2017-2018学年河北省永年县第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版
2017-2018 学年河北省永年县第二中学高二下学期理科数学期中考试试题
一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( )
A.(,1) B.(,3) C．(1,+∞) D．(∞,)
2．由①y＝2x＋5 是一次函数；②y＝2x＋5 的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直
线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②
3．若 x，y∈N*，且，则满足条件的不同的有序数对(x，y)的个数是( )
A．15 B．12 C．5 D．4
4．二项式(a＋2b)n 展开式中的第二项系数是 8，则它的第三项的二项式系数为 ( )．
A．24 B．18 C．16 D．6
5．随机变量ξ的分布列如图所示：若 a、b、c 成等差数列，
则 P(|ξ|＝1)＝（ ）
A． B．2
3
C． D．
6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，
则它是被甲击中的概率为( )
A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75
7．某校 1 000 名学生的某次数学考试成绩 X 服从正态分布，正态分布密度曲线如下图所示，
则成绩 X 位于区间(51,69]的人数大约是( )
附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ
f(cos B) B．f(sin A)f(sin B) D．f(sin A)f(cos B) B．f(sin A)f(sin B) D．f(sin
A)f(cos B)，故选 A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．设(x－2)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝________．
答案 36
14.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品
的次数，则 D(X)＝________.
解析：∵X～B14，∴D(X)＝3×14×34＝ 916. 答案： 916
15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按
图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这
时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面面积，S4
表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可
得 S21＋S22＋S23＝S24.答案：S21＋S22＋S23＝S24
16、已知点 F 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 作
垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e
的取值范围是__________．
[解析]若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在 Rt△AFE 中，|AF|＝b2a ，|FE|＝a＋c，
则b2a ＜a＋c，即 b2＜a2＋ac，即 2a2－c2＋ac＞0，则 e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又 e＞1，
则 1＜e＜2，故选 B.
三、解答题(共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在 中，三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 ；（2）若 ， ，求 的值.
17、解一：（1）∵ ，∴ ,
∴ 整 理 得
，
即 ,解得 ∴ .
（2）由（1）及余弦定理得 ①，
又 ，∴ ②，由①②得 ③.
∵ ∴ 代入③得 .
解二：∵ ，∴ ， 整理得 ，
∴ ， ∴ .
（2）由（1）及余弦定理得 ①，
又 ，∴ ②， 由①②得 ③.
∵ ，∴ 代入③得 .
18、为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 30 名六年级学生进行了问卷调查
得到如下列联表．平均每天喝 500 mL 以上为常喝，体重超过 50 kg 为肥胖.
常喝 不常喝 合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
已知在全部 30 人中随机抽取 1 人，抽到肥胖的学生的概率为 415.
(1)请将上面的列联表补充完整．
(2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有 2 名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取
2 人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
参考数据：
K2≥k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：K2＝ n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人，x＋230 ＝ 415，解得 x＝6.
常喝 不常喝 合计
肥胖 6 2 8
不肥胖 4 18 22
合计 10 20 30
(2)由已知数据可求得 K2＝30×(6×18－2×4)210×20×8×22 ≈8.523>7.879.因此有 99.5%的把握认为肥
胖与常喝碳酸饮料有关．
(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为 A，B，C，D，女生为 E，F，任取两人的取法有 AB，AC，
AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共 15 种．其中一男一女的取法有
AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共 8 种．故抽出一男一女的概率是 P＝ 815.
19、已知四棱锥 的底面 是正方形， 底
面 ， 是 上的任意一点。
（1）求证：平面 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的大小．
20.解：(1) 底面 ,所以
底面 是正方形,所以
所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面
（2）证明：如图所示建立空间直角坐标系，点 为坐标原点， 所在的直线分别
为 轴.
设 .由题意得 ， , ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 令 ，则
设二面角 的平面角为 ，则 .
显然二面角 的平面角为钝角，所以 ，即二面角 的大小
为 .
20． (本小题满分 12 分)在一场娱乐晚会上， 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱， 由现场
数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众
甲是 1 号歌手的歌迷， 他必选 1 号， 不选 2 号， 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙
对 5 位歌手的演唱没有偏爱， 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.
(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；
(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和， 求 X 的分布列和数学期望.
解析：(1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手. 观众甲选中 3
号歌手的概率为23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－35.所以 P(A)＝23×35＝ 415.
因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 415.
(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取 0,1,2,3.
观众甲选中 3 号歌手的概率为23，观众乙选中 3 号歌手的概率为35.
当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X＝0，P(X＝0)＝23×352＝ 475.
当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时，这时 X＝1，P(X＝1)＝23×352＋23×35×35＋
23×35×35＝8＋6＋675 ＝2075.
当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时，这时 X＝2，P(X＝2)＝23×35×35＋23×35×35
＋23×35×35＝12＋9＋1275 ＝3375.
当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时，这时 X＝3，P(X＝3)＝23×352＝1875.
X 的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P 475 2075 3375 1875
所以数学期望 E(X)＝0× 475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝20＋66＋5475 ＝2815.
21、已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F(1,0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O
的两点．
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)若直线 OA，OB 的斜率之积为－12，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点．
解：(1)因为抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以 p＝2.所以抛物线 C
的方程为 y2＝4x.
(2)证明：①当直线 AB 的斜率不存在时，
设 A t2，t，B t2，－t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12，所以t24 ·t24 ＝－12，化简得 t2＝32.所以
A(8，t)，B(8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x＝8.
②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组y2＝4x，y＝kx＋b
消去 x，得 ky2－4y＋4b＝0.
由根与系数的关系得 yAyB＝4bk ，因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，即 xAxB
＋2yAyB＝0.即 A·B＋2yAyB＝0，解得 yAyB＝－32 或 yAyB＝0(舍去)．所以 yAyB＝4bk ＝－32，即 b
＝－8k，所以 y＝kx－8k，即 y＝k(x－8)．
综上所述，直线 AB 过定点(8,0)．
22．(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)。
(1)当 a＝2 时，求 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程。
(2)若函数 g(x)＝f(x)－ax＋m 在 1，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围。
【解析】 (1)当 a＝2 时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝2x－2x＋2，切点坐标为(1,1)，
切线的斜率 k＝f′(1)＝2，则切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1。
(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则 g′(x)＝2x－2x＝－2(x＋1)(x－1)x 。
因为 x∈ 1，e，所以当 g′(x)＝0 时，x＝1。
当1e0，g(x)单调递增；当 1
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