【数学】2020届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．了解命题的概念．
2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．
知识梳理
1．命题及其真假
(1)命题：在数学上，用 语言、符号或式子 表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题．
(2)真命题：判断为真的语句叫做 真命题 .
(3)假命题：判断为假的语句叫做 假命题 .
2．四种命题的形式
(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．
(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．
(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．
(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．
3．四种命题的关系
4．四种命题的真假关系
(1)互为逆否的两个命题的真假性 相同 .
(2)互逆或互否的两个命题的真假性 没有关系 .
(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性 相同 ，逆命题与否命题的真假性 相同 .
5．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的 充分 条件，同时q是p的 必要 条件．
(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的 充分必要 条件．
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的 充要 条件．
(4)如果q⇒p，且p q，则p是q的 必要不充分 条件．
(5)如果p q，但q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的 必要不充分 条件．
2．若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集合分别为P，Q，一般地有，
若P⊆Q，则p是q的 充分 条件；
若Q⊆P，则p是q的 必要 条件；
若PÜQ，则p是q的 充分不必要 条件；
若PÝQ，则p是q的 必要不充分 条件；
若P＝Q，则p是q的 充要 条件．
热身练习
1．下列语句中，不能构成命题的是(C)
A．5>12 B．若＝，则x＝y
C．x>0 D．若x
0无法判断真假，因此不能构成命题．
2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
3．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)
A．0 B．2
C．3 D．4
原命题：若x＝－1，向量a＝(1，－1)，b＝(1，－1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．
逆命题为：若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝－1.当a与b共线时，x(x＋2)＝x，解得x＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．
故真命题的个数为2.
4．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(A)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
因为所以x＋y＞2，即p⇒q.
而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即qp.故p是q的充分不必要条件．
5．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(C)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．
将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，
易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．
四种命题及其真假判断
原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，
逆命题为：“复数|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，
由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，
所以否命题也为假命题．故选B.
B
(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；
(2)四种命题的真假成对出现．即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同．当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假．
1．在下列4个结论中：
①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；
②命题“若m2＋n2＝0，则m，n全为0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m，n全不为0”；
③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为真命题；
④“若x>1，则x2>1”的否命题为真命题．
其中正确结论的序号是 ①③ .
①正确．
②不正确，否命题为“若m2＋n2≠0，则m，n不全为0”．
③m>0时，Δ＝1＋4m>0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
④逆命题“若x2>1，则x>1”为假命题，所以否命题为假命题．
故正确结论的序号为①③.
充要条件的判断
(1)(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)(方法一)因为2－x≥0⇔ x≤2.
因为|x－1|≤1⇔－1≤x－1≤1⇔0≤x≤2.
因为x≤2 0≤x≤2，而0≤x≤2⇒x≤2，
所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
(方法二)记“2－x≥0”与“|x－1|≤1”表示的集合分别为A，B.
则A＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤2}．
因为BÜA，
所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
(2)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y，
利用四种命题的等价关系得：
cos x≠cos y⇒x≠y，x≠y cos x≠cos y.
所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件．
(1)B (2)B
(1)判断充要条件的方法：
①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．
(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：
①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；
②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．
2．(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的(B)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)ln(x＋1)<0⇔00)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____________．
p对应的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q对应的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
因为﹁p是﹁q 的必要不充分条件，
所以﹁q⇒﹁p但﹁p﹁q
由互为逆否的两个命题的等价关系可知，
p⇒q，但qp，所以AÜB.
所以解得m≥9.
检验m＝9时，满足AÜB.
因此，实数m的取值范围是[9，＋∞)．
[9，＋∞)
(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：
①首先要将p，q等价化简；
②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；
③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．
(2)解此类问题要注意：
①注意命题等价转化，如将﹁p与﹁q的关系转化为p与q的关系；
②注意区间端点值的检验．
3．已知p：2x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围为 [2，＋∞) .
因为q：x2－x－2>0，所以x<－1或x>2，
记A＝{x|x<－1或x>2}．
又因为p：2x＋m<0，所以x<－，
记B＝{x|x<－}，
因为p是q的充分不必要条件，所以BÜA.
所以－≤－1，解得m≥2.
所以实数m的取值范围是[2，＋∞)．
1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．
2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行．
3．判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：
(1)定义法：判断A是B的什么条件，实际上就是判断AB或BA是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．
(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断．
(3)集合法：当条件和结论以集合形式出现时，可利用集合间的包含关系进行判断．
