 l : 2 x - 3 y + 1 = 0 ,求直线 m : 3 x - 2 y - 6 = 0 关于直线 l 的对称直线 m ′ 的方程 . (1) 解析  设 l 1 与 l 的交点为 A ( a , 8 - 2 a ) ,则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B ( - a , 2 a - 6) 在 l 2 上,代入 l 2 的方程得- a - 3(2 a - 6) + 10 = 0 ,解得 a = 4 ,即点 A (4 , 0) 在直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x + 4 y - 4 = 0. 答案  x + 4 y - 4 = 0 (2) 解  在直线 m 上任取一点,如 M (2 , 0) ,则 M (2 , 0) 关于直线 l 的对称点 M ′ 必在直线 m ′ 上 . 设对称点 M ′( a , b ) ,则 又 ∵ m ′ 经过点 N (4 , 3). ∴ 由两点式得直线 m ′ 的方程为 9 x - 46 y + 102 = 0. 【训练 3 】 已知直线 l : 3 x - y + 3 = 0 ,求: (1) 点 P (4 , 5) 关于 l 的对称点; (2) 直线 x - y - 2 = 0 关于直线 l 对称的直线方程; (3) 直线 l 关于 (1 , 2) 的对称直线 . 解  (1) 设 P ( x , y ) 关于直线 l : 3 x - y + 3 = 0 的对称点为 P ′( x ′ , y ′) , 把 x = 4 , y = 5 代入 ③④ 得 x ′ =- 2 , y ′ = 7 , ∴ P (4 , 5) 关于直线 l 的对称点 P ′ 的坐标为 ( - 2 , 7 ). ( 2) 用 ③④ 分别代换 x - y - 2 = 0 中的 x , y , (3) 在直线 l : 3 x - y + 3 = 0 上取点 M (0 , 3) 关于 (1 , 2) 的对称点 M ′( x ′ , y ′) , l 关于 (1 , 2) 的对称直线平行于直线 l , ∴ k = 3 , ∴ 对称直线方程为 y - 1 = 3×( x - 2) , 即 3 x - y - 5 = 0.
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