新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训九基本初等函数函数与方程

新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训九基本初等函数函数与方程

小题考法专训（九） 基本初等函数、函数与方程 A级——保分小题落实练 一、选择题 ‎1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)‎ A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 解析：选D　设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝‎3a＝，解得a＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎2．函数y＝ax＋2－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过的点是(　　)‎ A．(0,0)　　　　　　　 B．(0，－1)‎ C．(－2,0) D．(－2，－1)‎ 解析：选C　令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－2,0)．‎ ‎3．已知a＝‎0.50.8‎，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则(　　)‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析：选D　∵y＝0.8x在R上为单调递减函数，‎ ‎∴c＝0.80.8＜b＝0.80.5.‎ ‎∵y＝x0.8在(0，＋∞)上为单调递增函数，‎ ‎∴a＝‎0.50.8‎＜c＝0.80.8，∴a＜c＜b.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.‎ ‎5．若函数f(x)＝(x2＋1)·是奇函数，则m的值是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－2 D．2‎ - 8 -‎ 解析：选B　设g(x)＝x2＋1，h(x)＝，易知g(x)＝x2＋1是偶函数，则依题意可得h(x)＝是奇函数，故h(－x)＝＝－h(x)＝－，化简得2x＋m＝m·2x＋1，解得m＝1.选B.‎ ‎6．已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b 解析：选B　因为0＜ln 2＜1，所以a＝2ln 2∈(1,2)，c＝(ln 2)2∈(0,1)．又b＝2＋2ln 2＝2＋ln 4∈(3,4)，故c＜a＜b.故选B.‎ ‎7．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选B　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，‎ 即2sin x－2sin xcos x＝0，‎ ‎∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.‎ 又x∈[0,2π]，‎ ‎∴由sin x＝0，得x＝0，π或2π，‎ 由cos x＝1，得x＝0或2π.‎ 故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．‎ ‎8．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(0,1)∪(1,2)‎ C．(1,2) D．[2，＋∞)‎ 解析：选C　当a＞1时，若f(x)有最小值，则说明y＝x2－ax＋1有最小值，故y＝x2－ax＋1中Δ＜0，即a2－4＜0，∴1＜a＜2.当0＜a＜1时，若f(x)有最小值，则说明y＝x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.‎ ‎9．(2019·兰州诊断考试)已知函数f(x)＝x·ln ，a＝f，b＝f，c＝f，则以下关系成立的是(　　)‎ A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析：选A　因为a＝f＝－ln ＝ln 16，b＝f＝ln 3＝ln 729，c＝f＝ln ＝ ln ，因为＜16＜729，所以c＜a＜b，故选A.‎ - 8 -‎ ‎10．函数f(x)＝x2－6xsin ＋1(x∈R)的零点个数为(　　)‎ A．10　　　　　　　　　 B．8‎ C．6 D．4‎ 解析：选B　显然x＝0不是f(x)的零点，当x≠0时，‎ 令x2－6xsin ＋1＝0，可得6sin ＝x＋，‎ 则问题等价于求解函数y＝6sin 与函数y＝x＋的图象的交点个数问题，‎ 注意到两个函数都是奇函数，故考查当x＞0时两函数图象的交点个数即可．‎ 作出两个函数在x＞0时的图象如图所示，当x＝6时，x＋＞6，故当x＞0时两函数图象交点的个数为4.‎ 结合奇函数图象的对称性可知函数y＝6sin 与函数y＝x＋的图象的交点个数为8.‎ 故函数f(x)＝x2－6xsin ＋1(x∈R)的零点个数为8.故选B.‎ ‎11．(2019·武昌调研)已知函数f(x)＝x3＋a，则f(x)的零点可能有(　　)‎ A．1个 B．1个或2个 C．1个或2个或3个 D．2个或3个 解析：选A　因为x2＋x＋2＝(x＋1)2＋＞0，‎ 所以令f(x)＝0，得a＝，‎ f(x)的零点转化为直线y＝a与函数g(x)＝的图象的交点．‎ - 8 -‎ g′(x)＝ ‎＝，‎ 令g′(x)＝0，即－x4－x3－2x2＝0，整理得x2(x2＋4x＋12)＝0，‎ 由于x2＋4x＋12＝(x＋2)2＋8＞0，所以x＝0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以直线y＝a与函数g(x)的图象可能有1个交点，所以f(x)的零点可能有1个．故选A.‎ ‎12．若关于x的方程ex＋ax－a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－e2,0] B．[0，e2)‎ C．(－e,0] D．[0，e)‎ 解析：选A　由题意可知只需证ex＋ax－a＞0恒成立，即证ex＞－a(x－1)．‎ 当x＜1时，－a＞，令f(x)＝，则f′(x)＝＜0，则f(x)单调递减，即有f(x)＜0，解得－a≥0，即a≤0；‎ 当x＝1时，e＞0成立，a可以是任意实数；‎ 当x＞1时，－a＜，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，也是最小值e2，即有－a＜e2，解得a＞－e2.‎ 综上，实数a的取值范围是(－e2,0]，故选A.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数f(x)＝则f＋f＝________.‎ 解析：由题可知f＝log＝2，因为log2＜0，所以f＝log2＝2log26＝6，故f＋f＝8.‎ 答案：8‎ ‎14．已知函数f(x)＝ln x＋ln(4－x)，给出下列四个命题：‎ ‎①f(x)在(0,2)上单调递增；‎ ‎②f(x)在(0,4)上单调递增；‎ - 8 -‎ ‎③f(x)的图象关于直线x＝2对称；‎ ‎④f(x)的图象上存在两点关于点(2,0)对称．‎ 其中所有正确命题的序号为________．‎ 解析：函数f(x)＝ln x＋ln(4－x)＝ln(4x－x2)＝ln[－(x－2)2＋4]，‎ f(x)的定义域为(0,4)，设z＝4x－x2，‎ 由z在(0,2)上递增，得f(x)在(0,2)上单调递增，故①正确，②错误；‎ 由f(2＋x)＝ln(2＋x)＋ln(2－x)，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln(2＋x)，‎ 即f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③正确；‎ 由f(2＋x)＋f(2－x)＝2ln(2－x)＋2ln(2＋x)＝0，解得x＝±，即f(x)的图象上存在两点(2－，0)，(2＋，0)关于点(2,0)对称，故④正确．故答案为①③④.‎ 答案：①③④‎ ‎15．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.‎ ‎①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．‎ 解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．‎ ‎②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，解得x≤15.即x的最大值为15.‎ 答案：130　15‎ ‎16．已知函数f(x)＝若f(x)≤1，则实数x的取值范围是________；若方程f(x)－kx＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：当x≥0时，f(x)≤1即－x2＋2x≤1，即(x－1)2≥0，则x≥0成立；当x＜0时，f(x)≤1即－2x≤1，解得－≤x＜0.综上，实数x的取值范围为.‎ 由题意知，方程f(x)－kx＝3即f(x)＝kx＋3有三个相异的实根，则函数y＝f(x)和y＝kx＋3的图象有三个不同的交点．作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由题意知直线y＝kx＋3和y＝－2x(x＜0)的图象必有一个交点，所以－2＜k＜0，则y＝kx＋3与y＝－x2＋2x(x≥0)的图象必有两个交点．联立整理得x2＋(k－2)x＋3＝0，由解得k＜2－2.所以实数k - 8 -‎ 的取值范围是(－2,2－2)．‎ 答案：　(－2,2－2)‎ B级——拔高小题提能练 ‎1．[多选题]函数f(x)＝若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)．下列结论恒成立的是(　　)‎ A．ab＝1 B．c－a＝ C．b2－＜0 D．a＋c＜2b 解析：选ABC　由图知：－log‎2a＝log2b＝，即a＝＝c－，＜a＜1，运算可得，选项A，B恒成立；‎ 又b2－＝－＝＜0，即选项C恒成立；又a＋c－2b＝，当＜a＜1时，a＋c－2b的符号不确定，即选项D不恒成立．‎ ‎2．已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于(　　)‎ A．5π　　　 B．6π　　　　C．7π　　　　D．8π 解析：选C　f(x)＝sin x－sin 3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos 2xsin x，令f(x)＝0，可得cos 2x＝0或sin x＝0，∵x∈[0,2π]，∴2x∈[0,4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，∴x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C.‎ ‎3．设f(x)＝，若存在唯一一个整数x使得f(x)＜1，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B． - 8 -‎ C. D． 解析：选B　由题意知，存在唯一的整数x使＜1成立，当x＜0时，ex＞2ax＋1，不合题意；当x＞0时，得ex＜2ax＋1，令h(x)＝ex，m(x)＝2ax＋1，则m(x)的图象过定点(0,1)，显然只有x＝1符合题意，所以所以解得＜a≤，故选B.‎ ‎4．已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝lg(x2－x＋1)，则x∈时，f(x)＝________，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为________．‎ 解析：设x∈，可得－x∈，f(－x)＝lg(x2＋x＋1)，‎ 由f(x)为奇函数可得f(－x)＝－f(x)，可得f(x)＝－lg(x2＋x＋1)；‎ 当x∈时，令f(x)＝lg(x2－x＋1)＝0，解得x＝1；‎ 当x∈时，令f(x)＝－lg(x2＋x＋1)＝0，解得x＝－1；‎ 可得f(－1)＝f(2)＝0，f(0)＝0，f(1)＝0，f(3)＝0，‎ 由f＝f＝－f，可得f＝0，所以函数f(x)在区间[0,3]上有5个零点．‎ 答案：－lg(x2＋x＋1)　5‎ ‎5．若对任意的x∈D，均有g(x)≤f(x)≤h(x)成立，则称函数f(x)为函数g(x)到函数h(x)在区间D上的“任性函数”．已知函数f(x)＝kx，g(x)＝x2－2x，h(x)＝(x＋1)·(ln x＋1)，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：依题意得，∀x∈[1，e]，x2－2x≤kx≤(x＋1)(ln x＋1)恒成立，‎ ‎∴x－2≤k≤(ln x＋1)在x∈[1，e]上恒成立．‎ 又y＝x－2在[1，e]上增函数，‎ ‎∴(x－2)max＝e－2，则k≥e－2.①‎ 设φ(x)＝(ln x＋1)，x∈[1，e]，‎ 则φ′(x)＝－(ln x＋1)＋·＝＞0，‎ ‎∴φ(x)在[1，e]上是增函数，‎ 则φ(x)min＝φ(1)＝2，∴k≤2.②‎ - 8 -‎ 由①②知，当e－2≤k≤2时，x2－2x≤kx≤(x＋1)(ln x＋1)在x∈[1，e]上恒成立．‎ 答案：[e－2,2]‎ - 8 -‎