中考数学一轮复习相似三角形及其应用专题精练18

中考数学一轮复习相似三角形及其应用专题精练18

第22讲：相似三角形及其应用 一、夯实基础 ‎1．下列判断正确的是( )‎ A. 不全等的三角形一定不是相似三角形 B. 不相似的三角形一定不是全等三角形 C. 相似三角形一定不是全等三角形 D. 全等三角形不一定是相似三角形 ‎2．△ABC中，∠ABC为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是( )‎ A. ＝　　 B. ＝ C. ＝　　 D. ＝ ‎3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为‎30 cm，则原三角形最大边长为 （ ）‎ A. ‎44 cm B. ‎‎40 cm C. ‎36 cm D. ‎‎24 cm ‎4．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )‎ A. 3∶4　　 B. 9∶16‎ C. 9∶1　　 D. 3∶1‎ ‎(第4题图)‎ ‎(第5题图)‎ ‎5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )‎ 二、能力提升 ‎6．如图，小明用长为‎3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝‎12 m，则旗杆AB的高为__ __m.‎ ‎(第6题图)‎ ‎(第7题图)‎ ‎7．如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 (结果保留根号)．‎ ‎8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD： (只填一个即可)．‎ 三、课外拓展 ‎9．如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为( )‎ A. 5　　 B. 6‎ C. 7　　 D. 12‎ ‎(第9题图)‎ ‎(第10题图)‎ ‎10．已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )‎ ‎(第11题图)‎ ‎11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )‎ A. 2.5　‎‎ B. 1.6‎ C. 1.5　 D. 1‎ ‎12．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝‎2 m，它的影子BC＝‎1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝‎1.2 m，MN＝‎0.8 m，则木竿PQ的长度为 _ m.‎ ‎(第12题图)‎ 四、中考链接 ‎13．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.‎ ‎(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论．‎ ‎(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．‎ ‎14．课本中有一道作业题：‎ 有一块三角形余料ABC，它的边BC＝‎120 mm，高AD＝‎80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问：加工成的正方形零件的边长是多少毫米？‎ 小颖解得此题的答案为‎48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：‎ ‎(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？‎ ‎(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t(s)．‎ ‎(1)求线段CD的长．‎ ‎(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？‎ 参考答案 一、夯实基础 ‎1、B ‎2、B ‎3、D ‎4、B ‎5、B 二、能力提升 ‎6、9‎ ‎7、‎ ‎8、∠ACD＝∠ABC(答案不唯一)‎ 三、课外拓展 ‎9、C ‎10、D ‎11、B ‎12、2.3‎ 四、中考链接 ‎13、解：(1)△BMN是等腰直角三角形．‎ 证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，‎ ‎∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.‎ ‎∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∴∠EAB＋∠EBA＝90°，‎ ‎∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝(∠BAE＋∠ABE)＝45°.‎ ‎∴△BMN是等腰直角三角形．‎ ‎(2)△MFN∽△BDC.‎ 证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴FM∥AC，FM＝AC.‎ ‎∵AC＝BD，‎ ‎∴FM＝BD，即＝.‎ ‎∵△BMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴NM＝BM＝BC，即＝，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∵AM⊥BC，‎ ‎∴∠NMF＋∠FMB＝90°.‎ ‎∵FM∥AC，‎ ‎∴∠ACB＝∠FMB.‎ ‎∵∠CEB＝90°，‎ ‎∴∠ACB＋∠CBD＝90°.‎ ‎∴∠CBD＋∠FMB＝90°.‎ ‎∴∠NMF＝∠CBD.‎ 在△MFN与△BDC中，‎ ‎∵ ‎∴△MFN∽△BDC.‎ ‎14、解：(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由PN∥BC可得△APN∽△ABC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得y＝，∴PN＝×2＝(mm)，‎ 答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm，‎ mm.‎ ‎(2)设PN＝x mm，同(1)可得△APN∽△ABC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得PQ＝80－x.‎ ‎∴矩形PQMN的面积S＝PN·PQ＝x＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2400，‎ ‎∴S的最大值为‎2400 mm2，此时PN＝‎60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．‎ ‎15、解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，‎ ‎∴AB＝10.‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，‎ ‎∴CD＝＝4.8，‎ ‎∴线段CD的长为4.8.‎ ‎(2)①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如解图①所示，‎ 由题可知DP＝t，CQ＝t，则CP＝4.8－t，‎ ‎∵∠ACB＝∠CDB＝90°，‎ ‎∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B.‎ ‎∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，‎ ‎∴∠CHP＝∠ACB，‎ ‎∴△CHP∽△BCA，‎ ‎∴＝，即＝，得PH＝－t，‎ ‎∴S△CPQ＝CQ·PH＝t(－t)＝－t2＋t.‎ ‎②存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，‎ ‎∵S△ABC＝×6×8＝24，‎ 且S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，‎ ‎∴(－t2＋t)∶24＝9∶100，‎ 整理，得5t2－24t＋27＝0，即(5t－9)(t－3)＝0，‎ 解得t＝或t＝3.‎ ‎∵0≤t≤4.8，‎ ‎∴当t＝ s或t＝3 s时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.‎ ‎(3)①若CQ＝CP，‎ 则t＝4.8－t，解得t＝2.4.‎ ‎②若PQ＝PC，如解图①所示，‎ ‎∵PQ＝PC，PH⊥QC，‎ ‎∴QH＝CH＝QC＝.‎ ‎∵△CHP∽△BCA，‎ ‎∴＝，∴＝，‎ 解得t＝.‎ ‎③若QC＝QP，‎ 过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如解图②所示．‎ ‎∵QC＝QP，QE⊥CP，‎ ‎∴CE＝PE＝PC＝.‎ ‎∵∠QEC＝∠ACB＝90°，∠QCE＝∠ABC，‎ ‎∴△QCE∽△ABC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得t＝.‎ 综上所述：当t为2.4 s或 s或 s时，△CPQ为等腰三角形．‎