高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-8曲线与方程（含轨迹问题）练习理北师大版

高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-8曲线与方程（含轨迹问题）练习理北师大版

‎10.8. 曲线与方程（含轨迹问题）‎ 核心考点·精准研析 考点一　直接法求轨迹方程 ‎ ‎【典例】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).‎ ‎(1)求△ABC外接圆的标准方程;‎ ‎(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.‎ ‎【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为, kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.‎ 由得 所以△ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,‎ 故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.‎ ‎(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),‎ 由MN⊥MP,得·=0,‎ 所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,‎ 整理得x2+y2-3x-y+2=0,‎ 故弦EF中点的轨迹方程为+=.‎ 直接法求轨迹方程的思路 - 8 -‎ 直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.‎ ‎1.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为 (　　)‎ A.x2=4y　 B.y2=3x C.x2=2y　 D.y2=4x ‎2.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________________. ‎ ‎【解析】(1)选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).‎ 因为·=·,‎ 所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),‎ 即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,‎ 所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,‎ 所以点B的坐标为(1,-1).‎ 设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,‎ 化简得x2+3y2=4(x≠±1).‎ 故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).‎ 答案:x2+3y2=4(x≠±1)‎ 考点二　定义法求轨迹方程 ‎ ‎【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.‎ ‎2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程. ‎ - 8 -‎ ‎【解析】‎ ‎1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,‎ 则有|MC1|-|AC1|=|MA|,‎ ‎|MC2|-|BC2|=|MB|.‎ 又|MA|=|MB|,‎ 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,‎ 即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,‎ 且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,‎ 故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.‎ 设动圆圆心M的坐标为(x,y),‎ 则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).‎ ‎2.由题知|CA|+|CB|=‎ ‎|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|‎ ‎=2|CP|+|AB|=4>|AB|,‎ 所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).‎ 设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),‎ 则a2=4,b2=a2-=3,‎ - 8 -‎ 所以曲线M的方程为+=1(y≠0).‎ ‎1.定义法的适用范围 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.‎ ‎2.注意2个易误点 ‎(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x≤-1)‎ ‎(2)不会迁移应用已知条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,若不能正确转化|CA|+|CB|,则很难求出曲线M的轨迹方程)‎ ‎　已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为 (　　)‎ A.x2+y2=2 B.x2+y2=4‎ C.x2+y2=2(x≠±2) D.x2+y2=4(x≠±2)‎ ‎【解析】选D.MN的中点为原点O,易知|OP|=|MN|=2,所以P的轨迹是以原点O为圆心,以r=2为半径的圆,除去与x轴的两个交点.‎ 考点三　相关点法求轨迹方程 ‎ ‎【典例】如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PM⊥x轴于M.若=λ.‎ ‎ ‎ ‎(1)求点N的轨迹方程.‎ ‎(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.‎ ‎【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,‎ - 8 -‎ 所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),‎ ‎=(x1-x,-y)=(0,-y),‎ 由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y).‎ 所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.‎ 因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,‎ 则+=1,所以+(1+λ)2y2=1,‎ 故+(1+λ)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.‎ ‎(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=,‎ 解得λ=-或λ=-.‎ 故当λ=-或λ=-时,N点的轨迹是圆.‎ ‎　相关点法求曲线方程的四个步骤:‎ 第一步—设出所求动点坐标P(x,y)‎ ‎　⇩‎ 第二步—寻求所求动点P(x,y)与已知动点Q(x′,y′)的关系 ‎　⇩‎ 第三步—建立P,Q两坐标间的关系,并表示出x′,y′‎ ‎　⇩‎ 第四步—将x′,y′代入已知曲线方程中化简求解 - 8 -‎ ‎(2020·西安模拟)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的轨迹方程是 (　　)‎ A.y2=x-1 B.y2=2(x-)‎ C.y2=2(x-1) D.y2=x-‎ ‎【解析】选D.设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦点F的坐标为(1,0).因为M是FQ的中点,‎ 所以即 又Q是OP的中点,‎ 所以即 因为P在抛物线y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M点的轨迹方程为y2=x-.‎ ‎【变式备选】‎ ‎1.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是 (　　)‎ A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在y轴上的双曲线　‎ C.圆 D.椭圆 ‎【解析】选B.当ab<0时,方程ax2-ay2=b化简得y2-x2=-,方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上.‎ ‎2.已知曲线:①y2=x;②x2+y2=1;③y=x3;④x2-y2=1.上述四条曲线中,满足“若曲线与直线y=kx+b有且仅有一个公共点,则它们必相切”的曲线的序号是 ‎ (　　)‎ - 8 -‎ A.① B.② C.③ D.④‎ ‎【解析】选B.①当直线y=kx+b和抛物线y2=x的对称轴平行时,曲线与直线有且仅有一个公共点,但此时直线不是切线,故①错误,‎ ‎②当直线y=kx+b和圆x2+y2=1只有一个公共 点时,直线与圆相切,故②正确,‎ ‎③当直线y=kx+b和x轴平行时,直线和y=x3只有一个交点,但此时直线和曲线不相切,故③错误,‎ ‎④当直线y=kx+b和双曲线x2-y2=1的渐近线平行时,直线和双曲线有一个交点,但此时直线y=kx+b和双曲线不相切,故④错误,‎ 故正确的只有②.‎ ‎3.如图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹是 (　　)‎ A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分　 D.抛物线的一部分 ‎【解析】选B.由题意知+2×=10,则|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因为P,A,B三点不共线,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一部分.‎ ‎4.已知直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是 (　　)‎ A. B.‎ C.　 D.‎ ‎【解析】选A.因为直线y=mx+3m=m(x+3)经过定点P(-3,0),m为斜率;曲线y=是以原点为圆心,半径r=2的圆的上半圆,所以同一坐标系内作出它们的图像,如图,‎ 当直线与半圆切于A点时,它们有唯一公共点,此时,直线的倾斜角α满足 - 8 -‎ sin α=,‎ 所以cos α==,可得直线的斜率m=tan α==,‎ 当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时,两图像有两个不同的交点,直到直线斜率m变成0为止,由此可得当0≤m<时,直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点.‎ - 8 -‎