数学理卷·2019届福建省莆田第九中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届福建省莆田第九中学高二上学期期中考试（2017-11）

福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期期中考试 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．数列的通项公式，则数列各项中最小项是（ ）‎ A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 ‎2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）‎ A．-4 B．-6 C．-8 D．-10‎ ‎3．已知如下图程序框图，则输出的是（ ）‎ A．9 B．11 C．13 D．15‎ ‎4．若，则下列结论不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列结论，不正确的是（ ）‎ A．若是假命题，是真命题，则命题为真命题.‎ B．若是真命题，则命题和均为真命题.‎ C．命题“若，则”的逆命题为假命题.‎ D．命题“，”的否定是“，”.‎ ‎7．设是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A． B．6 C． D．4‎ ‎9．设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 ‎10．方程有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（ ）‎ A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 ‎12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是与在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎14．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为，，，，，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为 ．‎ ‎15．椭圆内有一点过点的弦恰好以为中点，那么这弦所在直线方程为 ．‎ ‎16．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：‎ ‎①若为椭圆，则； ②若为双曲线，则或；‎ ‎③曲线不可能是圆； ④若表示椭圆，且长轴在轴上，则.‎ 其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知命题，使得成立；命题：方程有两个不相等正实根；‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．已知等差数列的前项和为，，且，，‎ 求（1），‎ ‎（2）设是数列的前项和，求.‎ ‎19．已知，，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）已知，且，求的值.‎ ‎20．如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点分别在线段上，且，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与直线所成角的余弦值.‎ ‎21．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点.‎ ‎（1）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点；若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎22．已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，‎ ‎（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；‎ ‎（2）将表示为的函数，并求的最大值.‎ 高二理科数学试题（参考答案）‎ 一、选择题 ‎1-5:BBCAC 6-10:CADD 11、12：BD 二、填空题 ‎13．38 14．64 15． 16．②‎ 三、解答题 ‎17．解：（1），不恒成立.‎ 由得.‎ ‎（2）设方程两个不相等正实根为 命题为真 由命题“或”为真，且“且”为假，得命题一真一假 ‎①当真假时，则得或 ‎②当假真时，则无解；‎ ‎∴实数的取值范围是或.‎ ‎18．解：（1），‎ ‎（2）由得当时，，当时，‎ 则 即 ‎19．解：（1）‎ ‎.‎ ‎∴函数的最小正周期为.‎ ‎（2）由，得.∴.‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴.‎ ‎20．（1）证明：∵且点为的中点，∴，‎ 又平面平面，且平面平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面 ‎∴；‎ ‎（2）如下图所示，连接，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴为直线与直线所成角或其补角，‎ 在中，，，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴直线与直线所成角的余弦值为.‎ ‎21．解：（1）设，∵点为弦中点即，‎ ‎∴即，（且）‎ 得，由，‎ 得或 ‎∴线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得，‎ 又，‎ 结合下图可知当时，直线与曲线只有一个交点.‎ ‎22．解：（1）由已知得，，‎ 所以，‎ 所以椭圆的焦点坐标为，‎ 离心率为 ‎（2）由题意知，，当时，切线的方程，‎ 点的坐标分别为，，此时；‎ 当时，同理可得；‎ 当时，设切线的方程为，‎ 由，得，‎ 设两点的坐标分别为，‎ 则，，‎ 又由与圆相切，得，即，‎ 所以 ‎，‎ 由于当时，，‎ ‎，，‎ ‎，且时，，‎ 所以的最大值为2.‎