2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线标准方程得准线方程，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线的准线方程是，所以抛物线的准线方程是，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据抛物线标准方程求准线方程，考查基本分析求解能力. 属基础题.‎ ‎2．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.‎ 考点：椭圆定义．‎ ‎3．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程得渐近线方程为，化简得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的渐近线方程为，化简得，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据双曲线标准方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎4．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　)‎ A． 抛物线 B． 线段 C． 直线 D． 射线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义判断点的轨迹为抛物线，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为到定点距离等于定直线（不过该定点）距离的点的轨迹为抛物线，因此P点的轨迹是抛物线，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据抛物线定义判断轨迹，考查基本分析识别能力.属基础题.‎ ‎5．过点与抛物线只有一个公共点的直线共有几条 (　　 )‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在抛物线上，再根据公共点个数确定直线为切线或平行坐标轴，即可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以点在抛物线上，因此过点M的切线只有一条，又平行坐标轴的直线与抛物线也只有一个公共点，因此满足条件的直线有两条，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线交点个数，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎6．点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点在椭圆的内部，所以,解得,选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎7．双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 （ ）‎ A． - B． -4 C． 4 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：‎ ‎8．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为(　　)‎ A． B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线定义得线段的中点横坐标，再确定线段的中点到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 设则由抛物线定义得,因为，所以，即线段的中点横坐标为，从而线段的中点到轴的距离为，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据抛物线定义化简与求解焦点弦问题，考查基本分析求解能力.属中档题.‎ ‎9．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（ ）‎ A． 2 B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于，再列方程解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于，所以，‎ 因此双曲线的虚轴长是=2，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线有关性质，考查基本分析求解能力.属中档题.‎ ‎10．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆离心率得a,b关系，再求双曲线离心率，得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的离心率为，所以，‎ 因此双曲线离心率为，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线离心率，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎11．椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（ ）‎ A． 4 B． 2 C． 1 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆与双曲线定义解得再根据解三角形得面积.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ 所以，因此为直角三角形，的面积是，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.‎ ‎12．双曲线的左右焦点分别为,过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点、，且,则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线定义得,再根据余弦定理列式解得.‎ ‎【详解】‎ 根据双曲线定义得,,‎ 在三角形，‎ 又与圆相切，所以，‎ 因此，（舍负），选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据双曲线定义以及利余弦定理解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________。‎ ‎【答案】e=‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则可知cos60 ==,故可知椭圆的离心率为。‎ 考点：椭圆的方程 点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60= ，是解题的关键 ‎14．已知抛物线的准线方程为，则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，抛物线的标准方程是，则其准线方程为，所以．‎ 考点：抛物线的性质．‎ ‎15．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，，则____‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线定义得A点坐标，再A,B,F三点共线解得B横坐标，最后根据抛物线定义得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义求解点坐标，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎16．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，可得．设，由点M到直线l的距离不小于，即有 ，解得．再利用离心率计算公式即可得出范围．‎ ‎【详解】‎ 设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以 ‎，所以，设，则，故，从而，，‎ ‎，所以，即椭圆的离心率的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线变为曲线 ‎ ‎，求曲线的标准方程及参数方程.‎ ‎【答案】x2＋y2＝4， （ 为参数）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据变换，结合转移法确定曲线的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程.‎ ‎【详解】‎ 设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．由 ‎ 且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上， 得＋＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝4. 因此曲线C的方程为x2＋y2＝4， （ 为参数）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎18．若圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点,且,求圆的标准方程 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件得圆心纵坐标，再根据垂径定理得圆半径，最后确定圆心横坐标，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得圆 再根据,圆心到x轴距离为1，由垂径定理得圆半径，因此，从而圆的标准方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力.属基础题.‎ ‎19．在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值． （2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，可得,∴，‎ 圆心(0,0)到直线的距离为 ‎∴．‎ ‎（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴直线的极坐标为，即．‎ ‎20．已知点是椭圆与直线的交点，点是的中点，且点的横坐标为.若椭圆的焦距为8，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求M坐标，利用点差法得a,b关系，再根据焦距联立方程组解得a,b，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点M在直线上，点的横坐标为.所以M，‎ 由题意知:点A,B满足 ‎∴椭圆C的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据点差法求椭圆方程，考查基本分析求解能力.属中档题.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数,）．在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ‎(1)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求.‎ ‎【答案】(1) ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2) a＝1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角函数平方关系消参数得C1的普通方程，再根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ化为极坐标方程，（2）联立极坐标方程解得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，再根据tan θ＝2化简得1－a2＝0，解得a＝1.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组，若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0‎ ‎，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及极坐标方程应用，考查基本分析求解能力.属中档题.‎ ‎22．已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为 ‎（1）写出抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于两点，点为坐标原点，求重心的轨迹方程；‎ ‎（3）点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点分别是.当点在何处时，的值最小？求出的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线定义以及标准方程可得结果，（2）根据重心坐标公式得与A,B坐标关系，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理得重心坐标参数方程，消去参数得轨迹方程，（2）根据射影定理得，再利用两点间距离公式求，结合二次函数性质求最值，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）抛物线方程为：. ‎ ‎（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为，代入，得：‎ 设，则，设△AOB的重心为则 ‎，消去k得为所求， ‎ ‎②当直线垂直于x轴时， △AOB的重心也满足上述方程.‎ 综合①②得，所求的轨迹方程为 ‎ ‎（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径，‎ 根据圆的性质有：‎ 当最小时，|MN|取最小值，‎ 设P点坐标为，则 ‎∴当，时，取最小值5，‎ 故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义、利用消参法得轨迹方程以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力.属中档题.‎