2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题 ，，命题 ，，则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．‎ ‎【详解】‎ 命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，‎ 则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；‎ 命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ=1，‎ 则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题，￢q为真命题．‎ 则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎2．下面四个条件中，使成立的充分不必要的条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由 ‎，不满足“不必要”.‎ 考点：不等式性质、充分必要性.‎ ‎3．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程化成标准形式，即x2=y，求出p=，即可得到焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y=2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口．‎ ‎4．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对等式两边求导得到关于（e）的等式解之．‎ ‎【详解】‎ 由关系式f（x）=2xf′（e）+lnx，两边求导得（x）=2（x）+，令x=e得（e）=2（e）+，‎ 所以（e）=﹣；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求导公式的运用，关键是对已知等式两边求导，得到关于（x）的等式，对x取e求值．‎ ‎5．已知变量、满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数在点处取得最大值，代入可求得为，故选B．‎ 考点：线性规划．‎ ‎6．若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． 或 B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得f′（x）=3x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=，‎ ‎∴f′（x）=3ax2+2ax+1，‎ ‎∵有极值，‎ ‎∴f′（x）=3ax2+2ax+1=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=4a2﹣12a＞0，解得a＞3或a＜0，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎7．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和等差数列的性质可得a13，再由等差数列的性质和求和公式可得．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列{an}首项为，公差为d,‎ ‎∵，∴3(,‎ ‎∴+12d=8，即 故S25===25a13=200‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项中基本量的运算, 考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎8．已知抛物线y2=4x的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设M到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|MF|，由题意得 cos∠MKF=，把已知条件代入可得cos∠MKF，进而求得∠MKF．‎ ‎【详解】‎ 设M到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|MF|，‎ ‎ 由题意得 cos∠MKF ===，‎ ‎∴∠MKF =，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、以及简单性质的应用．利用抛物线的定义是解题的突破口．‎ ‎9．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程可得a4和a8，可得a62=a4•a8，解之由a4，a6同号可得．‎ ‎【详解】‎ 解方程x2﹣4x+3=0可得x=1，或x=3‎ 故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1‎ 故a62=a4•a8=3，故a6=，‎ 又a52=a4•a6＞0，即a4，a6同号，‎ 又a4＞0，故a6=‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，隔项同号是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎10．椭圆的左、右焦点分别是，弦AB过，且的内切圆的周长是，若A、B的两点的坐标分别是，，则（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．可得==•|F1F2|，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．‎ 如图所示，‎ 设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．‎ 设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．‎ 则==•|F1F2|，‎ ‎∴4a=|y2﹣y1|×2c，‎ ‎∴|y2﹣y1|==．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．函数 的大致图象是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 函数y=的导数为，‎ 令y′=0，得x=，‎ 时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．‎ ‎∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．‎ 且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，‎ ‎12．设函数，的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． 不能确定与的大小 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，‎ ‎【详解】‎ 令g（x）=，‎ 则g′（x）==，‎ ‎∵xf′（x）<3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）<0，‎ ‎∴g′（x）<0在（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递减，‎ ‎∴g（）>g（），即>，则有 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知正数，满足，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．‎ ‎【详解】‎ 正数a，b满足ab=2，‎ 则2a+b≥2=4，‎ 当且仅当2a=b=时，上式取得等号，‎ 则2a+b的最小值为4，‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知椭圆与双曲线（，）的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为，则双曲线的离心率等于____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将x=1代入椭圆方程求得P点坐标，代入双曲线的渐近线方程，求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 当x=1时，代入椭圆方程：=1，解得：y=±，假设P在第一象限，则A（1，），‎ 双曲线=1的渐近线方程y=±x，则A在直线y=x，则=，‎ 双曲线的离心率e===，‎ ‎∴双曲线的离心率为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质，双曲线的离心率及渐近线方程的应用，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎15．函数（），且，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对函数f（x）求导分析可得f′（x）=cosx﹣2＜0，即可得函数f（x）在R上为减函数，又函数为奇函数，可以将原不等式化为f（2a）＜f（a﹣1），进而转化为2a＞a﹣1，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，f（x）=sinx﹣2x，其导数f′（x）=cosx﹣2，‎ 又由cosx≤1，则必有f′（x）=cosx﹣2＜0，‎ 即函数f（x）在R上为减函数且为奇函数 若，则f（2a）＜f（a﹣1），必有2a＞a﹣1，‎ 解可得a＞﹣1，即a的取值范围（﹣1，+∞）；‎ 故答案为：（﹣1，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数判定函数的单调性以及函数单调性的应用，关键是利用导数判断出函数的单调性．‎ ‎16．已知（，），其导函数为，设，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），（n≥2，n∈N），求其导函数，得f′（x）=（x+2）（x+3）…（x+n）+（x+1）（x+3）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），从而得f′（﹣2），f（0）；由an=，求得a10．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），（n≥2，n∈N），则 其导函数f′（x）=（x+2）（x+3）…（x+n）+（x+1）（x+3）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），‎ ‎∴f′（﹣2）=0+（﹣1）×1×…×（n﹣2）+0+…+0=﹣（n﹣2）!，f（0）=n!；‎ 当an=时，有a10==﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与数列的综合运用，并且重点考查了当函数解析式为多项式的积时的求导应用和阶乘的计算；是基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，设命题：函数在上为减函数，命题：当时，函数恒成立．如果为真命题，为假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】{c|0＜c≤或c≥1}.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求解得出命题和为真命题时，的取值，再根据或为真命题，且为假命题，得出中一真一假，分类讨论，即可求解的取值范围．‎ 试题解析：由命题知：，由命题知：，‎ 要使此式恒成立，则，即，‎ 又由或为真，且为假知，必有一真一假，‎ 当为真，为假时，的取值范围为，‎ 当为假，为真时，．‎ 综上，的取值范围为．‎ 考点：复合命题的真假判定与应用．‎ ‎18．在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且对一切恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由于，，成等差数列，可得，再利用等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（Ⅱ）由，可得，利用“裂项求和”即可得出，由对一切 恒成立 得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设等比数列的公比为，则 由得，‎ 依题意，‎ ‎∴即 解得或（舍）‎ 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）‎ ‎∴∴‎ 由对一切恒成立 得 ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上是单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）时，取得极小值.‎ ‎（II）‎ ‎【解析】‎ 解：（I）因为，所以当时，，‎ 令，则，所以的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 所以时，取得极小值. …………………………………6分 ‎(II) 因为，函数在区间上是单调增函数,‎ 所以对恒成立.又，所以只要对恒成立, 解法一：设，则要使对恒成立，‎ 只要成立，即，解得.‎ 解法二：要使对恒成立，‎ 因为，所以对恒成立，‎ 因为函数在上单调递减，‎ 所以只要.‎ ‎20．已知抛物线：（），过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，且.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）点坐标为，直线，的斜率分别，，求证：为定值.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将方程与抛物线方程联立，得到，，代入 ‎，得到，求得抛物线方程.‎ ‎（Ⅱ）将斜率用坐标表示得到：，利用抛物线方程将横坐标用纵坐标来表示，结合（Ⅰ）中的韦达定理即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设方程为，，‎ 由得 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的方程为 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 由（Ⅰ）可得，‎ ‎∴为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查考查了直线和抛物线的位置关系的应用，体现了设而不求的运算思想方法，是中档题．‎ ‎21．已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线（，）与椭圆C交于两点A、B，点D满足，经过点D及点的直线的斜率为，求证：.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），根据a2=b2+c2，椭圆C过点（0，1），离心率为，即可求得椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意知点D为线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（xD，yD），由题意知xD=﹣4kyD，，从而求出，进而得到，由此可知．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.‎ 由题意可知：，.所以.‎ 所以，椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）方法一： ，点D为线段AB的中点 设 ，‎ ‎，∴‎ 由，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎，∴．‎ 方法2： ，点D为线段AB中点，‎ 设 ，，∴，‎ 由，得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，∵，，∴．‎ 方法3：由，得，‎ 令，得，‎ 设，‎ ‎ ，点D为线段AB的中点，‎ 设，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理进行求解．‎ ‎22．函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，在递增；当时，在递增，在上递减．当时，在递减．（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）在的最值只能在和区间的两个端点取到，因此，通过算出上述点并比较其函数值可得函数在的最值；（2）算出，对的取值范围分情况讨论即可；（3）根据（2）中得到的单调性化简不等式，从而求解不等式，解得的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，，∴，‎ ‎∵的定义域为，∴由，得.……………………2分 ‎∴在区间上的最值只可能在取到，‎ 而，，，……4分 ‎（2），，‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；……5分 ‎②当时，，∴在上单调递增；…………………………6分 ‎③当时，由得，∴或（舍去）‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；……………………8分 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，当时，，‎ 即原不等式等价于，…………………………12分 即，整理得，‎ ‎∴，………………13分 又∵，∴的取值范围为.……………………14分 考点：导数的运算以及导数在研究函数中的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的最值，函数的单调性，函数导数与不等式，恒成立问题.（1）在的最值只能在和区间的两个端点取到，因此，通过算出上述点并比较其函数值可得函数在的最值；（2）算出，对的取值范围分情况讨论即可；（3）根据（2）中得到的单调性化简.不等式，从而求解不等式，解得的取值范围.‎