数学卷·2018届广东省汕头市潮阳实验学校高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市潮阳实验学校高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！广东省汕头市潮阳实验学校2016-2017学年高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.建立了直角坐标系的平面内有两个集合，，‎ ‎，则中元素的个数最多有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 ‎【答案】C 考点：集合交集.‎ ‎【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.‎ ‎2.学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300‎ 名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ）‎ A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：分层抽样每名学生被抽到的概率相等，故选D.‎ 考点：概率.‎ ‎3.等差数列8,5,2，…的前20项和是（ ）‎ A．410 B． C．49 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：首项为，公差为，所以.‎ 考点：等差数列.‎ ‎4.给出下列条件（其中为直线，为平面）：‎ ‎①垂直于内的一五边形的两条边；②垂直于内三条不都平行的直线；③垂直于内无数条直线；‎ ‎④垂直于内正六边形的三条边．‎ 其中的充分条件的所有序号是（ ）‎ A．② B．①③ C．②④ D．③‎ ‎【答案】C 考点：空间点线面位置关系.‎ ‎5.已知向量，，，若，则（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于，数量积为零，即，所以为或.‎ 考点：平面向量.‎ ‎6.已知直线：和直线：平行，则的值是（ ）‎ A．3 B． C．3或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由于两条直线平行，所以，当时两直线重合，舍去，故选A.‎ 考点：两条直线的位置关系.‎ ‎7.已知实数，满足不等式组那么的最大值是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B 考点：线性规划.‎ ‎8.二次函数的二次项系数为正数，且对任意项都有成立，若 ‎，则的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以二次函数的对称轴为，且开口向上，，所以等价于，解得.‎ 考点：二次函数图象与性质.‎ ‎9.已知圆（）的一条切线与直线的夹角为，‎ 则半径的值为（ ）‎ A．或 B． C． D．或 ‎【答案】A 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎10.执行右面的程序框图，如果输入的，，，则输出、的值满足（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：运行程序，，判断否，，判断否，，判断是，输出，满足.‎ 考点：程序框图.‎ ‎11.在△中，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】D 考点：解三角形.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查同角三角函数关系的应用，考查三角形内角和定理，考查二倍角公式的转化，考查二次函数利用配方法求最值.第一步是利用同角三角函数关系化简，得到，三角形为等腰三角形.再用三角形内角和定理，将三个角转化为角的余弦，最后利用配方法求最大值.‎ ‎12.若一个几何体各个顶点或其外轮廓曲线都在某个球的球面上，那么称这个几何体内接于该球，‎ 已知球的半径为，那么下列可以内接于该球的几何体为（ ）‎ A．底面半径为1，且体积为的圆锥 B．底面积为1，高为的正四棱柱 C．棱长为3的正四面体 D．棱长为3的正方体 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设球半径为.对于A选项，圆锥底面半径为，，‎ ‎，解得，不符合.对于B选项，体对角线长为，外接球半径为，符合题意.对于C选项，由正四面体的外接球半径公式，不符合题意.对于D选项，对角线长为不合题意.‎ 考点：球的内接几何体.‎ ‎【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .若一个正四面体边长为,其外接球半径公式为: ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.函数的定义域是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，解得.‎ 考点：定义域.‎ ‎14.在等比数列中，若，，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：等比数列.‎ ‎15.如图所示，右图为一个四棱锥的三视图，则该四棱锥所有的侧棱中最长的为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，图形为四棱锥，如下图所示，，， 所以侧棱最长为.‎ 考点：三视图.‎ ‎【思路点晴】(一)主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥.还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体.2、就是半圆锥.到底如何如确定就是通过俯视图观察.（1）若俯视图是三角形时，就是三棱锥.（2）若俯视图是多边形时，就是多棱锥.（3）若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体.（4）若俯视图是半圆时，就是半圆锥.（5）注意虚线和实线的意义，虚线代表的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的.(二)三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑.（1）如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式.（2）如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可.（3）如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可.‎ ‎16.已知圆：和点，若顶点（）和常数满足：对圆上任 意一点，都有，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设， ，，任取代入上式，可得，，解得.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点晴】设，利用可得，由于任一点都满足，则不妨取代入上式，可求得.本题考查圆的方程，考查选择填空题中赋值法或特殊值法的运用，考查学生的计算能力.当题目中遇到圆有关问题时，可以画图形来理解，题目所给等量条件，可设出坐标后代入来求解.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知等差数列的首项为，公差为，且不等式的解集为 ‎．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ 的解集为，根据不等式解集的意义可知，方程的两根为，，由韦达定理得解之得，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴．‎ 考点：等差数列的基本概念与性质；裂项求和法.‎ ‎18.在△中，角，，所对的边分别为，，，已知（），‎ 且．‎ ‎（1）当，时，求，的值；‎ ‎（2）若角为锐角，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ 试题解析： ‎ ‎（1）由题设并利用正弦定理，得解得或 ‎（2）由（1）可知，‎ 由余弦定理得，‎ 即，‎ ‎∵，∴，由题设知，‎ ‎∴．‎ 考点：解三角形.‎ ‎19.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率．‎ ‎（1）求的值并估计在一个月（按30天算）内日销售量不低于105个的天数；‎ ‎（2）利用频率分布直方图估计每天销售量的平均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．‎ ‎【答案】（1）；（2）平均数的估计值为，方差的估计值为.‎ ‎（2）日平均销售量的平均数为 ‎．‎ 日平均销售量的方差为 ‎，‎ 日销售量的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎20.如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面 是 的菱形，为的中点．‎ ‎（1）在棱上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，指出点的位置并说明；‎ 若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）求点平面的距离．‎ ‎【答案】（1）为棱的中点；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当点为棱的中点时，，，，四点共面．证明如下：‎ 取棱的中点，连结，，又为的中点，所以，‎ 在菱形中，所以，‎ 所以，，，四点共面．　‎ 设点到平面的距离为，由，得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 解得，所以点到平面的距离为．‎ 考点：立体几何证明垂直与求体积、求距离.‎ ‎21.已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，，所以，解得；（2）由题意知，，且，化简得，利用基本不等式有，解得；（3）原方程化简为，当时，，当时，，经检验，满足题意；当且时，，，，，，于是满足题意的，综上，的取值范围为．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，‎ 解得．‎ ‎（2）由题意知，，得，‎ 又由题意可得，即，‎ 又，，∴，即．　‎ 于是满足题意的．‎ 综上，的取值范围为．‎ 考点：对数不等式；函数的单调性与奇偶性.‎ ‎【方法点晴】解对数不等式往往是化为同底然后利用单调性来求解.解含有参数的不等式可以采用分离参数法. 基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.一元二次方程有解，可以利用观察法得出明显的解，还可以用判别式等于零来求.‎ ‎22.若圆：与圆：相外切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点且在圆上，‎ 直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）圆的圆心坐标，半径为，‎ 圆的圆心坐标，半径为3，‎ 又两圆外切得，．‎ ‎（2）点坐标为，点坐标为，‎ 设点坐标为，‎ 由题意得点的坐标为；点的坐标为，‎ 四边形的面积 ‎，‎ 有点在圆上，有，‎ ‎∴四边形的面积，‎ 即四边形的面积为定值4．‎ 考点：圆与圆的位置关系.‎ ‎【方法点晴】设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)‎ 两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.‎ ‎ ‎