2013年中考数学复习专题讲座7：归纳猜想型问题(1)

2013年中考数学复习专题讲座7：归纳猜想型问题(1)

1 2013 年中考数学复习专题讲座七：归纳猜想型问题（一） 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数 字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者 其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者 证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善 于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。 其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人 类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直 观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比 较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利 于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是 先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比 较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例 1 （2012•沈阳）有一组多项式：a+b 2，a 2﹣b 4，a 3 +b 6，a 4﹣b 8，…，请观察它们的构成 规律，用你发现的规律写出第 10 个多项式为 ． 考点： 多项式。810360 专题： 规律型。 分析： 首先观察归纳，可得规律：第 n 个多项式为：a n +（﹣1）n+1 b 2n，然后将 n=10 代入， 即可求得答案． 解答： 解：∵第 1 个多项式为：a 1 +b 2×1， 第 2 个多项式为：a 2﹣b 2×2， 第 3 个多项式为：a 3 +b 2×3， 第 4 个多项式为：a 4﹣b 2×4， … ∴第 n 个多项式为：a n +（﹣1）n+1 b 2n， ∴第 10 个多项式为：a 10﹣b 20． 故答案为：a 10﹣b 20． 点评： 此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第 n 个多项式为：a n + （﹣1）n+1 b 2n是解此题的关键． 例 2 （2012•珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， … 2 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有 相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ② ×396=693× ． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2≤a+b≤9，写出表示“数字 对称等式”一般规律的式子（含 a、b），并证明． 考点： 规律型：数字的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： （1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字， 十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个 位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即 可； （2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可． 解答： 解：（1）①∵5+2=7， ∴左边的三位数是 275，右边的三位数是 572， ∴52×275=572×25， ②∵左边的三位数是 396， ∴左边的两位数是 63，右边的两位数是 36， 63×369=693×36； 故答案为：①275，572；②63，36． （2）∵左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b， ∴左边的两位数是 10a+b，三位数是 100b+10（a+b）+a， 右边的两位数是 10b+a，三位数是 100a+10（a+b）+b， ∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， 证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]， =（10a+b）（100b+10a+10b+a）， =（10a+b）（110b+11a）， =11（10a+b）（10b+a）， 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， =（100a+10a+10b+b）（10b+a）， =（110a+11b）（10b+a）， =11（10a+b）（10b+a）， 左边=右边， 所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b） +b]×（10b+a）． 点评： 本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字 与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键． 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形 3 为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来， 再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例 3 1．（2012•重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个 图形一共有 2 个五角星，第②个图形一共有 8 个五角星，第③个图形一共有 18 个五角星，…， 则第⑥个图形中五角星的个数为（ ） A． 50 B． 64 C． 68 D． 72 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数． 解答： 解：第①个图形一共有 2 个五角星， 第②个图形一共有：2+（3×2）=8 个五角星， 第③个图形一共有 8+（5×2）=18 个五角星， … 第 n 个图形一共有： 1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1） =2[1+3+5+…+（2n﹣1）]， =[1+（2n﹣1）]×n =2n 2， 则第（6）个图形一共有： 2×6 2 =72 个五角星； 故选 D． 点评： 本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第 n 个图 形五角星的个数的表达式是解题的关键． 例 4 （2012•绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有 3 棵 树，相邻的树与树，树与灯间的距离是 10cm，如图，第一棵树左边 5cm 处有一个路牌，则 从此路牌起向右 510m～550m 之间树与灯的排列顺序是（ ） A． B． C． D． 考点： 规律型：图形的变化类。810360 4 分析： 根据题意可得，第一个灯的里程数为 10 米，第二个灯的里程数为 50，第三个灯的 里程数为 90 米…第 n 个灯的里程数为 10+40（n﹣1）=40n﹣30 米，从而可计算出 530 米处 哪个里程数是灯，也就得出了答案． 解答： 解：根据题意得：第一个灯的里程数为 10 米， 第二个灯的里程数为 50， 第三个灯的里程数为 90 米 … 第 n 个灯的里程数为 10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米， 故当 n=14 时候，40n﹣30=530 米处是灯， 则 510 米、520 米、540 米处均是树， 故应该是树、树、灯、树， 故选 B． 点评： 本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律 解决问题． 例 5 （2012•荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连 接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到 一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第 2012 个图形中直角三角形的个数有（ ） A． 8048 个 B． 4024 个 C． 2012 个 D． 1066 个 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当 n 为奇数时，三角形的个 数是 2（n+1），当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n，根据此规律求解即可． 解答： 解：第 1 个图形，有 4 个直角三角形， 第 2 个图形，有 4 个直角三角形， 第 3 个图形，有 8 个直角三角形， 第 4 个图形，有 8 个直角三角形， …， 依次类推，当 n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1），当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n 个， 所以，第 2012 个图形中直角三角形的个数是 2×2012=4024． 故选 B． 点评： 本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关 系式解题的关键． 考点三：猜想坐标变化 例 6 （2012•德州）如图，在一单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…， 都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3 的顶点坐 标分别为 A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ． 5 考点： 等腰直角三角形；点的坐标。810360 专题： 规律型。 分析： 由于 2012 是 4 的倍数，故 A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每 4 个为一组，可见，A2012 在 x 轴上方，横坐标为 2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答． 解答： 解：∵2012 是 4 的倍数， ∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每 4 个为一组， ∴A2012在 x 轴上方，横坐标为 2， ∵A4、A8、A12 的纵坐标分别为 2，4，6， ∴A12的纵坐标为 2012× =1006． 故答案为（2，1006）． 点评： 本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规 律解答． 例 7 （2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC，边 OA、 OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1 为边作第三个正方形 OB1B2C2，照此规律作下去，则点 B2012 的坐标为 ． 考点： 正方形的性质；坐标与图形性质。810360 专题： 规律型。 分析： 首先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的 规律，然后根据规律计算出点 B2012 的坐标． 解答： 解：∵正方形 OABC 边长为 1， ∴OB= ， ∵正方形 OBB1C1 是正方形 OABC 的对角线 OB 为边， 6 ∴OB1=2， ∴B1点坐标为（0，2）， 同理可知 OB2=2 ，B2 点坐标为（﹣2，2）， 同理可知 OB3=4，B3 点坐标为（﹣4，0）， B4 点坐标为（﹣4，﹣4），B5 点坐标为（0，﹣8）， B6（8，﹣8），B7（16，0） B8（16，16），B9（0，16 ）， 由规律可以发现，每经过 9 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的 边长变为原来的 倍， ∵2012÷9=223…5， ∴B2012 的纵横坐标符号与点 B4 的相同，纵横坐标都是负值， ∴B2012 的坐标为（﹣2 1006，﹣2 1006）． 故答案为（﹣2 1006，﹣2 1006）． 点评： 本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点 坐标的规律发现每经过 9 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边 长变为原来的 倍，此题难度较大． 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2012•烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去 部分的小菱形的个数可能是（ ） A．3 B． 4 C． 5 D． 6 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链， 可得断去部分的小菱形的个数． 解答： 解： 如图所示，断去部分的小菱形的个数为 5， 故选 C． 点评： 考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键． 7 2．（2012•铜仁地区）如图，第①个图形中一共有 1 个平行四边形，第②个图形中一共有 5 个平行四边形，第③个图形中一共有 11 个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个 数是（ ） A． 54 B． 110 C． 19 D． 109 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 得到第 n 个图形在 1 的基础上如何增加 2 的倍数个平行四边形即可． 解答： 解：第①个图形中有 1 个平行四边形； 第②个图形中有 1+4=5 个平行四边形； 第③个图形中有 1+4+6=11 个平行四边形； 第④个图形中有 1+4+6+8=19 个平行四边形； … 第 n 个图形中有 1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形； 第⑩个图形中有 1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109 个平行四边形； 故选 D． 点评： 考查图形的变化规律；得到第 n 个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四 边形的个数 1 的基础上增加多少个 2 是解决本题的关键． 4．（2012•永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第 0 号角，现依逆时针方向移动这枚棋子， 其各步依次移动 1，2，3，…，n 个角，如第一步从 0 号角移动到第 1 号角，第二步从第 1 号角移动到第 3 号角，第三步从第 3 号角移动到第 6 号角，…．若这枚棋子不停地移动下去， 则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ） A．0 B． 1 C． 2 D． 3 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k= k（k+1），然后根据题目中所 给的第 k 次依次移动 k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解． 8 解答： 解：因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k= k（k+1），应停在第 k（k+1） ﹣7p 格， 这时 P 是整数，且使 0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取 k=1，2，3，4，5，6，7 时， k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第 2，4，5 格没有停棋， 若 7＜k≤10，设 k=7+t（t=1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p=7m+ t（t+1）， 由此可知，停棋的情形与 k=t 时相同， 故第 2，4，5 格没有停棋， 即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是 3． 故选 D． 点评： 本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式 求解． 5．（2012•扬州）大于 1 的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 2 3 =3+5， 3 3 =7+9+11，4 3 =13+15+17+19，…若 m 3 分裂后，其中有一个奇数是 2013，则 m 的值是（ ） A． 43 B． 44 C． 45 D． 46 考点： 规律型：数字的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的 积再加上 1，奇数的个数等于底数，然后找出 2013 所在的奇数的范围，即可得解． 解答： 解：∵2 3 =3+5，3 3 =7+9+11，4 3 =13+15+17+19， … ∴m 3 分裂后的第一个数是 m（m﹣1）+1，共有 m 个奇数， ∵45×（45﹣1）+1=1981，46×（46﹣1）+1=2071， ∴第 2013 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂后的一个奇数， ∴m=45． 故选 C． 点评： 本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题 的关键． 6．（2012•盐城）已知整数 a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|， a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则 a2012的值为（ ） A．﹣1005 B． ﹣1006 C． ﹣1007 D． ﹣2012 考点： 规律型：数字的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 根据条件求出前几个数的值，再分 n 是奇数时，结果等于﹣ ，n 是偶数时， 结果等于﹣ ，然后把 n 的值代入进行计算即可得解． 9 解答： 解：a1=0， a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1， a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1， a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2， a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2， …， 所以，n 是奇数时，an=﹣ ，n 是偶数时，an=﹣ ， a2012=﹣ =﹣1006． 故选 B． 点评： 本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出 n 为奇数与偶数时的结果 的变化规律是解题的关键． 二．填空题 9．（2012•泰州）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x 2，5x 3， ，9x 5，…． 考点： 单项式。810360 专题： 规律型。 分析： 本题规律比较明显，先观察得出系数为 7，然后再推算 x 的次数． 解答： 解：由题意得，系数的变化规律为：1、3、5、7、9…； x 的次数的变化规律为：1、2、3、4…； 故可得中间的空需要填：7x 4． 故答案为：7x 4． 点评： 此题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题关键是依次寻找系数及 x 的次数 的变化规律． 10．（2012•肇庆）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，那 么这一组数的第 k 个数是 ． 考点： 规律型：数字的变化类。810360 分析： 根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的偶数，分母是连续的奇数， 进而得出第 k 个数分子的规律是 2k，分母的规律是 2k+1，进而得出这一组数的第 k 个数的 值． 解答： 解：因为分子的规律是 2k，分母的规律是 2k+1， 所以第 k 个数就应该是： ， 故答案为： ． 点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应 找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用 组数 k 表示出来． 10 11．（2012•云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五 角星）．若第一个图形是三角形，则第 18 个图形是 ．（填图形的名称） ▲■★■▲★▲■★■▲★▲… 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 本题是循环类问题，只要找到所求值在第几个循环，便可找出答案． 解答： 解：根据题意可知，每 6 个图形一个循环，第 18 个图形经过了 3 个循环，且是第 3 个循环中的最后 1 个， 即第 18 个图形是五角星． 故答案为：五角星． 点评： 此题考查了图形的变化类，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对 于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，主要培养学生的 观察能力和归纳总结能力． 12．（2012•岳阳）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第 n 个圆中，m= 用 含 n 的代数式表示）． 考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。810360 分析： 根据 8=2×4，5×7=35，8×10=80，得出 2，5，8…第 n 个数为：2+3（n﹣1），4，7， 10，…第 n 个数为：4+3（n﹣1）即可得出第 n 个圆中，m 的值． 解答： 解：∵2×4=8， 5×7=35， 8×10=80， … ∴2，5，8…第 n 个数为：2+3（n﹣1）， 4，7，10，…第 n 个数为：4+3（n﹣1）， ∴第 n 个圆中，m=[2+3（n﹣1）]×[4+3（n﹣1）]=（3n+1）（3n﹣1）=9n 2﹣1． 故答案为：9n 2﹣1． 点评： 此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用 发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． 13．（2012•宿迁）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正 方形地砖的块数是 ． 11 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白 色地砖多 1 个，求出第 n 个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把 n=14 代入进行计算即可． 解答： 解：第 1 个图案只有 1 块黑色地砖， 第 2 个图案有黑色与白色地砖共 3 2 =9，其中黑色的有 5 块， 第 3 个图案有黑色与白色地砖共 5 2 =25，其中黑色的有 13 块， … 第 n 个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有 [（2n﹣1）2 +1]， 当 n=14 时，黑色地砖的块数有 [（2×14﹣1）2 +1]= ×730=365． 故答案为：365． 点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号 之间的关系是解题的关键，还要注意奇数块地砖，一种比另一种多一块的求法． 14．（2012•山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案， 则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 ． 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 解答： 解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个．第二图案有阴影小三角形 2+4=6 个．第三个图案有阴影小三角形 2+8=10 个，那么第 n 个就有阴影小三角形 2+4（n﹣1）=4n ﹣2 个， 故答案为：4n﹣2（或 2+4（n﹣1）） 点评： 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第 n 个就有正三角形 4n﹣2 个．这类题型在中考中经常出现． 15．（2012•三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值 是 ． 12 考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。810360 分析： 根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案． 解答： 解：根据下面一行数字变化规律为： 1×4=4， 4×9=36， 9×16=144， 16×25=400， 25×36=a=900， 故答案为：900． 点评： 此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首 先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 16．（2012•青海）观察下列一组图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 n 个图形中共有 个★． 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图 形比前一个图形多一个，根据此规律找出第 n 个图形中五角星的个数的关系式． 解答： 解：观察发现，第 1 个图形五角星的个数是：1+3=4， 第 2 个图形五角星的个数是：1+3×2=7， 第 3 个图形五角星的个数是：1+3×3=10， 第 4 个图形五角星的个数是：1+3×4=13， … 依此类推，第 n 个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1． 故答案为：3n+1． 点评： 本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第 n 个图 形五角星的个数的表达式是解题的关键． 17．（2012•黔东南州）如图，第（1）个图有 2 个相同的小正方形，第（1）个图有 2 个相同 的小正方形，第（2）个图有 6 个相同的小正方形，第（3）个图有 12 个相同的小正方形， 第（4）个图有 20 个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有 个相 同的小正方形． 13 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： 观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大 1 的数，根 据此规律解答即可． 解答： 解：第（1）个图有 2 个相同的小正方形，2=1×2， 第（2）个图有 6 个相同的小正方形，6=2×3， 第（3）个图有 12 个相同的小正方形，12=3×4， 第（4）个图有 20 个相同的小正方形，20=4×5， …， 按此规律，第（n）个图有 n（n+1）个相同的小正方形． 故答案为：n（n+1）． 点评： 本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的 关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累． 18．（2012•潍坊） 如图中每一个小方格的面积为 1，则可根据面积计算得到如下算式： 1+3+5+7+…+（2n﹣1）= （用 n 表示，n 是正整数） 考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。810360 专题： 数形结合。 分析： 根据图形面积得出，第 2 个图形面积为 2 2，第 3 个图形面积为 3 2，第 4 个图形面 积为 4 2，…第 n 个图形面积为 n 2，即可得出答案． 解答： 解：利用每个小方格的面积为 1，可以得出： 1+3=4=2 2， 1+3+5=9=3 2， 1+3+5+7=16=4 2，… 1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n 2． 故答案为：n 2． 点评： 此题主要考查了数字变化规律以及图形变化规律，根据图形面积得出变化规律是解 题关键，这也是中考中考查重点． 14 19．（2012•南宁）有若干张边长都是 2 的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图 所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的 梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是 5 时，那么组成的大平行四边形或梯形的周 长是 ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是 n，那么组成的大平行四边形或梯 形的周长是 ． 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 第 1 张纸片的周长为 8，由 2 张纸片所组成的图形的周长比第 1 张纸片的周长增加 了 2．由 3 张纸片所组成的图形的周长比前 2 张纸片所组成的图形的周长增加了 4，按此规 律可知： ①纸张张数为 1，图片周长为 8=3×1+5；纸张张数为 3，图片周长为 8+2+4=3×3+5；纸张张 数为 5，图片周长为 8+2+4+2+4=3×5+5；…；当 n 为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的 周长为 3n+5； ②纸张张数为 1，图片周长为 8+2=3×2+4；纸张张数为 4，图片周长为 8+2+4+2=3×4+4；纸 张张数为 6，图片周长为 8+2+4+2+4+2=3×6+4；…；当 n 为偶数时，组成的大平行四边形或 梯形的周长为 3n+4． 解答： 解：从图形可推断： 纸张张数为 5，图片周长为 8+2+4+2+4=3×5+5=20； 当 n 为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+…+2+4=3n+5； 当 n 为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+…+4+2=3n+4． 综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为 3n+5 或 3n+4． 故答案为：20，3n+5 或 3n+4． 点评： 本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行 讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长． 20．（2012•梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为 1cm，一个微型机器人由点 A 开始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达 G 点时移动了 cm；②当微型机器人移动了 2012cm 时，它停在 点． 考点： 规律型：图形的变化类。810360 专题： 规律型。 分析： ①结合图形，找出第一次到达 G 点时走过的正方形的边长数即可得解； ②根据移动一圈的路程为 8cm，用 2012 除以 8，余数是几就落在从 A 开始所走的距离，然 后即可找出最后停的点． 解答： 解：①由图可知，从 A 开始，第一次移动到 G 点，共经过 AB、BC、CD、DE、 EF、FC、CG 七条边， 所以共移动了 7cm； ②∵机器人移动一圈是 8cm， 15 2012÷8=251…4， ∴移动 2012cm，是第 251 圈后再走 4cm 正好到达 E 点． 故答案为：7，E． 点评： 本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论． 21．（2012•娄底）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第 1 至第 2012 个图案中“♣”，共 个． 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 本题的关键是要找出 4 个图形一循环，然后再求 2012 被 4 整除，从而确定是共第 503♣． 解答： 解：根据题意可知梅花是 1，2，3，4 即 4 个一循环．所以 2012÷4=503． 所以共有 503 个♣． 故选答案为 503． 点评： 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目 首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律 后直接利用规律求解． 22．（2012•六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比 西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三 角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式中 a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2 =a 2 +2ab+b 2展开式中的系数 1、2、1 恰好 对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3展开式中的系数 1、3、3、1 恰好 对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4 的展开式，（a+b）4 = ． 考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式。810360 专题： 规律型。 分析： 由（a+b）=a+b，（a+b）2 =a 2 +2ab+b 2，（a+b）3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 可得（a+b）n的各 项展开式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1 的相邻两个系数的和， 由此可得（a+b）4的各项系数依次为 1、4、6、4、1． 解答： 解：（a+b）4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4． 故答案为：a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4． 点评： 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的 式子寻找规律，是快速解题的关键． 16 三．解答题（共 13 小题） 23．（2012•益阳）观察图形，解答问题： （1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （2）请用你发现的规律求出图④中的数 y 和图⑤中的数 x． 考点： 规律型：数字的变化类。810360 分析： （1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格； （2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求 出 x、y 的值． 解答： 解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）=5， 图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170， （﹣2）+（﹣5）+17=10， 170÷10=17． 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）= ﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）= ﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=17 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣60）÷（﹣12）=5， 170÷10=17 （2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360， 5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1， y=360÷（﹣12）=﹣30， 图⑤： =﹣3， 解得 x=﹣2；． 点评： 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现 的规律解决问题是应该具备的基本能力． 24．（2012•宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第 5 个图形有多少黑色棋子？ （2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由． 17 考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： （1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案； （2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案． 解答： 解：（1）第一个图需棋子 6， 第二个图需棋子 9， 第三个图需棋子 12， 第四个图需棋子 15， 第五个图需棋子 18， … 第 n 个图需棋子 3（n+1）枚． 答：第 5 个图形有 18 颗黑色棋子． （2）设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子， 根据（1）得 3（n+1）=2013 解得 n=670， 所以第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子． 点评： 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结， 得到其中的规律．