2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）6月月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）6月月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 陕西省黄陵中学2017-2018学年高二（重点班）6月月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题，则为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ 考点：原命题与否命题.‎ 视频 ‎2．设，其中x，y是实数，则（ ）‎ A． 1 B． C． D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算.‎ ‎【详解】‎ ‎，．‎ 由（1-i）x=1+yi，得x-xi=1+yi，‎ ‎∴x=1,y=-1，‎ 则|x-yi|=|1+i|=．‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.‎ ‎4．设为可导函数，且，求的值（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义得到=,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据极限的运算和导数的定义得到：= ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y的变化量，分母是x的变化量即可.‎ ‎5．已知命题函数是奇函数，命题：若，则.在命题①；②；③；④中，真命题是 (　 　)‎ A． ①③ B． ①④ C． ②④ D． ②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题p和q的真假，再根据或且非命题的判断依次判断选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 命题函数是奇函数，为真命题；命题：若，，此时,故为假命题，①为真命题，②为假命题；③为假命题；④为真命题；故①④是正确的.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了或且非命题的真假判断：（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎6．方程表示的曲线是 （ ）‎ A． 一条直线 B． 两个点 C． 一个圆和一条直线 D． 一个圆和一条射线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程等价变形，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意（x2+y2﹣2）=0可化为=0或x2+y2﹣2=0（x﹣2≥0）‎ ‎∵x2+y2﹣2=0（x﹣3≥0）不成立，‎ ‎∴x﹣2=0，‎ ‎∴方程（x2+y2﹣2）=0表示的曲线是一条直线．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．圆锥曲线中的求轨迹方程的常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。‎ ‎7．下面给出的命题中： ‎ ‎（1）“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线为”的充分不必要条件；‎ ‎（2）“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件；‎ ‎（3）已知随机变量服从正态分布，且，则；‎ ‎（4）已知圆，圆，则这两个圆有3条公切线.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用双曲线的方程进行判断；（2）由两直线垂直与系数的关系求出m值判断；（3）求出P（ξ＞2）=0.1判断；（4）根据两圆相交判断.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）“双曲线的方程为”，则有双曲线的渐近线为；反之双曲线的渐近线为，则双曲线的方程为，故命题不正确；‎ ‎（2）直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直⇔（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，即m=﹣2或m=1．∴“m=﹣2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直”的充分不必要条件，故（2）错误；‎ ‎（3）随机变量ξ服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故（3）错误；‎ ‎（4）圆C1：x2+y2+2x=0化为（x+1）2+y2=1，圆C2：x2+y2﹣1=0化为x2+y2=1，两圆的圆心距d=1，小于两半径之和，两圆相交，∴这两个圆恰有两条公切线，故（4）错误．‎ ‎∴正确的命题是1个．‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与圆的位置关系，训练了定积分及正态分布概率的求法，一般是画出正太分布的图像再由图形和x轴围成的面积就是概率值得到相应的结果；涉及到两圆位置关系的判断，一般是比较两圆圆心的距离和半径和的关系.‎ ‎8．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线y=2x有交点，应有渐近线的斜率＞2，再由离心率e=═，可得e的范围．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 由双曲线与直线y=2x有交点，‎ 则有＞2，‎ 即有e==＞=，‎ 则双曲线的离心率的取值范围为（，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．‎ ‎9．如下图所示，阴影部分的面积为（ ）‎ A． B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求区间上对应的阴影部分的面积，再求区间上对应的阴影部分的面积，最后求和即可．‎ 详解：‎ ‎=.‎ 点睛：本题考查定积分的应用，意在考查学生的计算能力．‎ ‎10．函数在上的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：对进行求导，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得函数的极值，比较区间端点函数值与极值的大小，从而可得结果.‎ 详解：，‎ ‎，‎ 令，解得或，‎ 当时，为减函数；‎ 当时，为增函数，‎ 在上取极小值，也是最小值，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数得到的，这是容易出错的地方.‎ ‎11．2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ）‎ A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，甲乙+丙,可得相应结论．‎ 详解：因为甲、乙的成绩和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，‎ ‎ 所以甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，‎ ‎ 即丁甲，‎ 又因为甲的成绩大于乙、丙成绩之和，‎ 所以甲乙+丙，‎ 所以丁甲乙+丙，所以丁的成绩最高.‎ 点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，对于复杂的逻辑关系，可以采用解不等式的方式，以便于我们理清多个量中的逻辑关系.‎ ‎12．已知是定义在上的函数，其导函数满足（，为自然对数的底数），则（ ）‎ A． ，‎ B． ，‎ C． ，‎ D． ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由条件得到函数的单调性，进而判断出结论．‎ 详解：，则；‎ 因为,所以；‎ 所以函数在上是减函数；‎ 所以，即，.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力． 解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，若函数 有大于零的极值点，则的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．‎ 详解： ，令，则方程有正根，即．‎ 又的值域为，故即．填．‎ 点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．‎ ‎14．观察下面一组等式 ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，......‎ 根据上面等式猜测，则 _________．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），进行赋值，即可得到结论．‎ 详解：当n=1时，S1=（4ו1﹣3）（a+b）=a+b=1，①‎ 当n=2时，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②‎ 由①②解得a=4，b=﹣3，‎ ‎∴a2+b2=16+9=25，‎ 故答案为：25‎ 点睛：（1）本题主要考查归纳推理和演绎推理等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是通过演绎推理赋值求出a=4，b=﹣3.‎ ‎15．已知函数 在区间上不单调，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．‎ 详解：∵=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，‎ ‎∴在[t，t+1]有解，‎ ‎∴=0在[t，t+1]有解，‎ ‎∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，‎ 令g（x）=x2﹣4x+3，‎ ‎∴g（t）g（t+1）≤0或，‎ ‎∴0＜t＜1或2＜t＜3.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数，考查方程有解问题，考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力、数形结合能力. (2)本题有三个关键，其一是转化为在[t，t+1]有解，其二是转化为x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，其三是转化为g（t）g（t+1）≤0或，这里考虑要全面，不能漏掉.‎ ‎16．设函数 ， ，对任意， ，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：当x＞0时，f（x）=e2x+‎ ‎，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，问题转化为，可求正数的取值范围．‎ 详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 ，‎ ‎∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，‎ ‎∵g（x）=，∴=，‎ 当x＜1时， ＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 当x＞1时， ＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，‎ 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，‎ ‎∵不等式恒成立且k＞0，‎ ‎∴，∴k≥1.‎ 故答案为：k≥1‎ 点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）‎ ‎（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？‎ ‎（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？‎ ‎【答案】（1）105；（2）630‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意利用分步乘法计数原理，分三步可得总的分配方案有（种）；‎ ‎(2)由题意利用分步乘法计数原理，分四步可得总的分配方案有（种）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）利用分步乘法计数原理，第一步，4个人分到甲学校，有种分法；第二步，2个人分到乙学校，有种分法；第三步，剩下的1个人分到丙学校，有种分法，所以，总的分配方案有（种）‎ ‎（2）同样用分步乘法计数原理，第一步，选出4人有种方法；第二步，选出2人有种方法；第三步，选出1人有种方法；第四步，将以上分出的三伙人进行全排列有种方法.所以分配方案有（种）‎ ‎18．已知a，b，c，使等式N+都成立，‎ ‎（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，‎ 在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2‎ ‎=（an2+bn+c）中，‎ 令n=1，得4=（a+b+c）①‎ 令n=2，得22=（4a+2b+c）②‎ 令n=3，得70=9a+3b+c③‎ 由①②③解得a=3，b=11，c=10，‎ 于是，对于n=1，2，3都有 ‎1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．‎ ‎(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．‎ ‎（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．‎ ‎（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，‎ 即1•22+2•32+…+k（k+1）2‎ ‎=（3k2+11k+10），‎ 那么当n=k+1时，‎ ‎1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2‎ ‎=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2‎ ‎=（3k2+5k+12k+24）‎ ‎=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，‎ 由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．‎ 综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．‎ ‎19．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．‎ ‎(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列．‎ ‎【答案】(1) 0.9；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1=．利用对立事件的概率计算公式即可该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．利用二项分布的概率计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．‎ ‎（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1===0.4×0.25=0.1．所以该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1=1﹣0.1=0.9．‎ ‎（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．‎ 即X的概率分布列如下表：‎ ‎【点睛】‎ 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”‎ ‎，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.‎ ‎20．某公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ ‎（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K方，与3.841比较即可得出结论；（2）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率 试题解析：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 ‎ ‎ 因为，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. ‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 ‎. ‎ 其中表示男性，.表示女性，‎ 由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.‎ 用表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则 ‎. ‎ 事件由7个基本事件组成，因而. ‎ 考点：独立性检验的应用；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 ‎21．已知函数，其中 ‎（1）若是的极值点，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出m的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，从而判断函数的极值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f′（x）=4m2x+4m﹣，‎ 若x=1是f（x）的极值点，‎ 则f′（1）=4m2+4m﹣3=0，‎ 解得：m=﹣或m=；‎ ‎（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=，‎ 当m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，‎ 故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，‎ f（x）的极小值为f（）=+3ln（2m）；无极大值．‎ 当m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣，‎ 故f（x）在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，‎ 故f（x）的极小值为f（﹣）=﹣﹣3ln（﹣）；无极大值．‎ 当m=0时，f′（x）＜0，减区间为（0，+∞），无增区间和极值．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。‎ ‎22．已知抛物线： （）的焦点为，过点的直线交抛物线于， 两点，且点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】分析：第一问首先根据抛物线的焦点坐标与系数的关系，利用抛物线的焦点和准线之间的距离与方程中系数的关系，求得a 的值，第二问首先设出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，将向量的数量积用坐标公式整理，用配方法求得结果.‎ 详解：（1）由抛物线的定义得 ‎，‎ ‎（2）由（1）得抛物线C： ‎ 设过点的直线的方程为则 由消去y得，‎ ‎，‎ 所以当时， 的最大值为．‎ 点睛：该题考查的是直线与抛物线的有关问题，在解题的过程中，需要注意抛物线的标准方程中的系数与焦点坐标的关系，再者涉及到直线与抛物线相交问题，就需要联立直线与抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算式对其进行整理，之后应用配方法求得其最值.‎