2018届高三数学一轮复习： 第10章 第5节 古典概型

2018届高三数学一轮复习： 第10章 第5节 古典概型

第五节　古典概型 ‎ [考纲传真]　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)‎ ‎(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　)‎ ‎(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于‎1”‎的概率．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为(　　)‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；‎ ‎②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；‎ ‎③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；‎ ‎④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．‎ A．0　　　 B.‎1　‎　‎ C.2　　　 D.3‎ B　[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A. B. C. D. C　[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，‎ ‎∴事件总数有15种．‎ ‎∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. C　[‎ 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.]‎ ‎5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．‎ 　[由乘法计数原理，两人各选一种运动服有3×3＝9种方法，‎ 其中同色的有3种情况．‎ 所以所求事件的概率P＝＝.]‎ 简单古典概型的概率 ‎　(1)(2017·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D.1‎ ‎(2)(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．‎ ‎(1)B　(2)　[(1)从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.‎ ‎(2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P＝＝.]‎ ‎[规律方法]　1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ‎；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.‎ ‎2．确定基本事件个数的方法：‎ ‎(1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．‎ ‎(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件．‎ ‎[变式训练1]　(1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　) ‎ ‎【导学号：01772397】‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．‎ ‎(1)C　(2)　[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．‎ 所以所求事件的概率P＝1－＝.‎ ‎(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于‎10”‎，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于‎10”‎，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.]‎ 复杂的古典概型的概率 ‎　(2015·四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．‎ ‎[解]　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.3分 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.5分 ‎(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.‎ 则P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.10分 由互斥事件的概率加法公式可知，‎ P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，‎ 故所求事件的概率为.12分 ‎[规律方法]　1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．‎ ‎2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．‎ ‎[变式训练2]　(2016·山东高考题)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图1051所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ 图1051‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎[解]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以基本事件总数n＝16.3分 ‎(1)记“xy≤‎3”‎为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.5分 ‎(2)记“xy≥‎8”‎为事件B，“3，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12分 古典概型与统计的综合应用 ‎　(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53‎ ‎76　78　86　95　66　97　78　88　82　76　89‎ B地区：73　83　62　51　91　46　53　73　64‎ ‎82　93　48　65　81　74　56　54　76　65　79‎ ‎(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；‎ 图1052‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率. ‎ ‎【导学号：01772398】‎ ‎[解]　(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：‎ ‎2分 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.5分 ‎(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；‎ CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；‎ CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；‎ CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；‎ 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2.‎ ‎∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)‎ ‎＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)‎ ‎＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).8分 又根据茎叶图知P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝.10分 因此P(C)＝×＋×＝＝‎0.48.12‎分 ‎[规律方法]　1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．‎ ‎2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．‎ ‎[变式训练3]　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．‎ ‎[解]　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，2分 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 ‎50×＝1,150×＝3,100×＝2.‎ 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.5分 ‎(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C＝＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.8分 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为C＋C＝4，所以P(D)＝.10分 故这2件商品来自相同地区的概率为.12分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．古典概型计算三步曲 第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．‎ ‎2．确定基本事件的方法 ‎ ‎(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；‎ ‎(2)列表法、树状图法；‎ ‎(3)利用计数原理、排列与组合知识计算．‎ ‎3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎　 古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．‎